Cho 3 số thực không âm thỏa mãn `ab+bc+ca=1`. Tìm min của biểu thức: `P=(a^2+b^2...

bình goooooooooooooooo

đã hỏi trong Lớp 9 Toán học

· 17:08 10/05/2022

Cho 3 số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ . Tìm min của biểu thức: $P=(a^2+b^2+c^2+3)/(a+b+c-abc)$

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

$\color{#8fbefa}{⚡︎}$

2 năm trước

Ta có

$∑a^2 + 3 = ∑a^2 + 3∑ab = ∑((a + b)(b + c))$

$∑a - abc = (∑ab)(∑a) - abc = (a + b)(b + c)(c + a)$

Do đó :

$B = (∑a^2 + 3)/(∑a - abc) = (∑((a + b)(b + c)))/((a + b)(b + c)(c + a)) = ∑1/(a + b)$

Không mất tính tổng quát giả sử $c = max{a,b,c}$

$-> (a + b)^2 = (a + b)(a + b) ≤ (c + c)(a + b) = 2c(a + b) ≤ 2∑ab = 2$

$-> a + b < 2$

Dễ dàng cm được $1/(b + c) = (a + b)/(b^2 + 1) <=> ∑ab = 1$

$1/(b + c) = (a + b)/(b^2 + 1) = (a + b) - [b^2(a + b)]/(b^2 + 1) ≥ (a + b) - [b^2(a + b)]/(2b) = (a+ b) - [b(a+ b)]/2$

tương tự $-> 1/(a + c) ≥ (a + b) - [a(a + b)]/2$

$-> B = ∑1/(a + b) ≥ 1/(a + b) + 2(a + b) - [a(a + b) + b(a + b)]/2 = 1/(a+ b) + [(a + b)(4 - a - b)]/2$

Đặt $a + b = x (x < 2)$ , ta có

$B = 1/x + (x(4 - x))/2 = [(x - 1)^2(2 - x)]/(2x) + 5/2 ≥ 5/2$

Dấu "=" xảy ra $<=> (a,b,c)$ là hoán vị của $(0,1,1)$

Vậy $...$

(+1) 0 bình luận

1 ( 5.0 )

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo