Khai triển nhị thức

(2x + 3)⁴ = $C_4^0$(2x)⁴(3)⁰ + $C_4^1$(2x)³(3)¹ + $C_4^2$(2x)²(3)² + $C_4^3$(2x)¹(3)³ + $C_4^4$(2x)⁰(3)⁴ = 16x⁴ + 96x³ + 216x² + 216x + 8

Ta có: ${\left(a+b\right)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$. Do đó A, C đúng và D sai.

${\left(a-b\right)}^4=a^4-4a^{3}b+6a^2{b}^2-4a{b}^3+b^4$. Do đó B đúng.

Ta có (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b +10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Do đó: (2x + 3)⁵ = (2x)⁵ + 5(2x)⁴.3 +10(2x)³.3² + 10(2x)².3³ + 5.(2x).3⁴ + 3⁵

= 32x⁵ + 240x⁴ + 720x³ + 1 080x² + 810x + 243

Vậy trong khai triển số hạng chứa x⁴ là 240x⁴.

Ta có (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b +10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Do đó: (5 – 2x)⁵ = 5⁵ + 5.5⁴.(– 2x) + 10.5³.(– 2x) ² + 10.5².(– 2x)³ + 5.5.(– 2x)⁴ + (– 2x)⁵

= 3 125 – 6 250x + 5 000x² – 2 000x³ + 400x⁴ – 32x⁵

= – 32x⁵ + 400x⁴ – 2 000x³ + 5 000x² – 6 250x + 3 125

Hệ số của x⁵ trong khai triển là – 32.

Ta có: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 5a²b² + 4ab³ + b⁴.

Do đó (1 + 2x)⁴ = 1⁴ + 4.1³.(2x) + 5.1².(2x)² + 4.1.(2x)³ + (2x)⁴

= 1 + 8x + 20x² + 24x³ + 16x⁴

Suy ra hệ số của x³ là 24 và hệ số của x² là 20. Khi đó ta có tổng hai hệ số bằng 24 + 20 = 44.

Ta có khai triển

(2a + 1)⁵ = $C_5^0$(2a)⁵(1)⁰ + $C_5^1$(2a)⁴(1)¹ + $C_5^2$(2a)³(1)² + $C_5^3$(2a)²(1)³ + $C_5^4$(2a)(1)⁴ + $C_5^5$(2a)⁰(1)⁵ = 32a⁵ + 80a⁴ + 80a³ + 40a² + 10a + 1

Vậy 3 số hạng đầu của khai triển là 32a⁵ + 80a⁴ + 80a³

Khai triển nhị thức

(x + y)⁴ = $C_4^0$(x)⁴(y)⁰ + $C_4^1$(x)³(y)¹ + $C_4^2$(x)²(y)² + $C_4^3$(x)(y)³ + $C_4^4$(x)⁰(y)⁴

= x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 6xy³ + y⁴.

Ta có (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b +10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Do đó: (x + 2y)⁵ = x⁵ + 5.x⁴.(2y) + 10.x³.(2y)² + 10.x².(2y)³ + 5.x.(2y)⁴ + (2y)⁵

= x⁵ + 10x⁴.y + 40x³.y² + 80x².y³ + 80x.y⁴ + 32y⁵

Số hạng cần tìm chứa x²y⁵ nên ta có 80x²y³

Ta có: (2x – 3)³ = (2x)³ + 2.(2x)².(– 3) + 2.(2x).(– 3)² + (– 3)³ = 8x³ – 24x² + 36x – 27.

Hệ số của x² là k = – 24.

Vậy k là một số nguyên âm.

Điều kiện n ≥ 2; n $\in$ℕ.

Ta có $A_n^2+2C_n^n=22$$\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}+2=22$

$\iff$ n(n – 1) = 20

$\iff$n = 5 hoặc n = – 4

Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn

Ta có (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b +10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Thay a = 3x; b = – 4 vào công thức ta có:

(3x – 4)⁵ = (3x)⁵ + 5(3x)⁴.(– 4) +10.(3x)³(– 4)² + 10.(3x)²(– 4)³ + 5(3x)(– 4)⁴ + (– 4)⁵

= 243x⁵ – 1620x⁴ + 4 320x³ – 5 760x² + 3 840x – 1 024

Vậy hệ số của x³ là 4 320. 

Ta có trong khai triển (a + b)ⁿ có n + 1 số hạng

Trong khai triển (a + 2)^{n - 5} (n $\in$ ℕ) có tất cả 6 số hạng nên ta có n – 5 = 6

Vậy n = 11.

Điều kiện n ≥ 2; n $\in$ℕ.

Ta có $C_n^1+C_n^2=55$$\iff n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=10$

$\iff$n² + n – 20 = 0

$\iff$n = – 5 hoặc n = 4

Kết hợp với điều kiện n = 4.

Ta có: (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 5a²b² + 4ab³ + b⁴

Thay a = x³; b = $\frac{2}{x}$ vào công thức ta có:

${\left(x^3+\frac{2}{x}\right)}^4={\left(x^3\right)}^4+4{\left(x^3\right)}^3.\left(\frac{2}{x}\right)+5.{\left(x^3\right)}^2.{\left(\frac{2}{x}\right)}^2+4.{\left(x^3\right)}^1.{\left(\frac{2}{x}\right)}^3+{\left(\frac{2}{x}\right)}^4$

$=x^{12}+8.x^8+20.x^4+32+\frac{16}{x^4}$

Vậy hệ số của x⁵ trong khai triển là bằng 0.

$T=C_4^0+\frac{1}{2}{C}_4^1+\frac{1}{4}{C}_4^2+\frac{1}{8}{C}_4^3+\frac{1}{16}{C}_4^4$

$=C_4^0{.1}^4.{\left(\frac{1}{2}\right)}^0+C_4^1{.1}^3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^1+C_4^2{.1}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+C_4^3\mathrm{.1.}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(\frac{1}{2}\right)}^4$

$={\left(1+\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{81}{16}$.

Điều kiện n ≥ 2; n $\in$ℕ.

Ta có $3C_{n+1}^3+A_n^2=14\left(n-1\right)$$\iff 3.\frac{\left(n+1\right)!}{3!\left(n-2\right)!}+\frac{n!}{\left(n-2\right)!}=14\left(n-1\right)$

$\iff \frac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{2}+n\left(n-1\right)=14\left(n-1\right)$

$\iff$ n² + 3n – 28 = 0

$\iff$n = – 7 hoặ n = 4

Kết hợp với điều kiện n = 4 thoả mãn

Ta có (x³ + 2y²)⁴ = (x³)⁴ + 4.(x³)³.(2y²) + 5.(x³)².(2y²)² + 4.(x³)¹.(2y²)³ + (2y²)⁴

= x¹² + 8x⁹.y² + 20x⁶.y⁴ + 32x³.y⁶ + 16y⁸

T_k là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng 11 nên T_k = 8x⁹.y²