Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có:

Ta có: $d_1$: 3x – 2y – 3 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_1}$ = (3; – 2) và $d_2$: 6x – 2y – 8 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_2}$ = (6; – 2).

Ta có: $\frac{3}{6}\ne \frac{-2}{-2}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương.

Do đó đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau.

Ta lại có $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=3.6+\left(-2\right).\left(-2\right)=22\ne 0$ nên d₁ và d₂ không vuông góc với nhau.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc.

Phương trình $d_1$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(\frac{1}{3};-\frac{1}{4}\right)$

Phương trình $d_2$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(3;4\right)$

Ta có: $\frac{\frac{1}{3}}{3}\ne \frac{-\frac{1}{4}}{4}$${\overrightarrow{n}}_1;{\overrightarrow{n}}_2$ không cùng phương và ${\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2$ = $\frac{1}{3}$.3 + $\left(-\frac{1}{4}\right)$.4 = 0. Như vậy hai vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng vuông góc với nhau, suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Đường thẳng  có VTCP là $\overrightarrow{u_1}=\left(m;-2\right)$;

Đường thẳng  có VTCP là $\overrightarrow{u_2}=\left(-2;4+m\right)$.

Để hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau thì $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương và 

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đường thẳng  có VTCP là $\overrightarrow{u_d}$ = (4; – 4) = 4.(1; – 1). Suy ra VTCP của đường thẳng d cũng là vectơ có tọa độ (1; – 1).

Với t = 1 thì . Do đó đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1; – 2).

Vì vậy đường thẳng d trùng với đường thẳng 

Ta có:

 với ${\overrightarrow{n}}_1$; ${\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là các vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1$; $d_2$.

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng, ta có:

Ta có:

 với ${\overrightarrow{n}}_1$; ${\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1$; $d_2$.

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng:

⇔ 2(196 – 420m + 225m²) = 58(4 + 25m²)

⇔ 392 – 840m + 450m² = 232 + 1450m²

⇔ 1000m² + 840m – 160 = 0

⇔ m = $\frac{4}{25}$ hoặc m = – 1

Vậy giá trị âm của m thỏa mãn điều kiện bài toán là m = – 1.

Ta có:

 với ${\overrightarrow{n}}_1$; ${\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1$; $d_2$.

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng ta có:

Ta có:

 với ${\overrightarrow{n}}_1$; ${\overrightarrow{n}}_2$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $d_1$; $d_2$.

Áp dụng công thức góc giữa hai đường thẳng ta có:

+) Đường thẳng $d_1$: 6x – 5y + 4 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_1}=\left(6;-5\right)$

Đường thẳng có VTCP là $\overrightarrow{u_2}=\left(-6;5\right)$ nên VTCP là $\overrightarrow{n_2}=\left(5;6\right)$

Ta có: $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=5.6+6.\left(-5\right)=0$. Do đó d₁ ⊥ d₂ hay góc giữa hai đường thẳng bằng 90°.

+) Đường thẳng có VTCP là $\overrightarrow{u_1}=\left(-6;5\right)$

Đường thẳng  có VTCP là $\overrightarrow{u_2}=\left(-6;5\right)$

Ta có: $\frac{-6}{5}=\frac{-6}{5}$ nên $\overrightarrow{u_1}$ và $\overrightarrow{u_2}$ cùng phương. Do đó hai đường thẳng d₁ song song hoặc trùng d₂. Do đó góc giữa hai đường thẳng bằng 0°.

+) Đường thẳng d₁: x – 2y + 4 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$

Đường thẳng d₂: y + 1 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_2}=\left(0;1\right)$

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta được:

⇒ (d₁ ; d₂) ≈ 26°34’.

+) Đường thẳng có VTCP là $\overrightarrow{u_1}=\left(-3;2\right)$ nên VTCP là $\overrightarrow{n_1}=\left(2;3\right)$

Đường thẳng d₂: 3x + 2y – 4 = 0 có VTPT là $\overrightarrow{n_2}=\left(3;2\right)$

Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta được:

⇒ (d₁ ; d₂) ≈ 22°37’.

+) Giao điểm của hai đường thẳng:

Ta có: , vậy điểm A (–1; 1) là giao điểm của hai đường thẳng

+) Khoảng cách từ A đến $∆$: 3x + y + 3 = 0:

+) Viết phương trình đường thẳng qua B, C

Ta có: B (0; 3); C (4; 0)⇒$\overrightarrow{BC}$= (4; – 3) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

Ta chọn $\overrightarrow{n}$(3; 4) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC ($\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{BC}$), suy ra phương trình đường thẳng BC có phương trình: 3.(x – 0) + 4(y – 3) = 0 hay 3x + 4y – 12 = 0

+) Độ dài đường cao kẻ từ A

Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:

+) Viết phương trình đường thẳng BC; độ dài BC

- Ta có: B(1; 5); C(3; 1) ⇒$\overrightarrow{BC}$= (2; – 4) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC

Ta chọn $\overrightarrow{n}$= (2; 1) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC ($\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{BC}$), ta viết được phương trình đường thẳng qua BC như sau: 2.(x – 1) + 1.(y – 5) = 0 hay

2x + y – 7 = 0

- Độ dài BC: BC = $\sqrt{{(3-1)}^2+{(1-5)}^2}=\sqrt{20}$$=2\sqrt{5}$

+) Tính độ dài đường cao kẻ từ A:

Độ dài đường cao kẻ từ A chính là khoảng cách từ A đến phương trình đường thẳng qua BC, ta có:

+) Diện tích tam giác ABC:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.h_A.BC$ = $\frac{1}{2}.\sqrt{5}.2\sqrt{5}$ = 5.