Số đường chéo là $C_n^2-n$.

+ Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên $C_n^2-n=135$.

$\iff$ $\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}-n=135$

$\iff$n(n – 1) – 2n = 270

$\iff$n² – 3n – 270 = 0

$\iff$n = 18 hoặc n = – 15

Kết hợp với điều kiện n = 18 thoả mãn.

Mỗi tập con gồm ba phần tử khác nhau của một tập hợp gồm bảy phần tử khác nhau là một tổ hợp chập 3 của 7.

Số tập con gồm ba phần tử khác nhau của một tập hợp gồm bảy phần tử khác nhau là$C_7^3$.

Ta lấy 2 điểm trong 6 điểm trên đường thẳng ∆ kết hợp với 1 điểm không thuộc ∆ tạo ra một tam giác, có $C_6^2=15$ cách lấy ra 2 điểm thuộc ∆

Vậy số tam giác được lập theo yêu cầu bài toán là: 15 tam giác.

Ta có $C_n^k=10\iff \frac{n!}{(n-k)!k!}=10$,$A_n^k=60\iff \frac{n!}{(n-k)!}=60$

Vậy $\frac{A_n^k}{C_n^k}=6$ $\iff \frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}}=6$

Suy ra k! = 6 ⇒ k = 3.

Điều kiện n ≥ 2; n $\in$ ℕ.

$A_n^2-3C_n^2=15-5n$ $\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}-3.\frac{n!}{\left(n-2\right)!2!}=15-5n$

$\iff \left(n-1\right)n-\frac{3\left(n-1\right)n}{2}=15-5n$

$\iff$ – n² + 11n – 30 = 0

$\iff$n = 5 hoặc n = 6.

Vậy có 2 giá trị của n thoả mãn.

Cứ ba đỉnh của đa giác sẽ tạo thành một tam giác.

Chọn 3 trong 10 đỉnh của đa giác tạo ra một tam giác, có $C_{10}^3=120$cách chọn 3 đỉnh bất kỳ

Vậy có 120 tam giác xác định bởi các đỉnh của đa giác 10 cạnh.

Chọn ra 4 học sinh trong đó có hai học sinh lớp 12A ta có các trường hợp

Trường hợp 1, 2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B và 1 học sinh lớp 12C

Trường hợp này có $C_4^2.C_3^1.C_2^1$ = 36 cách

Trường hợp 2, 2 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B và 0 học sinh lớp 12C

Trường hợp này có $C_4^2.C_3^2.C_2^0$ = 18 cách

Trường hợp 3, 2 học sinh lớp 12A, 0 học sinh lớp 12B và 2 học sinh lớp 12C

Trường hợp này có $C_4^2.C_3^0.C_2^2$ = 6 cách

Áp dụng quy tắc cộng ta có 36 + 18 + 6 = 60 cách chọn.

Vì lấy quả cầu đỏ nhiều hơn quả cầu xanh nên ta có các trường hợp sau

Trường hợp 1. Lấy được 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu xanh: số cách lấy là $C_5^3.C_7^2$ = 210

Trường hợp 2. Lấy được 4 quả cầu đỏ, 1 quả cầu xanh: số cách lấy là $C_5^4.C_7^1$ = 35

Trường hợp 3. Lấy được 5 quả cầu đỏ, 0 quả cầu xanh: số cách lấy là $C_5^5.C_7^0$ = 1

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lấy là: 210 + 35 + 1 = 246.

Đa giác có n cạnh $\left(n\in \mathbb{N},n\ge 3\right)$.

Số đường chéo trong đa giác là: $C_n^2-n$.

Vì số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có

$C_n^2-n=2n\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!.2!}=3n$

⇒ n(n – 1) = 6n

⇒ n = 7 hoặc n = 0

Kết hợp với điều kiện n = 7 thoả mãn.

Ta có $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n\left(n-1\right)\mathrm{...}\left(n-k+1\right)$. Do đó A đúng và D sai.

Ta lại có: P_n = n! = n(n – 1)(n – 2)...2.1.

Điều kiện: 0 ≤ n ≤ 5; n $\in$ℕ.

$\frac{5}{C_5^n}-\frac{2}{C_6^n}=\frac{14}{C_7^n}$$\iff \frac{5}{\frac{5!}{\left(5-n\right)!n!}}-\frac{2}{\frac{6!}{\left(6-n\right)!n!}}=\frac{14}{\frac{7!}{\left(7-n\right)!n!}}$

$\iff \frac{5.\left(5-n\right)!n!}{5!}-\frac{2.\left(6-n\right)!n!}{6!}=\frac{14.\left(7-n\right)!n!}{7!}$

$\iff$ 5.6.7 – 2.7.(6 – n) = 14.(6 – n)(7 – n)

$\iff$14n² – 196n + 462 = 0

$\iff$n = 11 hoặc n = 3

Kết hợp với điều kiện n = 3 thoả mãn.  

Vì trong 2n điểm đã cho không có 3 điểm nào thẳng hàng nên cứ 3 điểm tạo thành một mặt phẳng, thế thì ta có $C_{2n}^3$ mặt phẳng.

Tuy nhiên vì trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên mặt phẳng nên n điểm này có duy nhất 1 mặt phẳng.

Vậy số mặt phẳng có được là $\left(C_{2n}^3-C_n^3+1\right)$.

Theo đề bài ta có: $C_{2n}^3-C_n^3+1=505$ $\iff \frac{\left(2n\right)!}{3!\left(2n-3\right)!}-\frac{n!}{3!\left(n-3\right)!}=504$

$\iff$2n(2n – 1)(2n – 2) – n(n – 1)(n – 2) = 3024

$\iff$7n³ – 9n² + 2n – 3024 = 0

$\iff$ n = 8 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy n = 8.

Gọi số vận động viên nam là n.

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là $2.C_n^2=n\left(n-1\right)$.

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là $\mathrm{2.2.}n=4n$

Vậy ta có n(n – 1) – 4n = 84

$\iff$ n² – 5n – 84 = 0

$\iff$n = 12 hoặc n = – 7.

Kết hợp với điều kiện n = 12 thoả mãn

Vậy số ván các vận động viên chơi là $2C_{14}^2=182$.

Cách chọn 6 người trong đó có đúng 2 nữ vậy số nam chọn là 4

Số cách chọn là: $C_6^2.C_8^4=1050$ cách.