Gọi số trận thắng của đội Arsenal là $W$, số trận hòa là $D$. Vì đội Arsenal đã thi đấu tổng cộng 38 trận, ta có phương trình:

$W + D = 38$

Đội Arsenal đã giành được 90 điểm. Theo quy định, mỗi trận thắng được 3 điểm và mỗi trận hòa được 1 điểm, do đó ta có phương trình thứ hai:

$3W + D = 90$

Bây giờ ta có hai phương trình:

1. $W + D = 38$ (phương trình 1)
2. $3W + D = 90$ (phương trình 2)

Ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách trừ phương trình 1 từ phương trình 2:

$(3W + D) - (W + D) = 90 - 38$

Giải phương trình này:

$3W + D - W - D = 90 - 38$
$2W = 52$
$W = 26$

Vậy đội Arsenal đã thắng **26 trận**.

### Kiểm tra:
- Nếu $W = 26$, thì từ phương trình 1, ta có:
$D = 38 - W = 38 - 26 = 12$
- Tính điểm:
$3W + D = 3 \times 26 + 12 = 78 + 12 = 90$

Kết quả đúng với số điểm đã cho. Do đó, đội Arsenal đã thắng **26 trận** trong mùa giải 2003-2004.

Gọi số dân của ba huyện A, B, và C lần lượt là $A$, $B$, và $C$.

Chúng ta có các phương trình sau:

1. $A + B + C = 163210$ (tổng dân số các huyện)
2. $A + B = 102420$ (tổng dân số huyện A và B)
3. $B + C = 106430$ (tổng dân số huyện B và C)

Bây giờ, ta sẽ giải các phương trình để tìm số dân của huyện B.

Từ phương trình (2), ta có:

$C = 163210 - (A + B) = 163210 - 102420$
$C = 60790$

Bây giờ, thay giá trị của $C$ vào phương trình (3):

$B + 60790 = 106430$

Giải phương trình trên để tìm $B$:

$B = 106430 - 60790$
$B = 45640$

Như vậy, số dân của huyện B là **45,640 người**.

### Kiểm tra:
1. Tính $A$:
$A + B = 102420 \implies A + 45640 = 102420 \implies A = 102420 - 45640 = 56780$
2. Tính $C$:
$A + B + C = 163210 \implies 56780 + 45640 + C = 163210 \implies C = 163210 - (56780 + 45640) = 60790$

Tất cả đều hợp lý. Kết quả là đúng. Số dân của huyện B là **45,640 người**.

Để tìm ra hai số $p + 10$ và $p + 14$ cùng là số nguyên tố, ta sẽ xem xét một số tính chất của các số nguyên tố.

### Các bước kiểm tra:

1. **Tính chất của các số nguyên tố:**
- Số nguyên tố lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.
- Hai số nguyên tố liên tiếp không thể chênh lệch nhau là 2 (trong khi hầu hết các số nguyên tố chênh lệch nhau nhiều hơn 2).

2. **Xem xét hướng giải:**
- Ta có $p + 10$ và $p + 14$. Hiệu của hai số này là:
$(p + 14) - (p + 10) = 4$
- Nếu $p + 10$ và $p + 14$ cùng là số nguyên tố, thì một trong hai số này phải là số nguyên tố lẻ (trừ trường hợp đặc biệt là số 2).

3. **Kiểm tra các giá trị của $p$:**
- Nếu $p + 10$ là số nguyên tố, thì $p + 14$ cũng sẽ là số nguyên tố, và ngược lại.
- Tuy nhiên, với $(p + 10)$ và $(p + 14)$, ta nhận thấy rằng: nếu $p$ là một số chẵn, thì cả hai số này sẽ là số chẵn, và số chẵn duy nhất là số nguyên tố là 2.
- Với $p = -8$:
$p + 10 = -8 + 10 = 2 \quad (\text{số nguyên tố})$
$p + 14 = -8 + 14 = 6 \quad (\text{không phải số nguyên tố})$

Do đó, ta có thể xét:

1. **Nếu $p$ là số lẻ:**
- Một số kiểm tra cụ thể:
- Giả sử $p = -9$:
$p + 10 = -9 + 10 = 1 \quad (\text{không phải số nguyên tố})$

- Giả sử $p = 1$:
$p + 10 = 1 + 10 = 11 \quad (\text{số nguyên tố})$
$p + 14 = 1 + 14 = 15 \quad (\text{không phải số nguyên tố})$

- Tiếp tục kiểm tra các giá trị khác...

### Kết luận:

Như vậy, có vẻ không có nhiều giá trị $p$ mà tại đó $p + 10$ và $p + 14$ đều là số nguyên tố.

**Tóm lại,** các giá trị $p$ cụ thể cần kiểm tra để $p + 10$ và $p + 14$ là số nguyên tố là không dễ tìm và không có một bộ giá trị nào đảm bảo cả hai số đều là nguyên tố trong trường hợp thông thường.

Để $3n + 6$ là một số nguyên tố, trước tiên ta có thể viết lại biểu thức này như sau:

$3n + 6 = 3(n + 2)$

Vì $3(n + 2)$ chứa yếu tố 3, để $3(n + 2)$ là một số nguyên tố, $n + 2$ phải bằng 1 (vì số 3 là số nguyên tố duy nhất chia hết cho 3). Ta có:

$n + 2 = 1 \implies n = -1$

Bây giờ, ta kiểm tra giá trị của $n = -1$:

$3n + 6 = 3(-1) + 6 = -3 + 6 = 3$

Chúng ta nhận được $3$, và số 3 là một số nguyên tố.

### Các giá trị khác của $n$

Nếu $n + 2$ lớn hơn hoặc bằng 2, thì $3(n + 2)$ sẽ lớn hơn hoặc bằng 6 (vì $3 \times 2 = 6$), và số 6 không phải là số nguyên tố (chỉ có 2 và 3 là số nguyên tố nhỏ hơn 6 mà chia hết cho 3).

Do đó, $3n + 6$ chỉ có thể là một số nguyên tố khi $n = -1$.

### Kết luận

Tóm lại, $n = -1$ là giá trị duy nhất mà tại đó $3n + 6$ là một số nguyên tố.

Để giải phương trình $\sin 3x = \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)$, trước tiên chúng ta có thể sử dụng tính chất của hàm sin để đơn giản hóa phương trình.

Biết rằng $\sin(a + \frac{\pi}{2}) = \cos(a)$, ta có thể viết lại phương trình như sau:

$\sin 3x = \cos 2x$

Tiếp theo, chúng ta có hai phương pháp để giải phương trình này:

### Phương pháp 1: Sử dụng đồng nhất thức

Theo định lý về sin, ta có:

$\sin A = \sin B \Rightarrow A = B + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad A = \pi - B + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Áp dụng cho phương trình của chúng ta:

1. **Phương trình 1**:
$3x = 2x + \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
Giải phương trình này:
$3x - 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$

2. **Phương trình 2**:
$3x = \pi - (2x + \frac{\pi}{2}) + 2k\pi$
Giải phương trình này:
$3x = \pi - 2x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
Sắp xếp lại:
$3x + 2x = \pi - \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow 5x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}$

### Kết quả:
Vậy nghiệm của phương trình $\sin 3x = \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right)$ là:

1. $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
2. $x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}$

Với $k \in \mathbb{Z}$.

Bạn có thể lựa chọn các giá trị của $k$ để tìm nghiệm cụ thể trong một khoảng nhất định.

### 1. Tìm nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ trong đoạn $[-2\pi; \pi]$

Phương trình $\sin x = 0$ có nghiệm tại các giá trị $x = n\pi$, với $n$ là số nguyên.

Trong khoảng $[-2\pi; \pi]$, ta cần tìm các giá trị của $n$:

- Với $n = -2$:
$x = -2\pi$

- Với $n = -1$:
$x = -\pi$

- Với $n = 0$:
$x = 0$

- Với $n = 1$:
$x = \pi$

Vậy các nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ trong đoạn $[-2\pi; \pi]$ là:
$x = -2\pi, -\pi, 0, \pi$

### 2. Tìm nghiệm của phương trình $\tan x = 1$ trong khoảng $(- \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$

Phương trình $\tan x = 1$ có nghiệm tại các giá trị:
$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$
với $n$ là số nguyên.

Ta tìm các giá trị của $n$ sao cho $x$ nằm trong khoảng $(- \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$:

- Với $n = 0$:
$x = \frac{\pi}{4} \quad (\text{Nằm trong khoảng})$

- Với $n = 1$:
$x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} \quad (\text{Nằm trong khoảng})$

- Với $n = -1$:
$x = \frac{\pi}{4} - \pi = \frac{\pi}{4} - \frac{4\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \quad (\text{Nằm trong khoảng})$

- Với $n = 2$:
$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \quad (\text{Ngoài khoảng})$

Vậy các nghiệm của phương trình $\tan x = 1$ trong khoảng $(- \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ là:
$x = -\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

### Kết luận
1. Nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ trong $[-2\pi; \pi]$: $-2\pi, -\pi, 0, \pi$
2. Nghiệm của phương trình $\tan x = 1$ trong $(- \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$: $-\frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

1. The **shining sun** warmed the beach.
2. The **roaring lion** is the king of the jungle.
3. I bought a book about **cooking pasta**.
4. The **swimming pool** is full of children.
5. The **running shoes** on sale caught my eye.
6. She admired the **breathtaking painting** in the gallery.
7. The **dancing flames** created a cozy atmosphere.
8. The **flying birds** filled the sky at sunset.
9. I enjoy the sound of **growing plants** in the garden.
10. The **swimming lesson** starts at noon.
11. The **barking dogs** disturbed the quiet neighborhood.
12. They are watching a movie about **traveling the world**.
13. The **falling leaves** signal the arrival of autumn.
14. He reviewed the **boring lecture** from last week.
15. The **glimmering stars** lit up the night sky.
16. The **baking cookies** filled the house with a sweet aroma.
17. The **migrating birds** travel long distances each year.
18. She loves the **singing voices** of the choir.
19. The **gliding eagle** soared high above the mountains.
20. The **snapping turtles** are fascinating creatures in the pond.

Để so sánh hai phân số $\frac{47}{15}$ và $\frac{65}{21}$, ta có thể quy đồng mẫu số hoặc chuyển chúng thành số thập phân. Dưới đây là cả hai cách:

### Cách 1: Quy đồng mẫu số
Mẫu số chung nhỏ nhất của $15$ và $21$ là $105$.

**Bước 1:** Quy đổi $\frac{47}{15}$

$\frac{47}{15} = \frac{47 \times 7}{15 \times 7} = \frac{329}{105}$

**Bước 2:** Quy đổi $\frac{65}{21}$

$\frac{65}{21} = \frac{65 \times 5}{21 \times 5} = \frac{325}{105}$

**Bước 3:** So sánh

Bây giờ ta có:

$\frac{329}{105} \quad \text{và} \quad \frac{325}{105}$

Rõ ràng:

$329 > 325 \implies \frac{47}{15} > \frac{65}{21}$

### Cách 2: Chuyển sang số thập phân
Tính giá trị của từng phân số:

$\frac{47}{15} \approx 3.1333$
$\frac{65}{21} \approx 3.0952$

### Kết luận
Cả hai cách đều cho thấy:

$\frac{47}{15} > \frac{65}{21}$

Để thực hiện phép tính $\frac{5}{6} \left( \frac{7}{4} + 0.125 \right)$, ta sẽ tiến hành theo các bước dưới đây.

### Bước 1: Chuyển đổi 0.125 thành phân số

Ta biết rằng $0.125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

### Bước 2: Tính tổng trong dấu ngoặc

Bây giờ ta cần tính $\frac{7}{4} + \frac{1}{8}$.

Để cộng hai phân số này, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung của $4$ và $8$ là $8$.

- Quy đổi $\frac{7}{4}$ về mẫu số 8:
$\frac{7}{4} = \frac{7 \times 2}{4 \times 2} = \frac{14}{8}$

Bây giờ ta có:
$\frac{14}{8} + \frac{1}{8} = \frac{14 + 1}{8} = \frac{15}{8}$

### Bước 3: Nhân với $\frac{5}{6}$

Bây giờ ta trở lại biểu thức ban đầu:
$\frac{5}{6} \left( \frac{15}{8} \right) = \frac{5 \times 15}{6 \times 8}$

### Bước 4: Tính toán

Tính tử số và mẫu số:
$\frac{75}{48}$

### Bước 5: Rút gọn phân số

Cả $75$ và $48$ đều có thể chia cho $3$:
$75 \div 3 = 25, \quad 48 \div 3 = 16$
Vậy ta có:
$\frac{75}{48} = \frac{25}{16}$

### Kết luận

Giá trị cuối cùng của biểu thức $\frac{5}{6} \left( \frac{7}{4} + 0.125 \right)$ là:
$\frac{25}{16}$

Để giải bất phương trình hoặc phương trình mà có dạng $Ax = A + 1822$, chúng ta có thể biến đổi phương trình này để tìm được giá trị của $x$.

### Bước 1: Biến đổi phương trình

Bắt đầu từ phương trình:

$Ax = A + 1822$

### Bước 2: Trường hợp A khác 0

Nếu $A eq 0$, chúng ta có thể chia cả hai vế cho $A$:

$x = 1 + \frac{1822}{A}$

### Bước 3: Trường hợp A bằng 0

Nếu $A = 0$, phương trình trở thành:

$0 = 0 + 1822$

Điều này là không hợp lệ vì nó cho ra một mệnh đề sai (0 không thể bằng 1822).

### Kết luận

Vì vậy, sự giải của phương trình $Ax = A + 1822$ là:

- Nếu $A eq 0$:
$x = 1 + \frac{1822}{A}$

- Nếu $A = 0$: Không có nghiệm.

Nếu muốn biết thêm thông tin cụ thể về $A$ hoặc các điều kiện khác, xin hãy cung cấp thêm chi tiết!

Để tìm chữ số tận cùng của biểu thức $2^{2^n} + 1$, chúng ta cần xác định giá trị của $2^{2^n}$ modulo 10, vì chữ số tận cùng của một số bằng giá trị của nó modulo 10.

### Bước 1: Tìm chu kỳ của $2^n$ mod 10

Chúng ta sẽ tính chu kỳ của $2^n$ theo $n$ mod 10:
- $2^1 \equiv 2$ (mod 10)
- $2^2 \equiv 4$ (mod 10)
- $2^3 \equiv 8$ (mod 10)
- $2^4 \equiv 6$ (mod 10)
- $2^5 \equiv 2$ (mod 10)

Ta nhận thấy chu kỳ của $2^n$ mod 10 là 4: $2, 4, 8, 6$.

### Bước 2: Tìm $2^{2^n} \mod 10$

Do chu kỳ của $2^n$ là 4, chúng ta cần xác định $2^n \mod 4$ để biết được vị trí trong chu kỳ:

- $n = 0$: $2^n = 2^0 = 1$ $\Rightarrow 2^{2^0} \equiv 2^1 \equiv 2$ (mod 10)
- $n = 1$: $2^n = 2^1 = 2$ $\Rightarrow 2^{2^1} \equiv 2^2 \equiv 4$ (mod 10)
- $n = 2$: $2^n = 2^2 = 4$ $\Rightarrow 2^{2^2} \equiv 2^4 \equiv 6$ (mod 10)
- $n \geq 3$: Bắt đầu từ $n = 3$:
+ $2^3 = 8 \equiv 0$ (mod 4) $\Rightarrow 2^{2^n} \equiv 2^4 \equiv 6$ (mod 10)

### Bước 3: Kết hợp giá trị

Bây giờ ta tính $2^{2^n} + 1$ cho các giá trị của $n$:

- $n = 0$: $2^{2^0} + 1 \equiv 2 + 1 \equiv 3$ (mod 10)
- $n = 1$: $2^{2^1} + 1 \equiv 4 + 1 \equiv 5$ (mod 10)
- $n = 2$: $2^{2^2} + 1 \equiv 6 + 1 \equiv 7$ (mod 10)
- $n \geq 3$: $2^{2^n} + 1 \equiv 6 + 1 \equiv 7$ (mod 10)

### Kết luận
Chữ số tận cùng của $2^{2^n} + 1$ tùy thuộc vào giá trị của $n$:
- Với $n = 0$: chữ số tận cùng là $3$.
- Với $n = 1$: chữ số tận cùng là $5$.
- Với $n \geq 2$: chữ số tận cùng là $7$.

Tóm lại:
- Nếu $n = 0$, chữ số tận cùng là $3$.
- Nếu $n = 1$, chữ số tận cùng là $5$.
- Nếu $n \geq 2$, chữ số tận cùng là $7$.

Để giải bài toán, trước tiên ta cần hình dung được các thành phần trong bài:

- Đường tròn $(O; 5 \, \text{cm})$ có bán kính 5 cm.
- Dây $AB = 8 \, \text{cm}$ được vẽ trong đường tròn.
- $M$ là trung điểm của dây $AB$.
- $CD$ là đường kính.

### Bước 1: Tìm khoảng cách từ $O$ đến dây $AB$

- Dài dây $AB$ là 8 cm nên nửa chiều dài dây $AB$ (từ trung điểm $M$ đến hai đầu $A$ và $B$) là $\frac{AB}{2} = 4 \, \text{cm}$.

Áp dụng định lý Pythagorean vào tam giác vuông $OMA$ (với $O$ là tâm, $M$ là trung điểm của $AB$, và $A$ là một đầu của dây):

- Gọi $OM = d$ là khoảng cách từ $O$ đến dây $AB$.

Ta có

$OA^2 = OM^2 + AM^2$

Thay vào các giá trị đã biết:

$5^2 = d^2 + 4^2$

$25 = d^2 + 16$

$d^2 = 25 - 16 = 9$

$d = 3 \, \text{cm}$

### Bước 2: Tính dây AD

- Dây $AD$ sẽ là một dây trực tiếp từ một điểm $A$ trên dây $AB$ đến một điểm $D$ trên đường kính $CD$.

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ và $D$ nằm trên đường kính, cân đối của $C$ và $D$ nằm trên trục đối xứng của $AB$.

### Bước 3: Hình thành chiều dài dây $AD$

Sử dụng dây AB và tâm O, có bội số là độ dài của dây thẳng từ A đến D, trên độ dài tối đa của đồng giác.

Dây AD sẽ dài như vậy từ điểm A đến I.

Khi tính hoàn hảo, chiều dài dây AD có thể được tính từ O và D, với công thức như độ dài đoạn thẳng mà có thể được biểu diễn:

Tính AD:

VD:

- Dây AD = 5 + d = 5 + 3 = 8 cm

### Kết luận

Vậy, dây $AD$ trong trường hợp này sẽ mang chiều dài bằng 8 cm.

Để tính tổng $S = 1^2 - 4^2 + 7^2 - 10^2 + \ldots + 97^2 - 100^2$, chúng ta sẽ nhóm các số hạng lại với nhau.

### Bước 1: Nhóm và viết lại tổng

Ta nhận thấy rằng mỗi cặp có dạng $a^2 - b^2$, với $a$ là một số của dãy số thêm 3 (bắt đầu từ 1) và $b$ là số tiếp theo (bắt đầu từ 4 và tăng lên 6).

- Cặp đầu tiên: $1^2 - 4^2$
- Cặp thứ hai: $7^2 - 10^2$
- Cặp thứ ba: $13^2 - 16^2$
- ...
- Cặp cuối: $97^2 - 100^2$

- Cách nhóm: $(1, 4), (7, 10), (13, 16), \ldots, (97, 100)$

### Bước 2: Sử dụng công thức hiệu bình phương

Biết rằng $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, nơi $a = 3n - 2$ và $b = 3n + 1$.

- Tính $a - b = (3n - 2) - (3n + 1) = -3$
- Tính $a + b = (3n - 2) + (3n + 1) = 6n - 1$

Vậy:

$a^2 - b^2 = -3(6n - 1) = -18n + 3$

### Bước 3: Xác định số lượng cặp

Ta có thể tìm số n cặp từ 1 đến 100. Nhìn vào dãy số tọa độ:

- Giả sử: $3n - 2 = 97 \Rightarrow n = \frac{99}{3} = 33$

- Số n cặp = 33 cặp.

### Bước 4: Tính tổng cho tất cả các cặp

Với $n = 1, 2, \ldots, 33$:

$S = \sum_{n=1}^{33} (-18n + 3)$

Xét tổng:

$S = -18 \sum_{n=1}^{33} n + 3 \cdot 33$

Sử dụng công thức tổng số nguyên:

$\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k+1)}{2}$

Áp dụng vào đây cho $k = 33$:

$\sum_{n=1}^{33} n = \frac{33 \times 34}{2} = 561$

### Bước 5: Thay vào công thức

Tiến hành tính $S$:

$S = -18 \cdot 561 + 3 \cdot 33$
$S = -10098 + 99$
$S = -10008$

### Kết luận

Giá trị của tổng $1^2 - 4^2 + 7^2 - 10^2 + \ldots + 97^2 - 100^2$ là:

$\boxed{-10008}$

Để chứng minh định lý trong hình bình hành rằng hai góc đối bằng nhau, trước tiên, ta cần hình dung hình bình hành và các yếu tố liên quan. Dưới đây là các bước cho việc vẽ hình và chứng minh:

### Hình Vẽ
1. Vẽ một hình bình hành $ABCD$ với $A$ là điểm ở trên cùng bên trái, $B$ là điểm ở trên cùng bên phải, $C$ là điểm ở dưới cùng bên phải, và $D$ là điểm ở dưới cùng bên trái.
2. Ghi các góc: Gọi $\angle ABC$ và $\angle CDA$ là hai góc đối nhau.

### Giả Thiết
- Hình bình hành $ABCD$
- $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$ (định nghĩa hình bình hành)

### Kết Luận
- $\angle ABC = \angle CDA$

### Chứng Minh
**Bước 1: Chứng minh các đường thẳng song song**
- Theo định nghĩa của hình bình hành, hai cặp cạnh đối song song:
- $AB \parallel CD$
- $AD \parallel BC$

**Bước 2: Sử dụng tính chất của các góc đối của đường thẳng song song**
- Khi hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng, các góc đối sẽ bằng nhau.

- Gọi $AD$ cắt $AB$ và $CD$ tại một điểm $A$ (tại góc $A$):
- Ta có $\angle DAB$ và $\angle ABC$ là các góc đồng vị.

- Tương tự, sử dụng $BC$ cắt $AD$ và $AB$ tại một điểm:
- Ta có $\angle BCD$ và $\angle CDA$ là các góc đồng vị.

**Bước 3: Kết luận**
- Từ tính chất của góc trong hình bình hành, ta có:
- $\angle DAB = \angle ABC$
- $\angle BCD = \angle CDA$

Vì vậy, hai góc đối nhau trong hình bình hành bằng nhau.

### Kết luận
Ta đã chứng minh rằng trong hình bình hành, hai góc đối bằng nhau.

**Tóm tắt sự việc chính trong truyện "Cây bàng không rụng lá" của tác giả Phong Thu:**

Truyện ngắn "Cây bàng không rụng lá" xoay quanh một gia đình sống tại một khu vực thành phố nhỏ. Nhân vật chính là hai mẹ con, trong đó người mẹ là bà Bảy, một người phụ nữ tần tảo, vất vả nuôi con ăn học. Cây bàng trước nhà là biểu tượng cho những kỷ niệm đẹp đẽ của gia đình, cũng như sự bền bỉ trong cuộc sống.

Trong những ngày trời trở gió, cây bàng vẫn đứng vững, không rụng lá, điều này tượng trưng cho sức mạnh và sự kiên cường của bà Bảy. Tuy nhiên, khi trời trở lạnh cuối năm, một biến cố xảy ra: một chiếc xe ô tô lấn làn đã đâm vào cây và làm gãy đi một nhánh. Sự việc này không chỉ mang lại đau xót cho gia đình, mà còn là một dấu hiệu của sự chuyển biến trong cuộc sống của họ.

Cuối cùng, câu chuyện không chỉ nói về cây bàng mà còn là hình ảnh ẩn dụ cho tình cảm gia đình, những giá trị bền vững trong cuộc sống, cũng như sự chấp nhận đau thương để tiếp tục sống.

---

**Phân tích nhân vật trong truyện:**

1. **Bà Bảy (mẹ)**:
- **Tính cách**: Bà Bảy là một người phụ nữ chịu thương chịu khó, có đức hi sinh lớn dành cho con cái. Sự tần tảo của bà hiện thực hóa hình ảnh của người mẹ Việt Nam truyền thống, luôn lo toan cho gia đình.
- **Tình yêu thương**: Bà dành tình cảm sâu sắc cho con, từ việc chăm sóc cho con ăn học đến việc chăm sóc cây bàng trước nhà, biểu trưng cho sự gắn bó với quê hương và kỷ niệm.
- **Biểu tượng của sức mạnh**: Bà Bảy giống như cây bàng, luôn vững vàng trước bão tố đời thường, thể hiện sức mạnh nội tâm và lòng kiên trì của phụ nữ.

2. **Người con**:
- **Tâm tư**: Nhân vật con có thể được xem như là hình ảnh của thế hệ trẻ, với nhiều mơ ước và hoài bão. Họ chịu ảnh hưởng từ sự lao động và nỗ lực của mẹ, từ đó hiểu giá trị của cái đẹp và truyền thống.
- **Sự trưởng thành**: Qua những diễn biến trong câu chuyện, người con học được nhiều bài học từ mẹ, không chỉ về cuộc sống mà còn về giá trị của tình yêu, gia đình.

3. **Cây bàng**:
- **Biểu tượng**: Cây bàng không chỉ là một vật thể đơn thuần, đó là biểu tượng cho gia đình, là nơi lưu giữ nhiều kỷ niệm và cảm xúc. Cây bàng luôn xanh tươi, không rụng lá như một minh chứng cho sự vững bậc trong cuộc sống, dù có gặp phải khó khăn, thử thách.
- **Thay đổi**: Khi cây bàng bị gãy, nó tượng trưng cho sự mất mát, nhưng đồng thời cũng nhấn mạnh rằng dù cuộc sống có khó khăn ra sao, tình yêu thương và tinh thần đoàn kết trong gia đình vẫn sẽ là điều giữ cho con người ta luôn vững chãi.

---

"Tác phẩm "Cây bàng không rụng lá" không chỉ là một câu chuyện về gia đình mà còn là một bức tranh lớn về tình yêu quê hương, giá trị cuộc sống và sức mạnh tinh thần, qua hình ảnh người phụ nữ Việt Nam điển hình."

Để tính giá trị của $\cos(a+b) \times \cos(a-b)$, chúng ta sử dụng công thức:

$\cos(a+b) \times \cos(a-b) = \frac{1}{2}[\cos(2a) + \cos(2b)]$

**1. Tính giá trị của $\cos(a)$ và $\cos(b)$**:

- Theo đề bài, ta có:
$\cos(a) = \frac{1}{3}$
$\cos(b) = \frac{1}{4}$

**2. Tính $\sin(a)$ và $\sin(b)$**:

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta tìm $\sin(a)$ và $\sin(b)$:

- Với $\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1$:
$\sin(a) = \sqrt{1 - \cos^2(a)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$

- Với $\cos^2(b) + \sin^2(b) = 1$:
$\sin(b) = \sqrt{1 - \cos^2(b)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}.$

**3. Tính $\cos(2a)$ và $\cos(2b)$**:

- Sử dụng công thức $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$:

$\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1 = 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = \frac{2}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{7}{9}.$

$\cos(2b) = 2\cos^2(b) - 1 = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{16} - 1 = \frac{2}{16} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = \frac{1}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{7}{8}.$

**4. Tính $\frac{1}{2}[\cos(2a) + \cos(2b)]$**:

$\cos(2a) + \cos(2b) = -\frac{7}{9} - \frac{7}{8}.$
Chúng ta cần quy đồng mẫu số để cộng hai phân số này:

Mẫu số chung của $9$ và $8$ là $72$:
$-\frac{7}{9} = -\frac{56}{72}, \quad -\frac{7}{8} = -\frac{63}{72}.$
Vậy
$\cos(2a) + \cos(2b) = -\frac{56}{72} - \frac{63}{72} = -\frac{119}{72}.$

**5. Tính giá trị cuối cùng:**

$\cos(a+b) \times \cos(a-b) = \frac{1}{2}[\cos(2a) + \cos(2b)] = \frac{1}{2} \left(-\frac{119}{72}\right) = -\frac{119}{144}.$

Vậy giá trị của $\cos(a+b) \times \cos(a-b)$ là:
$\boxed{-\frac{119}{144}}.$

### Quyền dân tộc cơ bản ghi nhận trong Hiệp định Paris (27/1/1973)

Hiệp định Paris về chấm dứt chiến tranh và lập lại hòa bình ở Việt Nam ghi nhận các quyền dân tộc cơ bản của Việt Nam như sau:

1. **Quyền tự quyết của nhân dân Việt Nam:** Hiệp định công nhận quyền tự quyết của nhân dân Việt Nam trong việc lựa chọn chế độ chính trị và thực hiện việc thống nhất đất nước.

2. **Sự thống nhất của Việt Nam:** Hiệp định quy định việc chấm dứt chiến tranh, rút quân đội nước ngoài ra khỏi Việt Nam, và đồng thời công nhận quyền thống nhất của Việt Nam. Hiệp định nêu rõ rằng cuộc tổng tuyển cử sẽ được tổ chức để thống nhất đất nước dưới một chính phủ thống nhất.

3. **Độc lập và chủ quyền:** Hiệp định khẳng định sự độc lập, chủ quyền, và toàn vẹn lãnh thổ của Việt Nam, bao gồm cả miền Bắc và miền Nam.

4. **Chấm dứt sự can thiệp của nước ngoài:** Hiệp định yêu cầu chấm dứt sự can thiệp của các quốc gia ngoại bang vào công việc nội bộ của Việt Nam.

### Quá trình đấu tranh của nhân dân Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1973

**1. Sau Hiệp định Genève (1954):**

- **Chia cắt đất nước:** Hiệp định Genève (1954) đánh dấu sự chia cắt Việt Nam thành hai miền: miền Bắc dưới sự quản lý của Chính phủ Việt Nam Dân chủ Cộng hòa (do Hồ Chí Minh lãnh đạo) và miền Nam dưới chính quyền của Quốc gia Việt Nam (sau đó là Chính phủ Việt Nam Cộng hòa).

- **Xây dựng và củng cố chính quyền:** Miền Bắc tiếp tục xây dựng chế độ xã hội chủ nghĩa và củng cố quyền lực. Miền Nam dưới sự hỗ trợ của Mỹ và các quốc gia phương Tây tiếp tục kháng chiến chống lại sự ảnh hưởng của miền Bắc.

**2. Giai đoạn 1960-1965:**

- **Chống sự can thiệp của Mỹ:** Từ năm 1960, cuộc kháng chiến chống Mỹ và chính quyền Sài Gòn ngày càng mạnh mẽ. Đặc biệt, phong trào kháng chiến ở miền Nam được tăng cường, với sự hỗ trợ của miền Bắc.

- **Bước đầu vào cuộc chiến:** Mỹ đã tăng cường can thiệp quân sự ở miền Nam Việt Nam, dẫn đến việc gia tăng xung đột và chiến tranh.

**3. Giai đoạn 1965-1968:**

- **Chiến tranh gia tăng:** Cuộc chiến tranh ở miền Nam ngày càng khốc liệt, với sự gia tăng can thiệp quân sự của Mỹ và các đồng minh.

- **Phong trào phản đối chiến tranh:** Phong trào phản đối chiến tranh ở Mỹ và các nước phương Tây ngày càng mạnh mẽ, tạo áp lực đối với chính phủ Mỹ.

**4. Giai đoạn 1968-1973:**

- **Tấn công Tết Mậu Thân (1968):** Cuộc tấn công Tết Mậu Thân của lực lượng Việt Cộng tại miền Nam là một bước ngoặt quan trọng, cho thấy khả năng chiến đấu và sự kiên cường của lực lượng kháng chiến Việt Nam.

- **Đàm phán hòa bình:** Cuộc đàm phán hòa bình tại Paris bắt đầu từ năm 1968, với mục tiêu chấm dứt chiến tranh và đạt được các quyền cơ bản của nhân dân Việt Nam. Qua nhiều vòng đàm phán, các bên đã đạt được thỏa thuận vào ngày 27 tháng 1 năm 1973.

**5. Kết quả:**

- **Hiệp định Paris 1973:** Đạt được thỏa thuận về việc chấm dứt chiến tranh, rút quân đội nước ngoài, và tổ chức tổng tuyển cử để thống nhất đất nước. Hiệp định cũng công nhận quyền tự quyết và quyền thống nhất của nhân dân Việt Nam.

### Tóm tắt

Quá trình đấu tranh của nhân dân Việt Nam từ năm 1954 đến 1973 là một chuỗi các sự kiện quyết liệt nhằm khôi phục quyền dân tộc cơ bản, bao gồm quyền tự quyết, độc lập, và thống nhất đất nước. Qua các cuộc chiến tranh và đàm phán, nhân dân Việt Nam đã đạt được mục tiêu chính trị của mình thông qua Hiệp định Paris, chấm dứt chiến tranh và xác định quyền thống nhất của đất nước.

Để giải bài toán về góc của hình thang ABCD với AB // CD, ta cần dựa vào tính chất của hình thang và các thông tin đã cho:

1. **Thông tin đã cho:**
- Góc $\angle A = 2 \angle C$
- Góc $\angle A - \angle D = 40^\circ$

2. **Tính chất của hình thang:**
- Do AB và CD song song, nên:
$\angle A + \angle D = 180^\circ$
$\angle B + \angle C = 180^\circ$

Gọi $\angle C = x$. Khi đó, từ thông tin $\angle A = 2x$.

3. **Tính các góc:**
- Từ $\angle A - \angle D = 40^\circ$, ta có:
$2x - \angle D = 40^\circ$
- Vì $\angle A + \angle D = 180^\circ$, ta có:
$2x + \angle D = 180^\circ$

4. **Giải hệ phương trình:**
- Từ hai phương trình này, ta có:
$\angle D = 180^\circ - 2x \quad (1)$
Thay $\angle D$ từ (1) vào phương trình $2x - \angle D = 40^\circ$:
$2x - (180^\circ - 2x) = 40^\circ$
$2x - 180^\circ + 2x = 40^\circ$
$4x - 180^\circ = 40^\circ$
$4x = 220^\circ \rightarrow x = 55^\circ$

- Từ đó:
$\angle C = x = 55^\circ$
$\angle A = 2x = 2(55^\circ) = 110^\circ$

5. **Tính $\angle D$ và $\angle B$**:
- Tính $\angle D$:
$\angle D = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$
- Tính $\angle B$:
$\angle B = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

6. **Kết quả**:
- Các góc của hình thang ABCD lần lượt là:
$\angle A = 110^\circ, \quad \angle B = 125^\circ, \quad \angle C = 55^\circ, \quad \angle D = 70^\circ$

### Câu 1 a)

**Tìm thương và dư của phép chia đa thức $3x + 5x + 3x - 1$ cho đa thức $-x + x + 1$**

Trước tiên, chúng ta tính toán đa thức được chia và đa thức chia:

1. **Tính đa thức được chia:**
$3x + 5x + 3x - 1 = (3 + 5 + 3)x - 1 = 11x - 1$

2. **Tính đa thức chia:**
$-x + x + 1 = 0 + 1 = 1$

Tiếp theo, thực hiện phép chia $11x - 1$ cho $1$:

$\frac{11x - 1}{1} = 11x - 1$

Ở đây, vì $1$ chia cho bất kỳ đa thức nào sẽ cho thương là chính đa thức đó và không có dư.

Vì thế, chúng ta có:
- **Thương**: $11x - 1$
- **Dư**: $0$

### Câu 1 b)

**Xét dấu biểu thức: $f(x) = \frac{(2x + 1)(x - 5)}{x^2 - 4}$**

1. **Phân tích các yếu tố:**
- Tử số: $(2x + 1)(x - 5)$
- Mẫu số: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

2. **Tìm nghiệm:**
- **Tử số**:
- $2x + 1 = 0$ ⇒ $x = -\frac{1}{2}$
- $x - 5 = 0$ ⇒ $x = 5$
- **Mẫu số**:
- $x - 2 = 0$ ⇒ $x = 2$
- $x + 2 = 0$ ⇒ $x = -2$

3. **Tập hợp các điểm làm rời rạc biểu thức**:
- Các nghiệm làm tử số bằng 0: $x = -\frac{1}{2}, x = 5$
- Các nghiệm làm mẫu số bằng 0 (cần loại trừ): $x = 2, x = -2$

4. **Xét dấu trên từng khoảng**:
Ta chia số bất định dựa vào các nghiệm:
- Các khoảng: $(-\infty, -2), (-2, -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, 2), (2, 5), (5, +\infty)$

Bây giờ ta xét dấu của từng khoảng:

- **Khoảng $(-\infty, -2)$**:
- $(2x+1) < 0$, $(x-5) < 0$, mẫu âm ⇒ $f(x) > 0$

- **Khoảng $(-2, -\frac{1}{2})$**:
- $(2x+1) < 0$, $(x-5) < 0$, mẫu dương ⇒ $f(x) < 0$

- **Khoảng $(-\frac{1}{2}, 2)$**:
- $(2x+1) > 0$, $(x-5) < 0$, mẫu dương ⇒ $f(x) < 0$

- **Khoảng $(2, 5)$**:
- $(2x+1) > 0$, $(x-5) < 0$, mẫu dương ⇒ $f(x) < 0$

- **Khoảng $(5, +\infty)$**:
- $(2x+1) > 0$, $(x-5) > 0$, mẫu dương ⇒ $f(x) > 0$

5. **Tổng hợp dấu**:
- $f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty, -2)$ và $x \in (5, +\infty)$
- $f(x) < 0$ khi $x \in (-2, -\frac{1}{2})$, $x \in (-\frac{1}{2}, 2)$, và $x \in (2, 5)$

**Kết luận:**
- Các khoảng mà $f(x) > 0$ là $(-\infty, -2)$ và $(5, +\infty)$.
- Các khoảng mà $f(x) < 0$ là $(-2, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, 2)$, và $(2, 5)$.

Để giải bất phương trình $4x - 2x^2 \geq 0$, chúng ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Chuyển đổi bất phương trình thành dạng chuẩn**:
$4x - 2x^2 \geq 0$
Đặt lại nhau để có dạng là $0$:
$-2x^2 + 4x \geq 0$

2. **Chia hai vế cho -2** (chú ý rằng làm như vậy sẽ đảo ngược dấu bất phương trình):
$x^2 - 2x \leq 0$

3. **Phân tích biểu thức**:
$x^2 - 2x = x(x - 2) \leq 0$

4. **Tìm nghiệm**:
Các nghiệm của phương trình $x(x - 2) = 0$ là $x = 0$ và $x = 2$.

5. **Lập bảng xét dấu**:
Ta sẽ xét dấu của biểu thức $x(x - 2)$ trên các khoảng:
- Khi $x < 0$: $x(x - 2) > 0$ (vì cả hai biểu thức đều âm)
- Khi $0 < x < 2$: $x(x - 2) < 0$ (vì $x$ dương và $x - 2$ âm)
- Khi $x = 0$: $x(x - 2) = 0$
- Khi $x = 2$: $x(x - 2) = 0$
- Khi $x > 2$: $x(x - 2) > 0$ (vì cả hai biểu thức đều dương)

6. **Kết luận**:
Từ việc phân tích trên, bất phương trình $x(x - 2) \leq 0$ có nghiệm tại các điểm $x = 0$ và $x = 2$, và biểu thức âm trong khoảng mở $(0, 2)$. Do đó kết luận:
$0 \leq x \leq 2$

Kết quả là:
$x \in [0, 2]$

Nếu bạn áp dụng dấu "=" vào kết quả, ta có $0 \leq x \leq 2$ hoặc có thể nói $0 < x < 2$ như một trường hợp không bao gồm 0 và 2. Tuy nhiên, nếu bao gồm cả 0 và 2, kết quả đúng là $0 \leq x \leq 2$.