Để giải các bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

### Câu 1a:
Tìm thương và dư của phép chia đa thức \(3x + 5x + 3x - 1\) cho đa thức \(-x + x + 1\).

**Bước 1: Đơn giản hóa đa thức.**

- Đa thức cần chia: \(3x + 5x + 3x - 1\)
\[
3x + 5x + 3x - 1 = 11x - 1
\]

- Đa thức chia: \(-x + x + 1\)
\[
-x + x + 1 = 1
\]

**Bước 2: Chia \(11x - 1\) cho 1.**

Khi chia một đa thức cho 1, thương chính là đa thức đó và dư là 0.

- Thương: \(11x - 1\)
- Dư: \(0\)

### Câu 1b:
Xét dấu biểu thức \( f(x) = \frac{(2x + 1)(x - 5)}{x^2 - 4} \).

**Bước 1: Phân tích các thành phần của biểu thức.**

- Mẫu số \(x^2 - 4\) có thể phân tích thành \((x - 2)(x + 2)\).

Vậy:
\[
f(x) = \frac{(2x + 1)(x - 5)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

**Bước 2: Xác định các điểm không xác định và các điểm mà biểu thức có thể thay đổi dấu.**

- Các điểm không xác định: \(x = 2\) và \(x = -2\) (vì mẫu số bằng 0 tại các điểm này).

- Các điểm thay đổi dấu là các nghiệm của tử số: \(2x + 1 = 0\) và \(x - 5 = 0\).
\[
2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}
\]
\[
x - 5 = 0 \implies x = 5
\]

**Bước 3: Xét dấu của biểu thức trên các khoảng giữa các điểm đã xác định.**

Xét dấu của từng phần tử trong từng khoảng:

1. **Khoảng \((- \infty, -2)\):**

- \(2x + 1\) âm
- \(x - 5\) âm
- \(x - 2\) âm
- \(x + 2\) âm

Tử số: Âm × Âm = Dương
Mẫu số: Âm × Âm = Dương
Do đó, \(f(x)\) = Dương.

2. **Khoảng \((-2, -\frac{1}{2})\):**

- \(2x + 1\) âm
- \(x - 5\) âm
- \(x - 2\) âm
- \(x + 2\) dương

Tử số: Âm × Âm = Dương
Mẫu số: Âm × Dương = Âm
Do đó, \(f(x)\) = Âm.

3. **Khoảng \((- \frac{1}{2}, 2)\):**

- \(2x + 1\) dương
- \(x - 5\) âm
- \(x - 2\) âm
- \(x + 2\) dương

Tử số: Dương × Âm = Âm
Mẫu số: Âm × Dương = Âm
Do đó, \(f(x)\) = Dương.

4. **Khoảng \((2, 5)\):**

- \(2x + 1\) dương
- \(x - 5\) âm
- \(x - 2\) dương
- \(x + 2\) dương

Tử số: Dương × Âm = Âm
Mẫu số: Dương × Dương = Dương
Do đó, \(f(x)\) = Âm.

5. **Khoảng \((5, + \infty)\):**

- \(2x + 1\) dương
- \(x - 5\) dương
- \(x - 2\) dương
- \(x + 2\) dương

Tử số: Dương × Dương = Dương
Mẫu số: Dương × Dương = Dương
Do đó, \(f(x)\) = Dương.

**Kết luận:**

- Biểu thức \(f(x)\) có dấu như sau:
- Dương trên \((-\infty, -2)\)
- Âm trên \((-2, -\frac{1}{2})\)
- Dương trên \((- \frac{1}{2}, 2)\)
- Âm trên \((2, 5)\)
- Dương trên \((5, +\infty)\)

### Câu 1 a)

**Tìm thương và dư của phép chia đa thức \( 3x + 5x + 3x - 1 \) cho đa thức \( -x + x + 1 \)**

Trước tiên, chúng ta tính toán đa thức được chia và đa thức chia:

1. **Tính đa thức được chia:**
\[
3x + 5x + 3x - 1 = (3 + 5 + 3)x - 1 = 11x - 1
\]

2. **Tính đa thức chia:**
\[
-x + x + 1 = 0 + 1 = 1
\]

Tiếp theo, thực hiện phép chia \( 11x - 1 \) cho \( 1 \):

\[
\frac{11x - 1}{1} = 11x - 1
\]

Ở đây, vì \( 1 \) chia cho bất kỳ đa thức nào sẽ cho thương là chính đa thức đó và không có dư.

Vì thế, chúng ta có:
- **Thương**: \( 11x - 1 \)
- **Dư**: \( 0 \)

### Câu 1 b)

**Xét dấu biểu thức: \( f(x) = \frac{(2x + 1)(x - 5)}{x^2 - 4} \)**

1. **Phân tích các yếu tố:**
- Tử số: \( (2x + 1)(x - 5) \)
- Mẫu số: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)

2. **Tìm nghiệm:**
- **Tử số**:
- \( 2x + 1 = 0 \) ⇒ \( x = -\frac{1}{2} \)
- \( x - 5 = 0 \) ⇒ \( x = 5 \)
- **Mẫu số**:
- \( x - 2 = 0 \) ⇒ \( x = 2 \)
- \( x + 2 = 0 \) ⇒ \( x = -2 \)

3. **Tập hợp các điểm làm rời rạc biểu thức**:
- Các nghiệm làm tử số bằng 0: \( x = -\frac{1}{2}, x = 5 \)
- Các nghiệm làm mẫu số bằng 0 (cần loại trừ): \( x = 2, x = -2 \)

4. **Xét dấu trên từng khoảng**:
Ta chia số bất định dựa vào các nghiệm:
- Các khoảng: \( (-\infty, -2), (-2, -\frac{1}{2}), (-\frac{1}{2}, 2), (2, 5), (5, +\infty) \)

Bây giờ ta xét dấu của từng khoảng:

- **Khoảng \( (-\infty, -2) \)**:
- \( (2x+1) < 0 \), \( (x-5) < 0 \), mẫu âm ⇒ \( f(x) > 0 \)

- **Khoảng \( (-2, -\frac{1}{2}) \)**:
- \( (2x+1) < 0 \), \( (x-5) < 0 \), mẫu dương ⇒ \( f(x) < 0 \)

- **Khoảng \( (-\frac{1}{2}, 2) \)**:
- \( (2x+1) > 0 \), \( (x-5) < 0 \), mẫu dương ⇒ \( f(x) < 0 \)

- **Khoảng \( (2, 5) \)**:
- \( (2x+1) > 0 \), \( (x-5) < 0 \), mẫu dương ⇒ \( f(x) < 0 \)

- **Khoảng \( (5, +\infty) \)**:
- \( (2x+1) > 0 \), \( (x-5) > 0 \), mẫu dương ⇒ \( f(x) > 0 \)

5. **Tổng hợp dấu**:
- \( f(x) > 0 \) khi \( x \in (-\infty, -2) \) và \( x \in (5, +\infty) \)
- \( f(x) < 0 \) khi \( x \in (-2, -\frac{1}{2}) \), \( x \in (-\frac{1}{2}, 2) \), và \( x \in (2, 5) \)

**Kết luận:**
- Các khoảng mà \( f(x) > 0 \) là \( (-\infty, -2) \) và \( (5, +\infty) \).
- Các khoảng mà \( f(x) < 0 \) là \( (-2, -\frac{1}{2}) \), \( (-\frac{1}{2}, 2) \), và \( (2, 5) \).