Để xác định xem \(3^n + 6\) có thể là số nguyên tố không, ta cần xem xét các giá trị của \(n\) và kiểm tra tính nguyên tố của biểu thức.

**1. Xem xét các giá trị nhỏ của \(n\):**

- **Khi \(n = 1\):**

\[
3^1 + 6 = 3 + 6 = 9
\]

9 không phải là số nguyên tố (bởi vì 9 = 3 × 3).

- **Khi \(n = 2\):**

\[
3^2 + 6 = 9 + 6 = 15
\]

15 không phải là số nguyên tố (bởi vì 15 = 3 × 5).

- **Khi \(n = 3\):**

\[
3^3 + 6 = 27 + 6 = 33
\]

33 không phải là số nguyên tố (bởi vì 33 = 3 × 11).

- **Khi \(n = 4\):**

\[
3^4 + 6 = 81 + 6 = 87
\]

87 không phải là số nguyên tố (bởi vì 87 = 3 × 29).

- **Khi \(n = 5\):**

\[
3^5 + 6 = 243 + 6 = 249
\]

249 không phải là số nguyên tố (bởi vì 249 = 3 × 83).

**2. Xem xét \(n \geq 1\) và \(n\) là số nguyên dương:**

Ta có thể thấy rằng \(3^n + 6\) với \(n \geq 1\) không phải là số nguyên tố với các giá trị thử nghiệm.

**3. Kiểm tra tính nguyên tố cho giá trị lớn của \(n\):**

Để chứng minh rằng \(3^n + 6\) không phải là số nguyên tố với mọi giá trị của \(n \geq 1\), ta có thể sử dụng các phương pháp chứng minh cho giá trị lớn hơn. Cụ thể, chúng ta có thể chứng minh rằng:

- \(3^n + 6\) có thể phân tích thành các yếu tố không phải là số nguyên tố cho tất cả các \(n\).

**Chứng minh:**

- Nếu \(n\) là số nguyên dương và \(n \geq 1\), \(3^n + 6\) có thể được viết dưới dạng:

\[
3^n + 6 = 3 \cdot 3^{n-1} + 6
\]

Khi \(n \geq 2\), ta có:

\[
3^n + 6 = 3 \cdot (3^{n-1} + 2)
\]

Trong trường hợp này, \(3^n + 6\) luôn chia hết cho 3 (khi \(n \geq 1\)) và lớn hơn 3, vì vậy nó không thể là số nguyên tố trừ khi nó bằng 3.

- Để \(3^n + 6\) là số nguyên tố, \(3^n + 6\) phải bằng 3, nhưng điều này chỉ xảy ra khi \(n = 0\), điều này không phải là số nguyên dương.

**Kết luận:**

Biểu thức \(3^n + 6\) không thể là số nguyên tố đối với bất kỳ giá trị nguyên dương nào của \(n\).