Để tính giá trị của \(\cos(a+b) \times \cos(a-b)\) khi biết \(\cos a = \frac{1}{3}\) và \(\cos b = \frac{1}{4}\), ta có thể sử dụng các công thức lượng giác.

**Bước 1: Sử dụng công thức lượng giác**

Ta có công thức:

\[
\cos(a+b) \times \cos(a-b) = \frac{1}{2} [\cos(2a) + \cos(2b)]
\]

**Bước 2: Tính \(\cos(2a)\) và \(\cos(2b)\)**

Ta sử dụng công thức:
\[
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1
\]

- **Tính \(\cos(2a)\):**

\[
\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1
\]

Với \(\cos a = \frac{1}{3}\):

\[
\cos^2(a) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}
\]

\[
\cos(2a) = 2 \times \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = \frac{2}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{7}{9}
\]

- **Tính \(\cos(2b)\):**

\[
\cos(2b) = 2\cos^2(b) - 1
\]

Với \(\cos b = \frac{1}{4}\):

\[
\cos^2(b) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}
\]

\[
\cos(2b) = 2 \times \frac{1}{16} - 1 = \frac{2}{16} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = \frac{1}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{7}{8}
\]

**Bước 3: Tính \(\cos(a+b) \times \cos(a-b)\)**

\[
\cos(a+b) \times \cos(a-b) = \frac{1}{2} [\cos(2a) + \cos(2b)]
\]

Thay các giá trị đã tính được:

\[
\cos(a+b) \times \cos(a-b) = \frac{1}{2} \left[-\frac{7}{9} + \left(-\frac{7}{8}\right)\right]
\]

\[
\cos(a+b) \times \cos(a-b) = \frac{1}{2} \left[-\frac{7}{9} - \frac{7}{8}\right]
\]

Tìm mẫu số chung để cộng các phân số:

\[
-\frac{7}{9} - \frac{7}{8} = -\frac{7 \times 8 + 7 \times 9}{72} = -\frac{56 + 63}{72} = -\frac{119}{72}
\]

\[
\cos(a+b) \times \cos(a-b) = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{119}{72}\right) = -\frac{119}{144}
\]

### Kết luận

Giá trị của \(\cos(a+b) \times \cos(a-b)\) là \(-\frac{119}{144}\).

Để tính giá trị của \( \cos(a+b) \times \cos(a-b) \), chúng ta sử dụng công thức:

\[
\cos(a+b) \times \cos(a-b) = \frac{1}{2}[\cos(2a) + \cos(2b)]
\]

**1. Tính giá trị của \( \cos(a) \) và \( \cos(b) \)**:

- Theo đề bài, ta có:
\[
\cos(a) = \frac{1}{3}
\]
\[
\cos(b) = \frac{1}{4}
\]

**2. Tính \( \sin(a) \) và \( \sin(b) \)**:

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta tìm \( \sin(a) \) và \( \sin(b) \):

- Với \( \cos^2(a) + \sin^2(a) = 1 \):
\[
\sin(a) = \sqrt{1 - \cos^2(a)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.
\]

- Với \( \cos^2(b) + \sin^2(b) = 1 \):
\[
\sin(b) = \sqrt{1 - \cos^2(b)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}.
\]

**3. Tính \( \cos(2a) \) và \( \cos(2b) \)**:

- Sử dụng công thức \( \cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 \):

\[
\cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1 = 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{9} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = \frac{2}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{7}{9}.
\]

\[
\cos(2b) = 2\cos^2(b) - 1 = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{1}{16} - 1 = \frac{2}{16} - 1 = \frac{1}{8} - 1 = \frac{1}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{7}{8}.
\]

**4. Tính \( \frac{1}{2}[\cos(2a) + \cos(2b)] \)**:

\[
\cos(2a) + \cos(2b) = -\frac{7}{9} - \frac{7}{8}.
\]
Chúng ta cần quy đồng mẫu số để cộng hai phân số này:

Mẫu số chung của \( 9 \) và \( 8 \) là \( 72 \):
\[
-\frac{7}{9} = -\frac{56}{72}, \quad -\frac{7}{8} = -\frac{63}{72}.
\]
Vậy
\[
\cos(2a) + \cos(2b) = -\frac{56}{72} - \frac{63}{72} = -\frac{119}{72}.
\]

**5. Tính giá trị cuối cùng:**

\[
\cos(a+b) \times \cos(a-b) = \frac{1}{2}[\cos(2a) + \cos(2b)] = \frac{1}{2} \left(-\frac{119}{72}\right) = -\frac{119}{144}.
\]

Vậy giá trị của \( \cos(a+b) \times \cos(a-b) \) là:
\[
\boxed{-\frac{119}{144}}.
\]