Để giải phương trình \(\sin(3x) = \sin(2x + \frac{\pi}{2})\), ta sử dụng tính chất của hàm lượng giác.

Tính chất quan trọng là nếu \(\sin A = \sin B\), thì \(A\) và \(B\) có thể bằng nhau hoặc khác nhau bội số của \(\pi\), nghĩa là:
\[ A = B + 2k\pi \]
hoặc
\[ A = \pi - B + 2k\pi \]
với \(k\) là số nguyên.

Áp dụng tính chất này cho phương trình \(\sin(3x) = \sin(2x + \frac{\pi}{2})\), ta có:

1. **Trường hợp 1: \(3x = 2x + \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)**

\[
3x = 2x + \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]

2. **Trường hợp 2: \(3x = \pi - (2x + \frac{\pi}{2}) + 2k\pi\)**

\[
3x = \pi - 2x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
3x = \frac{\pi}{2} - 2x + 2k\pi
\]
\[
5x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
x = \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{5}
\]
\[
x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}
\]

Tóm lại, các nghiệm của phương trình \(\sin(3x) = \sin(2x + \frac{\pi}{2})\) là:

1. \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\)
2. \(x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}\)

với \(k\) là số nguyên.

Để giải phương trình \( \sin 3x = \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right) \), trước tiên chúng ta có thể sử dụng tính chất của hàm sin để đơn giản hóa phương trình.

Biết rằng \( \sin(a + \frac{\pi}{2}) = \cos(a) \), ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
\sin 3x = \cos 2x
\]

Tiếp theo, chúng ta có hai phương pháp để giải phương trình này:

### Phương pháp 1: Sử dụng đồng nhất thức

Theo định lý về sin, ta có:

\[
\sin A = \sin B \Rightarrow A = B + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad A = \pi - B + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Áp dụng cho phương trình của chúng ta:

1. **Phương trình 1**:
\[
3x = 2x + \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
Giải phương trình này:
\[
3x - 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]

2. **Phương trình 2**:
\[
3x = \pi - (2x + \frac{\pi}{2}) + 2k\pi
\]
Giải phương trình này:
\[
3x = \pi - 2x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
Sắp xếp lại:
\[
3x + 2x = \pi - \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow 5x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5}
\]

### Kết quả:
Vậy nghiệm của phương trình \( \sin 3x = \sin \left(2x + \frac{\pi}{2}\right) \) là:

1. \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
2. \( x = \frac{\pi}{10} + \frac{2k\pi}{5} \)

Với \( k \in \mathbb{Z} \).

Bạn có thể lựa chọn các giá trị của \( k \) để tìm nghiệm cụ thể trong một khoảng nhất định.