Để xác định khi nào \( p + 10 \) và \( p + 14 \) là các số nguyên tố đồng thời, ta cần xem xét các điều kiện sao cho cả hai biểu thức đều là số nguyên tố.

**1. Xem xét các giá trị nhỏ của \( p \):**

Thử một số giá trị nhỏ cho \( p \) để kiểm tra:

- **Khi \( p = 1 \):**
\[
p + 10 = 11 \text{ (nguyên tố)}
\]
\[
p + 14 = 15 \text{ (không phải là số nguyên tố)}
\]

- **Khi \( p = 3 \):**
\[
p + 10 = 13 \text{ (nguyên tố)}
\]
\[
p + 14 = 17 \text{ (nguyên tố)}
\]

Với \( p = 3 \), cả \( p + 10 \) và \( p + 14 \) đều là số nguyên tố.

- **Khi \( p = 5 \):**
\[
p + 10 = 15 \text{ (không phải là số nguyên tố)}
\]
\[
p + 14 = 19 \text{ (nguyên tố)}
\]

- **Khi \( p = 7 \):**
\[
p + 10 = 17 \text{ (nguyên tố)}
\]
\[
p + 14 = 21 \text{ (không phải là số nguyên tố)}
\]

- **Khi \( p = 11 \):**
\[
p + 10 = 21 \text{ (không phải là số nguyên tố)}
\]
\[
p + 14 = 25 \text{ (không phải là số nguyên tố)}
\]

**2. Xem xét điều kiện tổng quát:**

Để \( p + 10 \) và \( p + 14 \) đều là số nguyên tố, ta có thể viết điều kiện cho \( p \):

\[
p + 10 \text{ và } p + 14 \text{ đều phải là số nguyên tố}
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
p + 14 - (p + 10) = 4
\]

Vậy:

\[
\text{Nếu } p + 10 \text{ là số nguyên tố, thì } p + 14 = p + 10 + 4
\]

Cả hai số nguyên tố sẽ cách nhau 4 đơn vị. Ta chỉ cần kiểm tra một số giá trị \( p \) sao cho \( p + 10 \) và \( p + 14 \) đều là số nguyên tố.

**Kết luận:**

Sau khi thử nghiệm, ta thấy rằng khi \( p = 3 \), cả \( p + 10 = 13 \) và \( p + 14 = 17 \) đều là số nguyên tố.

Ngoài trường hợp này, không có giá trị \( p \) nhỏ nào khác mà cả hai biểu thức đều là số nguyên tố cùng lúc (dựa trên các giá trị đã thử nghiệm và kiểm tra).

**Tóm lại:** Giá trị \( p = 3 \) là giá trị làm cho cả \( p + 10 \) và \( p + 14 \) đều là số nguyên tố.

Để tìm ra hai số \( p + 10 \) và \( p + 14 \) cùng là số nguyên tố, ta sẽ xem xét một số tính chất của các số nguyên tố.

### Các bước kiểm tra:

1. **Tính chất của các số nguyên tố:**
- Số nguyên tố lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.
- Hai số nguyên tố liên tiếp không thể chênh lệch nhau là 2 (trong khi hầu hết các số nguyên tố chênh lệch nhau nhiều hơn 2).

2. **Xem xét hướng giải:**
- Ta có \( p + 10 \) và \( p + 14 \). Hiệu của hai số này là:
\[
(p + 14) - (p + 10) = 4
\]
- Nếu \( p + 10 \) và \( p + 14 \) cùng là số nguyên tố, thì một trong hai số này phải là số nguyên tố lẻ (trừ trường hợp đặc biệt là số 2).

3. **Kiểm tra các giá trị của \( p \):**
- Nếu \( p + 10 \) là số nguyên tố, thì \( p + 14 \) cũng sẽ là số nguyên tố, và ngược lại.
- Tuy nhiên, với \( (p + 10) \) và \( (p + 14) \), ta nhận thấy rằng: nếu \( p \) là một số chẵn, thì cả hai số này sẽ là số chẵn, và số chẵn duy nhất là số nguyên tố là 2.
- Với \( p = -8 \):
\[
p + 10 = -8 + 10 = 2 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
p + 14 = -8 + 14 = 6 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

Do đó, ta có thể xét:

1. **Nếu \( p \) là số lẻ:**
- Một số kiểm tra cụ thể:
- Giả sử \( p = -9 \):
\[
p + 10 = -9 + 10 = 1 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- Giả sử \( p = 1 \):
\[
p + 10 = 1 + 10 = 11 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
p + 14 = 1 + 14 = 15 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

- Tiếp tục kiểm tra các giá trị khác...

### Kết luận:

Như vậy, có vẻ không có nhiều giá trị \( p \) mà tại đó \( p + 10 \) và \( p + 14 \) đều là số nguyên tố.

**Tóm lại,** các giá trị \( p \) cụ thể cần kiểm tra để \( p + 10 \) và \( p + 14 \) là số nguyên tố là không dễ tìm và không có một bộ giá trị nào đảm bảo cả hai số đều là nguyên tố trong trường hợp thông thường.