Để tìm chữ số tận cùng của biểu thức \(2^{2^n} + 1\), chúng ta cần phân tích chữ số tận cùng của \(2^{2^n}\) và sau đó cộng thêm 1.

### Phân Tích Chữ Số Tận Cùng của \(2^{2^n}\)

Chữ số tận cùng của \(2^{2^n}\) phụ thuộc vào \(2^n\) và chu kỳ chữ số tận cùng của lũy thừa của số 2. Ta sẽ phân tích chu kỳ chữ số tận cùng của \(2^k\):

- \(2^1 = 2\) (chữ số tận cùng là 2)
- \(2^2 = 4\) (chữ số tận cùng là 4)
- \(2^3 = 8\) (chữ số tận cùng là 8)
- \(2^4 = 16\) (chữ số tận cùng là 6)
- \(2^5 = 32\) (chữ số tận cùng là 2)
- \(2^6 = 64\) (chữ số tận cùng là 4)
- \(2^7 = 128\) (chữ số tận cùng là 8)
- \(2^8 = 256\) (chữ số tận cùng là 6)

Như vậy, chữ số tận cùng của \(2^k\) lặp lại theo chu kỳ 4: \(2, 4, 8, 6\).

### Xác Định Chữ Số Tận Cùng Của \(2^{2^n}\)

Để xác định chữ số tận cùng của \(2^{2^n}\), ta chỉ cần xét \(2^n \mod 4\) vì chu kỳ lặp lại là 4:

- Nếu \(2^n \equiv 0 \mod 4\) thì chữ số tận cùng của \(2^{2^n}\) là 6.
- Nếu \(2^n \equiv 1 \mod 4\) thì chữ số tận cùng của \(2^{2^n}\) là 2.
- Nếu \(2^n \equiv 2 \mod 4\) thì chữ số tận cùng của \(2^{2^n}\) là 4.
- Nếu \(2^n \equiv 3 \mod 4\) thì chữ số tận cùng của \(2^{2^n}\) là 8.

### Phân Tích Theo Các Trường Hợp Của \(2^n\)

1. **Nếu \(n \geq 2\):**
- \(2^n\) luôn chia hết cho 4, tức là \(2^n \equiv 0 \mod 4\).
- Do đó, chữ số tận cùng của \(2^{2^n}\) sẽ là 6.

Ví dụ:
- Với \(n = 2\), \(2^{2^2} = 2^4 = 16\) (chữ số tận cùng là 6).
- Với \(n = 3\), \(2^{2^3} = 2^8 = 256\) (chữ số tận cùng là 6).
- Với \(n = 4\), \(2^{2^4} = 2^{16} = 65536\) (chữ số tận cùng là 6).

2. **Thêm 1 vào chữ số tận cùng của \(2^{2^n}\):**
- Nếu chữ số tận cùng của \(2^{2^n}\) là 6, thì chữ số tận cùng của \(2^{2^n} + 1\) là \(6 + 1 = 7\).

### Kết Luận

Chữ số tận cùng của biểu thức \(2^{2^n} + 1\) (với \(n \geq 2\)) là \(\boxed{7}\).

Để tìm chữ số tận cùng của biểu thức \( 2^{2^n} + 1 \), chúng ta cần xác định giá trị của \( 2^{2^n} \) modulo 10, vì chữ số tận cùng của một số bằng giá trị của nó modulo 10.

### Bước 1: Tìm chu kỳ của \( 2^n \) mod 10

Chúng ta sẽ tính chu kỳ của \( 2^n \) theo \( n \) mod 10:
- \( 2^1 \equiv 2 \) (mod 10)
- \( 2^2 \equiv 4 \) (mod 10)
- \( 2^3 \equiv 8 \) (mod 10)
- \( 2^4 \equiv 6 \) (mod 10)
- \( 2^5 \equiv 2 \) (mod 10)

Ta nhận thấy chu kỳ của \( 2^n \) mod 10 là 4: \( 2, 4, 8, 6 \).

### Bước 2: Tìm \( 2^{2^n} \mod 10 \)

Do chu kỳ của \( 2^n \) là 4, chúng ta cần xác định \( 2^n \mod 4 \) để biết được vị trí trong chu kỳ:

- \( n = 0 \): \( 2^n = 2^0 = 1 \) \( \Rightarrow 2^{2^0} \equiv 2^1 \equiv 2 \) (mod 10)
- \( n = 1 \): \( 2^n = 2^1 = 2 \) \( \Rightarrow 2^{2^1} \equiv 2^2 \equiv 4 \) (mod 10)
- \( n = 2 \): \( 2^n = 2^2 = 4 \) \( \Rightarrow 2^{2^2} \equiv 2^4 \equiv 6 \) (mod 10)
- \( n \geq 3 \): Bắt đầu từ \( n = 3 \):
+ \( 2^3 = 8 \equiv 0 \) (mod 4) \( \Rightarrow 2^{2^n} \equiv 2^4 \equiv 6 \) (mod 10)

### Bước 3: Kết hợp giá trị

Bây giờ ta tính \( 2^{2^n} + 1 \) cho các giá trị của \( n \):

- \( n = 0 \): \( 2^{2^0} + 1 \equiv 2 + 1 \equiv 3 \) (mod 10)
- \( n = 1 \): \( 2^{2^1} + 1 \equiv 4 + 1 \equiv 5 \) (mod 10)
- \( n = 2 \): \( 2^{2^2} + 1 \equiv 6 + 1 \equiv 7 \) (mod 10)
- \( n \geq 3 \): \( 2^{2^n} + 1 \equiv 6 + 1 \equiv 7 \) (mod 10)

### Kết luận
Chữ số tận cùng của \( 2^{2^n} + 1 \) tùy thuộc vào giá trị của \( n \):
- Với \( n = 0 \): chữ số tận cùng là \( 3 \).
- Với \( n = 1 \): chữ số tận cùng là \( 5 \).
- Với \( n \geq 2 \): chữ số tận cùng là \( 7 \).

Tóm lại:
- Nếu \( n = 0 \), chữ số tận cùng là \( 3 \).
- Nếu \( n = 1 \), chữ số tận cùng là \( 5 \).
- Nếu \( n \geq 2 \), chữ số tận cùng là \( 7 \).