Để tìm giá trị lớn nhất của hàm P=x+2x−1P = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}P=x​−1x​+2​, trước hết, ta cần xác định miền xác định của hàm này.

Miền xác định:
Hàm có xác định khi x−1≠0\sqrt{x} - 1 \neq 0x​−1=0 và x−1>0\sqrt{x} - 1 > 0x​−1>0:

x−1>0\sqrt{x} - 1 > 0x​−1>0 tức là x>1\sqrt{x} > 1x​>1 hoặc x>1x > 1x>1.
x\sqrt{x}x​ là giá trị không âm nên x≥0x \geq 0x≥0 là điều kiện thứ hai.
Do đó, miền xác định là x>1x > 1x>1.

Tối ưu P:
Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị của PPP khi xxx thuộc miền xác định x>1x > 1x>1.

Để dễ dàng tính toán, ta đặt t=xt = \sqrt{x}t=x​. Khi đó, ta có t>1t > 1t>1 và:

P=t+2t−1P = \frac{t + 2}{t - 1}P=t−1t+2​

Tính đạo hàm:
Để tìm cực trị của hàm PPP, ta tính đạo hàm:

P(t)=t+2t−1P(t) = \frac{t + 2}{t - 1}P(t)=t−1t+2​

Sử dụng quy tắc chia để tính đạo hàm:

P′(t)=(t−1)(1)−(t+2)(1)(t−1)2=t−1−t−2(t−1)2=−3(t−1)2P'(t) = \frac{(t - 1)(1) - (t + 2)(1)}{(t - 1)^2} = \frac{t - 1 - t - 2}{(t - 1)^2} = \frac{-3}{(t - 1)^2}P′(t)=(t−1)2(t−1)(1)−(t+2)(1)​=(t−1)2t−1−t−2​=(t−1)2−3​

Phân tích dấu đạo hàm:
Đạo hàm P′(t)=−3(t−1)2<0P' (t) = \frac{-3}{(t - 1)^2} < 0P′(t)=(t−1)2−3​<0 cho tất cả t>1t > 1t>1.
Điều này có nghĩa là hàm PPP là hàm giảm trên khoảng t>1t > 1t>1.
Giá trị cực đại:
Vì hàm giảm, giá trị lớn nhất của P(t)P(t)P(t) xảy ra khi ttt tiến gần đến 111 (và cũng là khi xxx tiến gần đến 111). Tuy nhiên, xxx phải lớn hơn 111.

Khi ttt tiến tới 111:

P(1)=1+21−1→+∞P(1) = \frac{1 + 2}{1 - 1} \to +\inftyP(1)=1−11+2​→+∞

Kết luận:
Vì vậy, hàm PPP không lớn nhất hữu hạn, mà đạt giá trị lớn nhất là ∞\infty∞ khi xxx tiến gần về 111 từ bên phải.

Kết quả: max⁡P=+∞\max P = +\inftymaxP=+∞ khi x→1+x \to 1^+x→1+.
 

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm P=x+2x−1P = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1}P=x​−1x​+2​, trước hết, ta cần xác định miền xác định của hàm này.

Miền xác định:
Hàm có xác định khi x−1≠0\sqrt{x} - 1 \neq 0x​−1=0 và x−1>0\sqrt{x} - 1 > 0x​−1>0:

x−1>0\sqrt{x} - 1 > 0x​−1>0 tức là x>1\sqrt{x} > 1x​>1 hoặc x>1x > 1x>1.
x\sqrt{x}x​ là giá trị không âm nên x≥0x \geq 0x≥0 là điều kiện thứ hai.
Do đó, miền xác định là x>1x > 1x>1.

Tối ưu P:
Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị của PPP khi xxx thuộc miền xác định x>1x > 1x>1.

Để dễ dàng tính toán, ta đặt t=xt = \sqrt{x}t=x​. Khi đó, ta có t>1t > 1t>1 và:

P=t+2t−1P = \frac{t + 2}{t - 1}P=t−1t+2​

Tính đạo hàm:
Để tìm cực trị của hàm PPP, ta tính đạo hàm:

P(t)=t+2t−1P(t) = \frac{t + 2}{t - 1}P(t)=t−1t+2​

Sử dụng quy tắc chia để tính đạo hàm:

P′(t)=(t−1)(1)−(t+2)(1)(t−1)2=t−1−t−2(t−1)2=−3(t−1)2P'(t) = \frac{(t - 1)(1) - (t + 2)(1)}{(t - 1)^2} = \frac{t - 1 - t - 2}{(t - 1)^2} = \frac{-3}{(t - 1)^2}P′(t)=(t−1)2(t−1)(1)−(t+2)(1)​=(t−1)2t−1−t−2​=(t−1)2−3​

Phân tích dấu đạo hàm:
Đạo hàm P′(t)=−3(t−1)2<0P' (t) = \frac{-3}{(t - 1)^2} < 0P′(t)=(t−1)2−3​<0 cho tất cả t>1t > 1t>1.
Điều này có nghĩa là hàm PPP là hàm giảm trên khoảng t>1t > 1t>1.
Giá trị cực đại:
Vì hàm giảm, giá trị lớn nhất của P(t)P(t)P(t) xảy ra khi ttt tiến gần đến 111 (và cũng là khi xxx tiến gần đến 111). Tuy nhiên, xxx phải lớn hơn 111.

Khi ttt tiến tới 111:

P(1)=1+21−1→+∞P(1) = \frac{1 + 2}{1 - 1} \to +\inftyP(1)=1−11+2​→+∞

Kết luận:
Vì vậy, hàm PPP không lớn nhất hữu hạn, mà đạt giá trị lớn nhất là ∞\infty∞ khi xxx tiến gần về 111 từ bên phải.

Kết quả: max⁡P=+∞\max P = +\inftymaxP=+∞ khi x→1+x \to 1^+x→1+.