Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh bất đẳng thức \((a^2 + 1)(b^2 + 1) \geq 4ab\), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phương pháp phân tích trực tiếp.

### Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số \((a^2, b^2)\) và \((1, 1)\) được phát biểu như sau:

\[
(a^2 \cdot 1 + b^2 \cdot 1)^2 \leq (a^2 + b^2)(1^2 + 1^2)
\]

Cụ thể, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nói rằng:

\[
(a^2 + b^2)^2 \leq 2(a^2 + b^2)
\]

Thay \(x = a^2\) và \(y = b^2\), ta có:

\[
(x + y)^2 \leq 2(x + y)
\]

Điều này tương đương với:

\[
x^2 + 2xy + y^2 \leq 2x + 2y
\]

Bây giờ, hãy sử dụng điều này để chứng minh bất đẳng thức \((a^2 + 1)(b^2 + 1) \geq 4ab\):

1. Ta mở rộng biểu thức \((a^2 + 1)(b^2 + 1)\):

\[
(a^2 + 1)(b^2 + 1) = a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1
\]

2. Để chứng minh \((a^2 + 1)(b^2 + 1) \geq 4ab\), ta cần chứng minh:

\[
a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \geq 4ab
\]

3. Ta sẽ dùng bất đẳng thức AM-GM cho các thành phần \(a^2b^2\) và \(a^2 + b^2 + 1\). Theo bất đẳng thức AM-GM:

\[
a^2b^2 \geq 2ab
\]
\[
a^2 + b^2 + 1 \geq 2\sqrt{a^2b^2} + 1 = 2ab + 1
\]

4. Kết hợp lại ta có:

\[
a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \geq 4ab
\]

### Xét trường hợp đặc biệt:
- Khi \(a = b = 1\):

\[
(1^2 + 1)(1^2 + 1) = 2 \times 2 = 4
\]
\[
4ab = 4 \times 1 \times 1 = 4
\]

Vì vậy, khi \(a = b = 1\), bất đẳng thức trở thành \((a^2 + 1)(b^2 + 1) = 4 = 4ab\), và điều này chứng minh bất đẳng thức đúng.

Do đó, bất đẳng thức \((a^2 + 1)(b^2 + 1) \geq 4ab\) là đúng cho mọi \(a\) và \(b\).

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh bất đẳng thức \((a^2 + 1)(b^2 + 1) \geq 4ab\), chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc phương pháp phân tích trực tiếp.

### Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai dãy số \((a^2, b^2)\) và \((1, 1)\) được phát biểu như sau:

\[
(a^2 \cdot 1 + b^2 \cdot 1)^2 \leq (a^2 + b^2)(1^2 + 1^2)
\]

Cụ thể, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nói rằng:

\[
(a^2 + b^2)^2 \leq 2(a^2 + b^2)
\]

Thay \(x = a^2\) và \(y = b^2\), ta có:

\[
(x + y)^2 \leq 2(x + y)
\]

Điều này tương đương với:

\[
x^2 + 2xy + y^2 \leq 2x + 2y
\]

Bây giờ, hãy sử dụng điều này để chứng minh bất đẳng thức \((a^2 + 1)(b^2 + 1) \geq 4ab\):

1. Ta mở rộng biểu thức \((a^2 + 1)(b^2 + 1)\):

\[
(a^2 + 1)(b^2 + 1) = a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1
\]

2. Để chứng minh \((a^2 + 1)(b^2 + 1) \geq 4ab\), ta cần chứng minh:

\[
a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \geq 4ab
\]

3. Ta sẽ dùng bất đẳng thức AM-GM cho các thành phần \(a^2b^2\) và \(a^2 + b^2 + 1\). Theo bất đẳng thức AM-GM:

\[
a^2b^2 \geq 2ab
\]
\[
a^2 + b^2 + 1 \geq 2\sqrt{a^2b^2} + 1 = 2ab + 1
\]

4. Kết hợp lại ta có:

\[
a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \geq 4ab
\]

### Xét trường hợp đặc biệt:
- Khi \(a = b = 1\):

\[
(1^2 + 1)(1^2 + 1) = 2 \times 2 = 4
\]
\[
4ab = 4 \times 1 \times 1 = 4
\]

Vì vậy, khi \(a = b = 1\), bất đẳng thức trở thành \((a^2 + 1)(b^2 + 1) = 4 = 4ab\), và điều này chứng minh bất đẳng thức đúng.

Do đó, bất đẳng thức \((a^2 + 1)(b^2 + 1) \geq 4ab\) là đúng cho mọi \(a\) và \(b\).

Answer 3

(a2+1)(b2+1)≥4ab

Answer 4

Để chứng minh rằng (a + 1)(b + 1) >= 4ab, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình - cực đại).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
(a + 1)(b + 1) = a.b + a + b + 1
>= 4√(a.b.a.b.1)
= 4ab

Vậy ta đã chứng minh được điều phải chứng minh.

#NguyenThiThanhNhi

3 câu trả lời 238

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9