Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tính tổng của dãy số \(\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{2023 \cdot 2025}\), chúng ta cũng sẽ sử dụng phương pháp phân tích phân số thành các phân số đơn giản hơn.

Xét một tổng hạng tổng quát trong dãy số:
\[
\frac{1}{n(n+2)}
\]
Chúng ta có thể phân tích phân số này bằng cách sử dụng phương pháp phân tích phân số thành các phân số đơn giản:
\[
\frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2}
\]
Để tìm \(A\) và \(B\), chúng ta giải phương trình:
\[
1 = A(n+2) + Bn
\]
Khi giải hệ phương trình này, ta được:
\[
1 = A(n+2) + Bn = An + 2A + Bn = (A+B)n + 2A
\]

So sánh hệ số, ta có:
\[
A + B = 0
\]
\[
2A = 1
\]
Từ đó, ta giải được:
\[
A = \frac{1}{2}, \quad B = -\frac{1}{2}
\]

Vậy:
\[
\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1/2}{n} - \frac{1/2}{n+2}
\]

Áp dụng phân tích này cho các tổng hạng trong dãy số:
\[
\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{2023 \cdot 2025}
\]
ta có:
\[
\frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1/2}{1} - \frac{1/2}{3}
\]
\[
\frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1/2}{3} - \frac{1/2}{5}
\]
\[
\vdots
\]
\[
\frac{1}{2023 \cdot 2025} = \frac{1/2}{2023} - \frac{1/2}{2025}
\]

Tổng của dãy số trở thành:
\[
\left( \frac{1/2}{1} - \frac{1/2}{3} \right) + \left( \frac{1/2}{3} - \frac{1/2}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1/2}{2023} - \frac{1/2}{2025} \right)
\]

Các số hạng giữa trừ đi nhau, chỉ còn lại hai số hạng đầu và cuối:
\[
\frac{1/2}{1} - \frac{1/2}{2025}
\]
\[
= \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2025}
\]
\[
= \frac{1}{2} - \frac{1}{4050}
\]

Kết quả là:
\[
\frac{1}{2} - \frac{1}{4050} = \frac{4050 - 1}{2 \cdot 4050} = \frac{4049}{8100} = \frac{4049}{8100}
\]

Vậy tổng của dãy số là \(\frac{4049}{8100}\).

...Xem thêm

Answer 2