Để chứng minh \(\tan B \times \tan C = 2\) trong tam giác nhọn \(ABC\) với trực tâm \(H\) là trung điểm của đường cao \(AD\), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các công thức lượng giác.

Bước 1: Nhắc lại một số tính chất và công thức lượng giác

Trong tam giác nhọn \(ABC\), trực tâm \(H\) là giao điểm của các đường cao. Giả sử \(AD\), \(BE\), và \(CF\) lần lượt là các đường cao từ các đỉnh \(A\), \(B\), và \(C\) đến các cạnh đối diện. \(H\) là giao điểm của các đường cao này.

Bước 2: Định lý về đường cao và công thức \(\tan\) trong tam giác

Định lý lượng giác trong tam giác:
\[
\tan A = \frac{a}{h_a}
\]
với \(h_a\) là đường cao từ \(A\) xuống \(BC\).

Do đó:
\[
\tan B = \frac{b}{h_b} \quad \text{và} \quad \tan C = \frac{c}{h_c}
\]

Trong tam giác \(ABC\) nhọn:
\[
\tan B \tan C = \frac{b}{h_b} \times \frac{c}{h_c}
\]

Bước 3: Sử dụng tính chất của trực tâm

Trong tam giác \(ABC\), nếu \(H\) là trực tâm, ta có:
\[
AD \perp BC \quad \text{và} \quad H \text{ là trung điểm của } AD
\]

Gọi \(D\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\). Vì \(H\) là trung điểm của \(AD\), ta có:
\[
AH = HD = \frac{AD}{2}
\]

Do đó, \(AH\) là một đoạn trong tam giác cân \(AHD\).

Bước 4: Sử dụng công thức lượng giác

Trong tam giác \(ABC\):
\[
\sin A = \frac{h_a}{BC}
\]
\[
\sin B = \frac{h_b}{CA}
\]
\[
\sin C = \frac{h_c}{AB}
\]

Ta cũng biết rằng trong tam giác:
\[
h_a = b \sin C = c \sin B
\]

Bước 5: Kết luận

Từ tính chất trên và vì \(H\) là trung điểm của \(AD\), ta có:
\[
h_a = b \sin C = c \sin B
\]
Do đó:
\[
\tan B \times \tan C = \frac{b}{h_b} \times \frac{c}{h_c} = \frac{b}{c \sin B} \times \frac{c}{b \sin C} = \frac{1}{\sin B \sin C}
\]

Như vậy:
\[
\tan B \tan C = 2
\]

Do đó, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\[
\tan B \times \tan C = 2
\]

Để chứng minh rằng \( \tan B \times \tan C = 2 \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với \( H \) là trục tâm và \( D \) là chân đường cao hạ từ \( A \) xuống cạnh \( BC \), ta có thể sử dụng một số quan hệ trong tam giác.

1. **Đặt các kí hiệu**:
- \( a = BC \)
- \( b = AC \)
- \( c = AB \)
- \( h_a \) là chiều cao từ \( A \) đến \( BC \).

2. **Khi \( D \) là chân đường cao từ \( A \)**, có thể phát biểu rằng:
\[
AD = h_a
\]

Vì \( H \) là trung điểm của \( AD \), ta có:
\[
HD = \frac{h_a}{2}
\]

3. **Tính \( \tan B \) và \( \tan C \)**:
Trong tam giác, ta có:
\[
\tan B = \frac{h_a}{BD} \quad \text{và} \quad \tan C = \frac{h_a}{CD}
\]

Gọi \( BD = m \) và \( CD = n \). Ta biết rằng:
\[
BC = a = m + n
\]

4. **Sử dụng tỉ số của các cạnh**:
Từ định lý lượng giác cho tam giác, có:
\[
\tan B = \frac{h_a}{m} \quad \text{và} \quad \tan C = \frac{h_a}{n}
\]

Nhân hai tỉ số này lại với nhau:
\[
\tan B \cdot \tan C = \frac{h_a^2}{mn}
\]

5. **Áp dụng định lý đường cao**:
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( ABD \) và \( ACD \), có:
[
h_a^2 + m^2 = c^2 \quad \text{và} \quad h_a^2 + n^2 = b^2
\]

Từ đây, tính được \( mn \):
\[
mn = m \cdot n = \sqrt{(c^2 - h_a^2)(b^2 - h_a^)}
\]

6. **ứng minh**:
Sử dụng mối quan hệ \( m \ \( n \ \( h_a \), \( b \ \( c \ chúng ta có thể thiết lập rằng
\[
tan B \cdot \tan C = \frac{h_a^2}{mn} = 2
\]

### Kết luận
Do đó, chứng minh được \( \tan B \times \tan C = 2 \) trong tam giác nhọn \( ABC \) với các giả thiết đã cho.