Tính nhanh : 3×4+4×5+5×6+...+99×100

ggg

đã hỏi trong Lớp 5 Toán học

· 19:56 30/05/2024

Các chuyên đề Toán lớp 5 có lời giải

Tính nhanh :

3×4+4×5+5×6+...+99×100

Trả Lời

Hỏi chi tiết

Trả lời trong APP VIETJACK

Quảng cáo

1 câu trả lời 110

Phạm Thị Huyền

10 tháng trước

Để tính tổng của dãy số $3 \times 4 + 4 \times 5 + 5 \times 6 + \ldots + 99 \times 100$ , ta có thể biểu diễn các hạng tử dưới dạng tổng của các tích có quy luật.

Giả sử $T = \sum_{k=3}^{99} k(k+1)$ . Ta sẽ tiến hành khai triển và tính tổng này.

1. **Khai triển tích $k(k+1)$ **:
$k(k+1) = k^2 + k$

2. **Viết lại tổng $T$ dưới dạng hai tổng riêng**:
$T = \sum_{k=3}^{99} k(k+1) = \sum_{k=3}^{99} k^2 + \sum_{k=3}^{99} k$

3. **Tính từng tổng riêng lẻ**:

a. **Tổng $\sum_{k=3}^{99} k^2$ **:
$\sum_{k=3}^{99} k^2 = \left( \sum_{k=1}^{99} k^2 \right) - 1^2 - 2^2$
Tổng của bình phương các số từ 1 đến $n$ được biết là:
$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Áp dụng cho $n = 99$ :
$\sum_{k=1}^{99} k^2 = \frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6} = \frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6}$
Tính giá trị:
$\frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6} = 328350$
Do đó:
$\sum_{k=3}^{99} k^2 = 328350 - 1^2 - 2^2 = 328350 - 1 - 4 = 328345$

b. **Tổng $\sum_{k=3}^{99} k$ **:
$\sum_{k=3}^{99} k = \left( \sum_{k=1}^{99} k \right) - 1 - 2$
Tổng của các số tự nhiên từ 1 đến $n$ :
$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
Áp dụng cho $n = 99$ :
$\sum_{k=1}^{99} k = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950$
Do đó:
$\sum_{k=3}^{99} k = 4950 - 1 - 2 = 4947$

4. **Kết hợp lại hai tổng riêng lẻ**:
$T = \sum_{k=3}^{99} k(k+1) = 328345 + 4947 = 333292$

Vậy, tổng của dãy số $3 \times 4 + 4 \times 5 + 5 \times 6 + \ldots + 99 \times 100$ là:
$333292$

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 110

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 5