Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tính tổng của dãy số \( 3 \times 4 + 4 \times 5 + 5 \times 6 + \ldots + 99 \times 100 \), ta có thể biểu diễn các hạng tử dưới dạng tổng của các tích có quy luật.

Giả sử \( T = \sum_{k=3}^{99} k(k+1) \). Ta sẽ tiến hành khai triển và tính tổng này.

1. **Khai triển tích \( k(k+1) \)**:
\[ k(k+1) = k^2 + k \]

2. **Viết lại tổng \( T \) dưới dạng hai tổng riêng**:
\[ T = \sum_{k=3}^{99} k(k+1) = \sum_{k=3}^{99} k^2 + \sum_{k=3}^{99} k \]

3. **Tính từng tổng riêng lẻ**:

a. **Tổng \( \sum_{k=3}^{99} k^2 \)**:
\[
\sum_{k=3}^{99} k^2 = \left( \sum_{k=1}^{99} k^2 \right) - 1^2 - 2^2
\]
Tổng của bình phương các số từ 1 đến \( n \) được biết là:
\[
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
Áp dụng cho \( n = 99 \):
\[
\sum_{k=1}^{99} k^2 = \frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6} = \frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6}
\]
Tính giá trị:
\[
\frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6} = 328350
\]
Do đó:
\[
\sum_{k=3}^{99} k^2 = 328350 - 1^2 - 2^2 = 328350 - 1 - 4 = 328345
\]

b. **Tổng \( \sum_{k=3}^{99} k \)**:
\[
\sum_{k=3}^{99} k = \left( \sum_{k=1}^{99} k \right) - 1 - 2
\]
Tổng của các số tự nhiên từ 1 đến \( n \):
\[
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
\]
Áp dụng cho \( n = 99 \):
\[
\sum_{k=1}^{99} k = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950
\]
Do đó:
\[
\sum_{k=3}^{99} k = 4950 - 1 - 2 = 4947
\]

4. **Kết hợp lại hai tổng riêng lẻ**:
\[
T = \sum_{k=3}^{99} k(k+1) = 328345 + 4947 = 333292
\]

Vậy, tổng của dãy số \( 3 \times 4 + 4 \times 5 + 5 \times 6 + \ldots + 99 \times 100 \) là:
\[ 333292 \]

...Xem thêm

Answer 2