Xét ∆ABC cân tại A có AH là đường trung tuyến (H là trung điểm của BC).

Do đó AH cũng là đường cao của ∆ABC.

S_ABC $\frac{AH.BC}{2}$ = $\frac{6.8}{2}$ = $\frac{48}{2}$ = 24 (cm²).

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 24 cm².

Xét ∆ABD và ∆ACD cùng vuông tại D có:

AD là cạnh chung;

BD = DC (D là trung điểm của BC).

Do đó ∆ABD = ∆ACD (hai cạnh góc vuông)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác ABC cân tại A.

Ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{DAC}$ (∆ABD = ∆ACD).

Do đó AD là tia phân giác góc $\widehat{BAC}$.

Do vậy cả 2 đáp án A và B đều đúng.

Vì D nằm trên đường trung trực của AB nên DA = DB (tính chất của đường trung trực).

Vì E nằm trên đường trung trực của AB nên EA = EB (tính chất của đường trung trực).

Xét ∆DEA và ∆DEB có:

DA = DB (cmt);

EA = EB (cmt);

DE là cạnh chung.

Do đó ∆DEA = ∆DEB (c.c.c)

Suy ra $\widehat{DAE}=\widehat{DBE}$= 20°.

Vậy $\widehat{DBE}$ = 20°.

Xét ∆ABC có:

OE là đường trung trực của AB (gt);

OD là đường trung trực của BC (gt);

OE và OD cắt nhau tại O.

Do đó O là trực tâm của ∆ABC.

Mà F là trung điểm của AC.

Nên OF là đường trung trực của AC.

Vậy đáp án B và C đều đúng.

Gọi ba điểm dân cư D, E, F là ba đỉnh của ∆DEF

Để công viên H cách đều ba điểm dân cư thì H phải cách đều ba đỉnh của ∆DEF.

Do đó H là giao điểm của ba đường trung trực trong ∆DEF.

Xét ∆ABC có điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.

Mà E là trung điểm của AB.

Nên OE là đường trung trực của AB.

Vậy OE vuông góc với AB tại E.

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{AG}{AM}$ = $\frac{2}{3}$ và $\frac{GM}{AM}$ = $\frac{1}{3}$ .

Ta có: $\frac{AG}{AM}$ : $\frac{GM}{AM}$ = $\frac{AG}{AM}$ = $\frac{2}{3}$ : $\frac{1}{3}$ = 2.

Vậy $\frac{AG}{AM}$ = 2.

Ta có: ∆ABC cân tại A.

Suy ra AB = AC mà AB = 2AK; AC = 2AH.

Do đó 2AK = 2AH hay AK = AH.

Xét ∆ABH và ∆ACK có:

$\hat{A}$ là góc chung;

AB = AC (∆ABC cân tại A);

AK = AH (cmt).

Do đó ∆ABH = ∆ACK (c.g.c).

Suy ra CK = BH (hai cạnh tương ứng).

Mà CK = $\frac{3}{2}$ CG ; BH = $\frac{3}{2}$ BG (G là trọng tâm của ∆ABC).

Nên $\frac{3}{2}$ CG = $\frac{3}{2}$ BG hay CG = BG = 6 (cm).

Do vậy BH = $\frac{3}{2}$ . 6 = 9 (cm).

Vậy độ dài đoạn thẳng BH bằng 9 cm.

Xét ∆ABC có:

AD là đường trung tuyến (gt);

BE là đường trung tuyến (gt).

AD và BE cắt nhau tại G.

Do đó G là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC.

Suy ra BG là đường trung tuyến của ∆ABC.

Nên F là trung điểm của AC.

Ta có: AF = $\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}$ = 5 (cm)

Vậy độ dài đoạn thẳng AF bằng 5 cm.

Gọi I là giao điểm của DH và MF.

G là giao điểm của MH và DF.

Xét ∆DMI và ∆DFI ta có:

MD = MF (gt);

$\widehat{MDI}=\widehat{IDF}$ (DI là tia phân giác góc MDF);

DI là cạnh chung.

Do đó ∆DMI = ∆DFI (c.g.c).

Suy ra $\widehat{MID}=\widehat{DIF}$ ( hai góc tương ứng) .

Do đó $\widehat{MID}=\widehat{DIF}$ = $\frac{180°}{2}$ = 90°.

Vậy DI vuông góc với MF tại I.

Xẻt ∆DMF có:

FE là đường cao (FE vuông góc với MD tại E);

DI là đường cao (DI vuông góc với MF tại I);

FE và DI cắt nhau tại H.

Do đó H là trực tâm và là giao điểm của ba đường cao trong ∆DMF.

Suy ra MH là đường cao của ∆DMF hay MH vuông góc với DF tại G.

Vậy cả hai đáp án B và C đều đúng.

Xét ∆ABC có:

K là trực tâm (gt);

AK cắt BC tại H(gt).

Do đó AH là đường cao của ∆ABC.

Suy ra AH $\perp$ BC tại H.

Mà CD $\perp$ BC tại C.

Nên CD // AH.

Ta có: A cách đều hai điểm B và C (AB = AC).

E cách đều hai điểm B và C (EB = EC).

Do đó AE là đường trung trực của BC (tính chất của đường trung trực).

Ta có: $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ ( ∆ABC cân tại A);

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}$ = 180° (tổng ba góc trong tam giác).

Do đó $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ = $\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$ = $\frac{180°-40°}{2}$ = $\frac{140°}{2}$ = 70°.

Ta có: $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ .

$\widehat{GBC}$ = $\frac{1}{2}$ $\widehat{ABC}$ (BG là tia phân giác góc ).

$\widehat{GCB}$ = $\frac{1}{2}$$\widehat{ACB}$ ( CG là tia phân giác góc ).

Do đó $\widehat{GBC}$ = $\widehat{GCB}$= $\frac{1}{2}$$\widehat{ABC}$ = $\frac{1}{2}$ . 70° = 45°.

Ta có: $\widehat{GBC}$ + $\widehat{GCB}$ + $\widehat{BGC}$ = 180° (tổng ba góc trong tam giác).

$\widehat{GBC}$= $\widehat{GCB}$ = 45° (cmt).

Do đó $\widehat{BGC}$ = 180°−45°−45° = 90°.

Vậy $\widehat{BGC}$ = 90°.

Gọi M là giao điểm của AI và BC.

Do I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác ABC nên I thuộc các đường phân giác của tam giác ABC.

Do đó I thuộc đường phân giác AM của $\widehat{BAC}$.

Mà ∆ABC cân tại A nên đường phân giác AM cũng là đường trung tuyến của ∆ABC.

Suy ra I thuộc đường thẳng AM.

Do G cũng thuộc AM (G là trọng tâm ∆ABC).

Do đó ba điểm A, G,I thẳng hàng.

Gọi A, B, C là giao điểm của các đường bờ biển.

Gọi D là vị trí ngọn hải đăng cần đặt.

Để hải đăng cách đều ba đường bở biển thì D phải cách đều ba cạnh AB, BC và AC.

Khi đó D là giao điểm ba đường phân giác của ΔABC.

Vậy vị trí của hải đăng để khoảng cách từ đó đến ba đường bờ biển bằng nhau là giao điểm ba đường phân giác của tam giác.

Áp dụng định lý về tổng số đo ba góc của tam giác ta có:

$\hat{M}+\hat{N}+\hat{P}$ = 180$°$

Suy ra $\hat{M}=180°-\hat{N}-\hat{P}=180°-37°-53°=90°$

Suy ra tam giác MNP vuông tại M

Ta có cạnh NP là cạnh đối diện với góc vuông M nên NP là cạnh huyền

Suy ra các khẳng định (III), (IV) đúng. Các khẳng định (I), (II) sai.

Vậy có 2 khẳng định đúng.

Ta có: $\widehat{HGK}$ + $\widehat{KGI}$ = $\widehat{HGI}$

Suy ra $\widehat{KGI}$ = $\widehat{HGI}$ − $\widehat{HGK}$ = 90° − 38° = 52°

Vì tam giác GKI vuông tại K nên $\widehat{KGI}$ + $\widehat{GIK}$ = 90°

Suy ra $\widehat{GIK}$ = 90° − $\widehat{KGI}$ = 90° − 52° = 38°

Vậy x = 38°.

+ Xét bộ ba: 2 cm; 3 cm; 6 cm

Ta có 2 cm + 3 cm = 5 cm < 6 cm

Suy ra bộ ba đoạn thẳng có độ dài: 2 cm; 3 cm; 6 cm không lập thành một tam giác.

+ Xét bộ ba: 3 cm; 6 cm; 3 cm

Ta có 3 cm + 3 cm = 6 cm

Suy ra bộ ba đoạn thẳng có độ dài: 3 cm; 6 cm; 3 cm không lập thành một tam giác.

+ Xét bộ ba: 3 cm; 4 cm; 5 cm

Ta có: 4 cm – 3 cm < 5 cm < 4 cm + 3 cm.

Suy ra bộ ba đoạn thẳng có độ dài: 3 cm; 4 cm; 5 cm lập thành một tam giác.

+ Xét bộ ba: 5 cm; 6 cm; 7 dm

Ta có 7 dm = 70 cm.

Vì 5 cm + 6 cm < 70 cm.

Suy ra bộ ba đoạn thẳng có độ dài: 5 cm; 6 cm; 7 dm không lập thành một tam giác.

Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0) (cm)

Từ bất đẳng thức trong tam giác, ta có: BC – AB < AC < BC + AB

Suy ra 8 – 2 < x < 8 + 2

Suy ra 6 < x < 10

Suy ra x ∈ {7; 8; 9}

Vì x là một số nguyên tố

Suy ra x = 7

Suy ra AC = 7 (cm)

Chu vi tam giác ABC bằng:

AB + AC + BC = 2 + 7 + 8 = 17 (cm).

Vậy chu vi tam giác ABC là 17 cm.

Ta có ∆ABC = ∆MNP nên AB = MN = 7cm, AC = MP = 10cm, BC = NP (các cạnh tương ứng bằng nhau)

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 24 (cm).

Nên BC = 24 – (AB + AC)

= 24 – (7 + 10) = 24 – 17 = 7 (cm).

Suy ra NP = BC = 7 cm.

Vậy MN = 7 cm; AC = 10 cm; BC = NP = 7 cm.

Ta có tam giác ABC cân tại A (vì AB = AC) có $\hat{A}$ = 40° .

nên $\hat{B}=\widehat{ACB}$ = $\frac{180°-40}{2}$ = 70°.

Ta có $\widehat{ACB}$ + $\widehat{ACD}$ = 180° (hai góc kề bù).

suy ra $\widehat{ACD}$ = 180° − $\widehat{ACB}$ = 180° − 70° = 110°.

Ta lại có tam giác CAD cân tại C (vì CA = CD) có $\widehat{ACD}$ = 110°.

Nên x = $\widehat{CDA}$ = $\widehat{CAD}$ = $\frac{180°-110°}{2}$ = 35°.

Vậy x = 35°.

Do tam giác ABC cân tại A nên $\hat{B}=\hat{C}$ .

Xét tam giác ABC có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}$ = 180° (tổng ba góc trong một tam giác).

$\hat{B}+\hat{C}$ = 180° − $\hat{A}$

Nên $\hat{B}=\hat{C}=\frac{180°-\hat{A}}{2}$

= $\frac{180°-2\alpha }{2}$ = 90° − α.

Vậy $\hat{B}$ = 90° − α.

Ta có ∆ABC = ∆DEF nên: $\hat{A}=\hat{D};\hat{F}=\hat{C};\hat{B}=\hat{E}$ = 55°.

Xét tam giác ABC có:

$\hat{A}+\hat{B}$ = 130° (gt)

Suy ra $\hat{A}$ = 130° − $\hat{B}$ = 130° − 55° = 75°.

Lại có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}$ = 180°.

Suy ra = 180° − $(\hat{A}+\hat{B})$ = 180° − 130° = 50°.

Vậy $\hat{A}=\hat{D}$ = 75°, $\hat{F}=\hat{C}$ = 50°.

Trong tam giác ABC có AH là đường vuông góc và BH;CH là hai hình chiếu.

Khi đó:

+ Nếu AB < AC thì BH < HC (câu A đúng);

+ Nếu AB > AC thì BH > HC (câu B sai);

+ Nếu AB = AC thì BH = HC (câu C đúng);

+ Nếu BH > HC thì AB > AC (câu D đúng).

Ta có: OP là đường vuông góc. OM, ON, OP, OQ, OR là các đường xiên.

Vì thế trong số các đường này, OP ngắn nhất.

Xét ∆KHB và ∆KHC cùng vuông tại H có:

KH là cạnh chung;

HB= HC (H là trung điểm của BC).

Do đó ∆KHB = ∆KHC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{KBH}$ = $\widehat{KCH}$ (hai góc tương ứng).

Ta có: $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$= 90°(∆ABC vuông tại A) .

Suy ra $\widehat{ACB}$ = 90° − $\widehat{ABC}$ = 90° − 60° = 30°.

Ta có: $\widehat{KCH}$ = $\widehat{ACB}$ = 30°( K $\in$ AC; H $\in$ BC);

$\widehat{KBH}$ = $\widehat{KCH}$ (cmt).

Suy ra $\widehat{KBH}$ = 30°.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Xét ∆ABC có:

OM là đường trung trực của AB;

ON là đường trung trực của AC;

OM và ON cắt nhau tại O.

Suy ra O cách đều ba đỉnh ∆ABC.

Do đó OA = OB = OC

Vậy đường tròn tâm O bán kính OA đi qua các điểm B và C.

Xét ∆ABC có:

OM là đường trung trực của AB (gt);

ON là đường trung trực của BC (gt);

OM và ON cắt nhau tại O.

Do đó O cách đều ba đỉnh của ∆ABC.

Suy ra OA = OB = OC.

Ta có: Đường tròn tâm O bán kính OA có đường kính bằng 8 cm.

Suy ra: OA = 4 (cm).

Mà OA = OB (cmt).

Nên OB = 4 (cm).

Vậy độ dài đoạn thẳng OB bằng 4 cm.

Xét ∆ABC có:

BE là đường trung tuyến (E là trung điểm của AC);

CF là đường trung tuyến (F là trung điểm của AB);

BE và CF cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{BG}{BD}=\frac{2}{3}$; $\frac{CG}{CF}$ = $\frac{2}{3}$

mà BD = CF (gt) nên BG = CG.

Do vậy FG = GD.

Xét ∆FGB và ∆DGC có:

BG = CG (cmt);

FG = GD (cmt);

$\widehat{FGB}$ = $\widehat{DGC}$ ( hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆FGB = ∆DGC (c.g.c).

Suy ra BF = DC (hai cạnh tương ứng)

Ta có: AB = $\frac{1}{2}$ BF (F là trung điểm của AB);

AC= $\frac{1}{2}$ DC ( D là trung điểm của AC);

BF = DC (cmt).

Do đó AB = AC.

Vậy ∆ABC là tam giác cân tại A.

Xét ΔABC có G là giao điểm của ba đường phân giác.

Do đó G là tâm của đường tròn ngoại tiếp có bán kính GK.

Suy ra GK = 8 : 2 = 4 (cm).

Vậy độ dài đoạn thẳng GK bằng 4 cm.