- Trong tam giác, đường phân giác xuất phát từ đỉnh cũng là đường trung tuyến chỉ đúng với một số loại tam giác. Loại đáp án A.

- Giao điểm của ba đường phân giác cách đều ba đỉnh của tam giác là sai. Loại đáp án B.

- Ba đường phân giác của một tam giác đều đi qua một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác là sai vì trực tâm là giao điểm của ba đường cao. Loại đáp án C.

- Giao điểm của ba đường phân giác cách đều ba cạnh của tam giác là đúng. Chọn đáp án D.

Xét ∆ABC cóAD là đường phân giác (hình vẽ).

Do đó $\widehat{BAD}$ = $\widehat{DAC}$ = $\frac{\widehat{BAC}}{2}$ = $\frac{{60}^o}{2}=30°$

Vậy số đo $\widehat{DAC}$ bằng 30°.

Xét ∆ABC có:

AD là đường phân giác $\hat{A}$ (gt);

BE là đường phân giác $\hat{B}$(gt);

AD và BE cắt nhau tại G (gt).

Do đó G là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

Suy ra CG là đường phân giác của góc $\hat{A}$

Ta có ∆ABC có hai đường phân giác AD và BE cắt nhau tại G.

Do đó điểm G là điểm cách đều ba cạnh của ∆ABC.

Xét ∆ABC có:

AG là đường phân giác $\hat{A}$ (hình vẽ);

BG là đường phân giác $\hat{B}$(hình vẽ).

AG và BG cắt nhau tại G.

Do đó G cách đều ba cạnh của ∆ABC.

Suy ra GH = GI = GL = 8 (cm).

Vậy độ dài đoạn thẳng GH bằng 8 cm.

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AD là cạnh chung;

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ ( AD là phân giác $\widehat{\mathrm{BAC}}$ )

AB = AC (∆ABC cân tại A)

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c.g.c)

Suy ra BD = CD = 3 (cm).

Vậy độ dài đoạn thẳng CD bằng 3 cm.

Xét ∆ABC có:

AG là đường phân giác $\hat{A}$ (hình vẽ)

BG là đường phân giác $\hat{B}$(hình vẽ)

AG và BG cắt nhau tại G.

Do đó G cách đều ba cạnh của ∆ABC.

Suy ra GH = GK.

Do vậy 3x − 8 = x + 4

3x − x = 8 + 4

2x = 12

x = 6

Vậy giá trị của x bằng 6.

Xét ∆ABC có:

BD là đường phân giác $\hat{B}$(hình vẽ)

CE là đường phân giác $\hat{C}$(hình vẽ)

BD và CE cắt nhau tại F.

Do đó F là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

AF cắt BC tại G.

Khi đó AG là đường phân giác $\hat{A}$.

Xét ∆ABG và ∆ACG có:

AB = AC (∆ABC cân tại A);

$\widehat{GAB}=\widehat{GAC}$ ( AG là đường phân giác );

AG là cạnh chung.

Do đó ∆ABG = ∆ACG (c.g.c)

Suy ra GB = GC (hai cạnh tương ứng)

Vậy G là trung điểm của BC.

Vì thế đáp án A và C đều đúng

Vì I là giao của ba đường phân giác của tam giác ∆ABC nên BI là đường phân giác của ΔABC.

Vì G là trọng tâm ΔABC nên BG là đường trung tuyên của ∆ABC mà ba điểm B, I, G thẳng hàng.

Do đó BI là đường trung tuyến của ΔABC.

Xét ΔABC có BI là đường trung tuyến đồng thời của ΔABC.

Suy ra ΔABC cân tại B.

Giao điểm của ba đường phân giác trong một tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó và cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Xét ΔABC có G là giao điểm của ba đường phân giác.

Do đó G là tâm của đường tròn ngoại tiếp có bán kính GK.

Suy ra GK = 8 : 2 = 4 (cm).

Vậy độ dài đoạn thẳng GK bằng 4 cm.

Tam giác ABC cân tại A có đường phân giác AD.

Xét ΔABD và ΔACD có:

AB = AC (ΔABC cân tại A)

$\widehat{BAD}=\widehat{DAC}$ ( AD là đường phân giác $\hat{A}$)

AD là cạnh chung.

Do đó ΔABD = ΔACD (c.g.c)

Suy ra BD = CD (hai cạnh tướng ứng).

Do đó D là trung điểm của BC(1)

Vậy AD cũng là đường trung tuyến ứng với cạnh BC.

Ta có: $\widehat{ADC}=\widehat{ADB}$ ( ΔABD = ΔACD, hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{ADC}+\widehat{ADB}$ = 180°.

Nên 2$\widehat{ADC}$ = 180° hay $\widehat{ADC}$ = 90°.

Do đó AD vuông góc với BC tại D (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD cũng là đường trung trực.

Do vậy cả ba đáp án A, B, C đều đúng.