Xét ∆ABC có:

BE là đường trung tuyến (E là trung điểm của AC);

CF là đường trung tuyến (F là trung điểm của AB);

BE và CF cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra AE là đường trung tuyến của ∆ABC.

Do vậy E là trung điểm của BC.

Ta có: $\frac{BG}{BD}$ = $\frac{2}{3}$; $\frac{CG}{CF}$ = $\frac{2}{3}$ (G là trọng tâm ∆ABC)

mà BD = CF (gt) nên BG = CG.

Do vậy FG = GD.

Xét ∆FGB và ∆DGC có:

BG = CG (cmt);

FG = GD (cmt);

$\widehat{FGB}=\widehat{DGC}$ ( hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆FGB = ∆DGC (c.g.c).

Suy ra BF = DC (hai cạnh tương ứng).

Ta có : AB = $\frac{1}{2}$BF (F là trung điểm của AB);

AC= $\frac{1}{2}$ DC (D là trung điểm của AC);

BF = DC (cmt).

Do đó AB = AC.

Xét ∆AEB và ∆AEC ta có:

AB = AC (cmt);

AE là cạnh chung;

EB = EC (E là trung điểm của BC).

Do đó ∆AEB = ∆AEC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AEC}$ = 90°.

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{GM}{AM}$ = $\frac{2}{3}$ (1)

Ta có: AG = AM − GM

Thay vào (1) ta được:

$\frac{AM-GM}{AM}$ = $\frac{2}{3}$

$\frac{AM}{AM}$− $\frac{GM}{AM}$ = $\frac{2}{3}$

1 − $\frac{GM}{AM}$ = $\frac{2}{3}$

$\frac{GM}{AM}$ = 1− $\frac{2}{3}$= $\frac{1}{3}$

Vậy $\frac{GM}{AM}$ = $\frac{1}{3}$.

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{AG}{AM}$ = $\frac{2}{3}$ và $\frac{GM}{AM}$ = $\frac{1}{3}$ .

Ta có: $\frac{GM}{AM}$ : $\frac{AG}{AM}$ = $\frac{GM}{AG}$ = $\frac{1}{3}$ : $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{2}$ .

Vậy $\frac{GM}{AG}$= $\frac{1}{2}$.

Xét ∆ABC có:

BE là đường trung tuyến (E là trung điểm của AC);

CF là đường trung tuyến (F là trung điểm của AB);

BE và CF cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Ta có: ∆ABC cân tại A.

Suy ra AB = AC mà AB = 2AF; AC = 2AE

Do đó 2AF = 2AE hay AF = AE.

Xét ∆ABE và ∆ACF có:

$\hat{A}$là góc chung;

AB = AC(∆ABC cân tại A);

AE = AF (cmt).

Do đó ∆ABE = ∆ACF (c.g.c).

Suy ra CF = BE.

Mà CF = $\frac{3}{2}$ CG ; BE = $\frac{3}{2}$ BG (G là trọng tâm của ∆ABC).

Nên $\frac{3}{2}$ CG = $\frac{3}{2}$ BG hay CG = BG.

Vậy tam giác ∆GBC là tam giác cân.

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{AG}{AM}$ = $\frac{2}{3}$

$\frac{AG}{12}$= $\frac{2}{3}$

AG = $\frac{12.2}{3}$ = $\frac{24}{3}$ = 8 (cm).

Vậy độ dài đoạn thẳng AG bằng 8 cm.

Xét ∆ABC có:

AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC);

BN là đường trung tuyến (N là trung điểm của AC).

AM và BN cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{GN}{BN}$ = $\frac{1}{3}$

BN = 3GN = 3 . 4 = 12 (cm)

Vậy độ dài đoạn thẳng AG bằng 12 cm.

Xét ∆ABC có:

BE là đường trung tuyến (E là trung điểm của AC);

CF là đường trung tuyến (F là trung điểm của AB);

BE và CF cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra $\frac{BG}{BD}$ = $\frac{2}{3}$; $\frac{CG}{CF}$ = $\frac{2}{3}$

mà BD = CF (gt) nên BG = CG.

Do vậy FG = GD.

Xét ∆FGB và ∆DGC có:

BG = CG (cmt);

FG = GD (cmt);

$\widehat{FGB}=\widehat{DGC}$ ( hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆FGB = ∆DGC (c.g.c).

Suy ra BF = DC (hai cạnh tương ứng)

Ta có : AB = $\frac{1}{2}$ BF (F là trung điểm của AB);

AC= $\frac{1}{2}$ DC ( D là trung điểm của AC);

BF = DC (cmt).

Do đó AB = AC.

Vậy ∆ABC là tam giác cân tại A.

Xét ∆ABC có:

BE là đường trung tuyến (E là trung điểm của AC);

CF là đường trung tuyến (F là trung điểm của AB);

BE và CF cắt nhau tại G.

Do đó G là trọng tâm của ∆ABC.

Ta có: ∆ABC cân tại A.

Suy ra AB = AC mà AB = 2AF; AC = 2AD.

Do đó 2AF = 2AD hay AF = AD.

Xét ∆ABD và ∆ACF có:

$\hat{A}$ là góc chung;

AB = AC(∆ABC cân tại A);

AD = AF (cmt).

Do đó ∆ABD = ∆ACF (c.g.c)

Suy ra BD = CF.

Ta có: GF= $\frac{1}{3}$ CF;

BD = CF = 9 (cm).

Do đó GF = $\frac{1}{3}$ . 9 = 3 (cm).

Vậy độ dài đoạn thẳng GF bằng 3 cm.

Xét ΔABD có AC = CD.

Do đó BC là trung tuyến của ΔABD.

Mà BM = 2MC nên BM = $\frac{2}{3}$ BC.

Suy ra M là trọng tâm của ΔABD.

Ta có: AD = AE + EF + FD mà AE = EF = FD nên AD = 3AE.

Suy ra AE = EF = FD = $\frac{1}{3}$ AD.

Do đó AF = $\frac{2}{3}$ AD.

Vì AD là đường trung tuyến và AF = $\frac{2}{3}$ AD nên F là trọng tâm của ΔABC.