Ta có: AH là đường trung trực của BC (H $\in$ BC).

Do đó H là trung điểm của BC.

Suy ra HB = HC = $\frac{BC}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4 (cm)

Xét ∆AHC vuông tại H, ta có:

S_AHC = $\frac{1}{2}$ . AH . HC = $\frac{1}{2}$ . 5 . 4 = 10 (cm²)

Vậy diện tích tam giác AHC bằng 10 cm².

Theo đề bài, AH là đường trung trực của BC và H $\in$ BC

Suy ra H là trung điểm của BC

Vì thế HB = HC

Xét ∆AHB và ∆AHC cùng vuông tại H có:

BH = HC (cmt);

AH là cạnh chung.

Do đó ∆AHB = ∆AHC (hai cạnh góc vuông)

Suy ra: AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆ABC có:

AB = AC (cmt).

Do đó tam giác ∆ABC cân tại A

Suy ra $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân)

Ta có : $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$ + $\widehat{BAC}$ = 180° (tổng ba góc của tam giác)

Vì $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (cmt)

Nên $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ABC}$ + $\widehat{BAC}$ = 180°.

Khi đó 2.$\widehat{ABC}$ + 70° = 180°.

Do đó $\widehat{ABC}$ = $\frac{{180}^o-{70}^o}{2}$ = $\frac{{110}^o}{2}$ = 55°.

Vậy số đo góc $\widehat{ABC}$ bằng 55°.

Ta có: MH vuông góc với NP tại H;

H là trung điểm của NP.

Do đó MH là đường trung trực của đoạn thẳng NP.

Vì M nằm trên đường trung trực của NP nên cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng NP

Nên MN = MP = 5 cm.

Ta có:AH là đường trung trực của BC (H ∈ BC).

Suy ra H là trung điểm của BC.

Do đó HB = HC.

Xét ∆AHB và ∆AHC cùng vuông tại H có:

HB = HC (cmt);

AH là cạnh chung.

Suy ra ∆AHB = ∆AHC (hai cạnh góc vuông).

Do đó AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Xét ∆ABC ta có:AB = AC (cmt).

Suy ra ∆ABC là tam giác cân tại A.

Do đó $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ .

Ta có : $\widehat{ACH}$ + $\widehat{HAC}$ = 90° (∆ACH vuông tại H).

$\widehat{ACH}$ + 40° = 90°

$\widehat{ACB}$ = 50°

Mà $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (cmt)

Nên $\widehat{ABC}$ = 50°.

Vậy số đo $\widehat{ABC}$ bằng 50°.

Ta có: MH là đường trung trực của đoạn thẳng NP.

Suy ra MN = MP = 15 (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Khi đó MP = x + 9 = 15.

Do đó x = 15 − 9 = 6.

Vậy giá trị của x bằng 6.

Xét ∆HIA và ∆HIB có:

AI = IB (I là trung điểm của đoạn thẳng AB);

HA = HB (∆HAB cân tại H);

HI là cạnh chung.

Do đó ∆HIA = ∆HIB (c.c.c)

Suy ra $\widehat{HIB}$ = $\widehat{HIA}$ (hai góc tương ứng).

mà $\widehat{HIB}$ + $\widehat{HIA}$ = 180°.

nên $\widehat{HIB}$ = 180° : 2 = 90°.

Vậy số đo góc $\widehat{HIB}$ = 90°.

Xét ∆KHB và ∆KHC cùng vuông tại H có:

KH là cạnh chung;

HB= HC (H là trung điểm của BC).

Do đó ∆KHB = ∆KHC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{KBH}=\widehat{KCH}$(hai góc tương ứng).

Ta có: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}$ = 90°(∆ABC vuông tại A) .

Suy ra $\widehat{ACB}$ = 90° − $\widehat{ABC}$ = 90° − 60° = 30°.

Ta có: $\widehat{KCH}$ = $\widehat{ACB}$ = 30°( K $\in$ AC; H $\in$ BC);

$\widehat{KBH}=\widehat{KCH}$ (cmt).

Suy ra $\widehat{KBH}$ = 30°.

Ta có: điểm A nằm trên đường trung trực của BC (hình vẽ).

Suy ra AB = AC = 5 cm (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Ta có: D nằm trên đường trung trực của BC (hình vẽ).

Suy ra BD = CD = 8 cm (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Vậy độ dài hai cạnh còn lại là AC = 5 cm và BD = 8 cm.

Xét ∆BDE và ∆ADE đều vuông tại D có:

DE là cạnh chung;

BD = AD (D là trung điểm của AB).

Suy ra ∆BDE =∆ADE (hai cạnh góc vuông).

Do đó $\widehat{EAD}$ = $\widehat{EBD}$ = 30° (hai góc tương ứng).

Ta có: $\widehat{EAD}$ + $\widehat{EAC}$ = $\widehat{DAC}$ = 90°.

Suy ra $\widehat{EAC}$ = 90°− $\widehat{EAD}$ = 90° − 30° = 60°.

Vậy số đo góc $\widehat{EAC}$ bằng 60°.

Ta có: AH vuông góc với BC (H ∈ BC).

Suy ra AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó AB = AC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Xét ∆ABC có: AB = AC.

Suy ra ∆ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC là tam giác cân.

Ta có AH vuông góc với BC (H $\in$ BC).

Do đó AH là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra AB = AC (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Xét ∆ABC cóAB = AC (cmt).

Do đó ∆ABC cân tại A.

Suy ra $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}={45}^o$( hai góc tương ứng).

mà $\widehat{BAC}$ + $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$ = 180° (tổng ba góc trong tam giác).

nên $\widehat{BAC}$ +45°+45°= 180°.

Khi đó $\widehat{BAC}$ = 180° − 45° − 45° = 90°.

Ta có: ∆ABC cân tại A có $\widehat{BAC}$ = 90°.

Suy ra ∆ABC vuông cân tại A.

Vậy tam giác ∆ABC là tam giác vuông cân.

Ta có: AD = BD = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3 (cm) (vì D là trung điểm của đoạn thẳng AB).

Xét hình thang vuông DECA, ta có:

S_DECA = $\left(\frac{DE+AC}{2}\right)$ . AD = $\left(\frac{4+8}{2}\right)$ . 3

= $\frac{12}{2}$ . 3 = 6 . 3 = 18 (cm²).

Vậy diện tích hình thang DECA là18 cm².

Vì ΔMNP cân tại M (gt).

Nên $\widehat{MPN}$ = $\widehat{MNP}$ = (180°− $\widehat{NMP}$) : 2 = (180° − 30°) : 2 = 75°.

Vì Q thuộc đường trung trực của MN.

Nên QM = QN (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Xét ΔQMN có:

QM = QN (cmt).

Do đó ΔQMN cân tại Q.

Suy ra $\widehat{PMN}$ + $\widehat{PMQ}$ = $\widehat{QMN}$ = $\widehat{MNQ}$ = 75°.

Khi đó $\widehat{PMQ}$= $\widehat{QMN}$ − $\widehat{PMN}$ = 75° − 30° = 45°.

Vậy $\widehat{PMQ}$ = 45°.