Đường cao BH: x – y + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{BH}=\left(1;-1\right)$.

Vì BH là đường cao của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

Suy ra vectơ pháp tuyến của BH là vectơ chỉ phương của AC.

Do đó vectơ chỉ phương của AC là ${\overrightarrow{u}}_{AC}={\overrightarrow{n}}_{BH}=\left(1;-1\right)$.

Vì vậy AC có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{AC}=\left(1;1\right)$.

Đường thẳng AC đi qua C(–1; 2), có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{AC}=\left(1;1\right)$.

Suy ra phương trình AC: 1(x + 1) + 1(y – 2) = 0.

⇔ x + y – 1 = 0.

Ta có A là giao điểm của AC và AN.

Do đó tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

$\left(\begin{array}{c}x+y-1=0\\ 2x-y+5=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=\frac{-4}{3}\\ y=\frac{7}{3}\end{array}\right)$

Khi đó ta có $A\left(\frac{-4}{3};\frac{7}{3}\right)$.

Vậy ta chọn phương án A.

Ta có $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

⇔ 4.3 + 5.a = 0

⇔ 12 + 5a = 0

⇔ 5a = –12

$\iff a=-\frac{12}{5}$

Vậy ta chọn phương án B.

Với A(–1; 1), B(1; 3), C(5; 2) và D(x_D; y_D) ta có:

+) $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)=\left(1-\left(-1\right);3-1\right)=\left(2;2\right)$.

+) $\overrightarrow{DC}=\left(x_C-x_D;y_C-y_D\right)=\left(5-x_D;2-y_D\right)$.

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

$\iff \left(\begin{array}{c}2=5-x_D\\ 2=2-y_D\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}{x}_D=3\\ y_D=0\end{array}\right)$.

Ta suy ra tọa độ D(3; 0).

Vậy ta chọn phương án C.

Ta có $AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}$

Suy ra $AB=\sqrt{{\left(x-6\right)}^2+{\left(9+1\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-6\right)}^2+{10}^2}$

Theo đề, ta có AB = $5\sqrt{5}$.

⇔ x² – 12x + 36 + 100 = 125

⇔ x² – 12x + 11 = 0

⇔ x = 11 hoặc x = 1.

Vậy ta chọn phương án D.

Với $\overrightarrow{a}=\left(1;2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(-2;3\right)$ ta có:

+) $3\overrightarrow{a}=\left(3.1;3.2\right)=\left(3;6\right)$, $2\overrightarrow{b}=\left(2.\left(-2\right);2.3\right)=\left(-4;6\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=\left(3-4;6+6\right)=\left(-1;12\right)$.

+) $\overrightarrow{a}=\left(3;4\right)$, $5\overrightarrow{b}=\left(5.\left(-2\right);5.3\right)=\left(-10;15\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}=\left(3-\left(-10\right);4-15\right)=\left(13;-11\right)$.

Ta có: $\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left(\overrightarrow{u}\right).\left(\overrightarrow{v}\right)}$

$=\frac{-1.13+12.\left(-11\right)}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{12}^2}.\sqrt{{13}^2+{\left(-11\right)}^2}}$

$=\frac{-145}{\sqrt{145}.\sqrt{290}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=135°$.

+ Với A(–3; 0), B(3; 0), C(2; 6) và H(a; b) ta có:

• $\overrightarrow{BC}=\left(-1;6\right),\overrightarrow{AC}=\left(5;6\right)$.

• $\overrightarrow{AH}=\left(a+3;b\right),\overrightarrow{BH}=\left(a-3;b\right)$.

+ Vì H là trực tâm của ∆ABC nên AH ⊥ BC.

Suy ra $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$

Khi đó ta có (a + 3).(–1) + 6b = 0

Vì vậy –a + 6b – 3 = 0 (1).

+ Vì H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

Suy ra $\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}$

Do đó $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$

Khi đó ta có (a – 3).5 + 6b = 0

Vì vậy 5a + 6b – 15 = 0 (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\left(\begin{array}{c}-a+6b-3=0\\ 5a+6b-15=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}a=2\\ b=\frac{5}{6}\end{array}\right)$

Do đó ta có a + 6b = 2 + 6.$\frac{5}{6}$ = 7.

Vậy ta chọn phương án C.

Vì M là trung điểm AB nên $\left(\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{3+9}{2}=6\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{5+7}{2}=6\end{array}\right)$

Suy ra M(6; 6).

Vì N là trung điểm AC nên $\left(\begin{array}{c}{x}_N=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{3+11}{2}=7\\ y_N=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{5-1}{2}=2\end{array}\right)$

Suy ra N(7; 2).

Do đó ta có $\overrightarrow{MN}=\left(x_N-x_M;y_N-y_M\right)=\left(7-6;2-6\right)=\left(1;-4\right)$.

Vậy ta chọn phương án B.

Vì ∆ABC có AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm BC.

Ta suy ra $\left(\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2}\\ y_M=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{5+2}{2}=\frac{7}{2}\end{array}\right)$

Khi đó ta có $M\left(\frac{1}{2};\frac{7}{2}\right)$

Với A(2; –1) và $M\left(\frac{1}{2};\frac{7}{2}\right)$ ta có:

$\overrightarrow{AM}=\left(-\frac{3}{2};\frac{9}{2}\right)\Rightarrow \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\left(-1;3\right)$

Đường thẳng AM có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\left(-1;3\right)$ nên đường thẳng AM nhận $\overrightarrow{n}=\left(3;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng AM đi qua A(2; –1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;1\right)$.

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng AM là:

3.(x – 2) + 1.(y + 1) = 0

⇔ 3x + y – 5 = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Đường thẳng (d): $\left(\begin{array}{c}x=1-2t\\ y=-3+5t\end{array}\right)$

(d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-2;5\right)$.

Suy ra (d) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(5;2\right)$.

(d) đi qua A(1; –3), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(5;2\right)$ nên có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 2(y + 3) = 0

⇔ 5x + 2y + 1 = 0.

Ta có M là giao điểm của (d) và (d’) nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:

$\left(\begin{array}{c}5x_M+2y_M+1=0\\ 3x_M-2y_M-1=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}{x}_M=0\\ y_M=-\frac{1}{2}\end{array}\right)$

Khi đó ta có $M\left(0;-\frac{1}{2}\right)$.

Vậy ta chọn phương án B.

•Ta xét phương án A:

d₁ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1=\left(1;-2\right)$.

Suy ra d₁ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(2;1\right)$.

d₂ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(2;1\right)$.

Do đó ${\overrightarrow{n}}_1.{\overrightarrow{n}}_2=2.2+1.1=5\ne 0$.

Vì vậy ${\overrightarrow{n}}_1$ không vuông góc với ${\overrightarrow{n}}_2$.

Khi đó ta có d₁ không vuông góc với d₂.

Vậy ta loại phương án A.

•Ta xét phương án B:

d₁ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(1;0\right)$.

d₂ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_2=\left(1;0\right)$.

Suy ra d₂ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(0;1\right)$.

Khi đó ta có ${\overrightarrow{n}}_1.{\overrightarrow{n}}_2=1.0+0.1=0$.

Do đó ${\overrightarrow{n}}_1\perp {\overrightarrow{n}}_2$.

Vì vậy d₁ ⊥ d₂.

Đến đây ta có thể chọn phương án B.

• Ta thực hiện tương tự như trên, ta loại phương án C, D.

Vậy ta chọn phương án B.

•(d): x – 2y + 5 = 0 ⇔ 2y = x + 5 ⇔ $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

Do đó (d) có hệ số góc $k=\frac{1}{2}$.

Vì vậy phương án A đúng.

•(d) và (d’) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$ và $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(1;-2\right)$.

Ta có $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n^{\text{'}}}$

Do đó (d) và (d’) song song hoặc trùng nhau.

Vì vậy phương án B sai.

•Thay tọa độ A(1; –2) vào phương trình (d), ta được:

1 – 2.(–2) + 5 = 10 ≠ 0.

Suy ra A(1; –2) không thuộc (d) hay (d) không đi qua A(1; –2).

Do đó phương án C sai.

•(d) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$.

Suy ra (d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;1\right)$.

Ở phương án D, ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;-2\right)$.

Ta có: 2.(–2) – 1.1 = –5 ≠ 0.

Suy ra $\overrightarrow{u}$ không cùng phương với $\overrightarrow{a}$.

Do đó phương trình tham số ở đáp án D không phải là phương trình tham số của (d).

Vì vậy phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án A. 

Ta có I là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó $\left(\begin{array}{c}{x}_I=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{-4+2+2}{3}=0\\ y_I=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1+4-2}{3}=1\end{array}\right)$

Suy ra I(0; 1).

Vậy ta chọn phương án B.

Ta có $2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\iff 2\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

$\iff \overrightarrow{c}=\frac{3}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$.

Với $\overrightarrow{a}=\left(1;2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-1;3\right)$ ta có:

+) $\frac{3}{2}\overrightarrow{b}=\left(\frac{3}{2}.\left(-1\right);\frac{3}{2}.3\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{9}{2}\right)$.

+) $\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=\left(\frac{1}{2}.1;\frac{1}{2}.2\right)=\left(\frac{1}{2};1\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{c}=\frac{3}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}=\left(-\frac{3}{2}-\frac{1}{2};\frac{9}{2}-1\right)=\left(-2;\frac{7}{2}\right)$.

Vậy ta chọn phương án C.

Với A(2; 4), B(–2; 10) và D(k; k + 1) ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)=\left(-2-2;10-4\right)=\left(-4;6\right)$.

$\overrightarrow{AD}=\left(x_D-x_A;y_D-y_A\right)=\left(k-2;k+1-4\right)=\left(k-2;k-3\right)$.

Theo đề, ta có điểm D(k; k + 1) thuộc đường thẳng AB.

Tức là $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ cùng phương

⇔ –4.(k – 3) – 6.(k – 2) = 0

⇔ –4k + 12 – 6k + 12 = 0

⇔ 10k = 24

⇔ k = $\frac{12}{5}.$

Vậy ta chọn phương án D.

Với A(–1; 2). B(2; 1) ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(3;-1\right)\Rightarrow AB=\sqrt{3^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{10}$.

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(3;-1\right)$ nên đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;3\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng AB đi qua B(2; 1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;3\right)$ nên có phương trình tổng quát là:

1.(x – 2) + 3.(y – 1) = 0 ⇔ x + 3y – 5 = 0.

Vì C ∈ d nên ta có x_C + 2y_C – 3 = 0.

Suy ra x_C = 3 – 2y_C

Khi đó ta có C(3 – 2y_C; y_C)

Gọi CH là đường cao của ∆ABC.

Ta suy ra CH = d(C, AB) = $\frac{\left(3-2y_C+3y_C-5\right)}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{\left(y_C-2\right)}{\sqrt{10}}$

Ta có S_∆ABC = 2.

$\iff \frac{1}{2}.AB.CH=2$

$\iff \frac{1}{2}.\sqrt{10}.\frac{\left(y_C-2\right)}{\sqrt{10}}=2$

⇔ |y_C – 2| = 4

⇔ y_C – 2 = 4 hoặc y_C – 2 = –4.

⇔ y_C = 6 hoặc y_C = –2.

•Với y_C = 6, ta có: x_C = 3 – 2y_C = 3 – 2.6 = –9.

Suy ra C(–9; 6).

•Với y_C = –2, ta có: x_C = 3 – 2y_C = 3 – 2.( –2) = 7.

Suy ra C(7; –2).

Vậy có hai điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán là C(–9; 6), C(7; –2).

Do đó ta chọn phương án D.

Gọi A(x; y) là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂.

Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:

$\left(\begin{array}{c}2x+y-3=0\\ x-2y+1=0\end{array}\right)\iff x=y=1$.

Suy ra A(1; 1).

Gọi $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆.

d₃ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_3=\left(0;1\right)$.

Theo đề, ta có (∆, d₃) = $\frac{\pi }{4}$.

Suy ra $\left(\cos \left(\overrightarrow{n},{\overrightarrow{n}}_3\right)\right)=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\iff \frac{\left(0.a+1.b\right)}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \sqrt{2}.\left(b\right)=\sqrt{a^2+b^2}$

⇔ 2b² = a² + b²

⇔ a² = b²

⇔ a = b hoặc a = –b.

• Với a = b: Chọn a = b = 1, ta được $\overrightarrow{n}=\left(1;1\right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;1\right)$ nên có phương trình tổng quát là:

1(x – 1) + 1(y – 1) = 0 ⇔ x + y – 2 = 0.

• Với a = –b: Chọn b = –1, ta suy ra a = 1.

Khi đó ta có $\overrightarrow{n}=\left(1;-1\right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-1\right)$ nên có phương trình tổng quát là:

1(x – 1) – 1(y – 1) = 0 ⇔ x – y = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là:

x + y – 2 = 0; x – y = 0.

Do đó ta chọn phương án C.

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 0), bán kính R = $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

Vậy ta chọn phương án C.

Ta có 2x² + 2y² – 8x + 4y – 1 = 0.

Suy ra x² + y² – 4x + 2y – $\frac{1}{2}$ = 0.

Phương trình (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = 2, b = –1, c = $-\frac{1}{2}$.

Suy ra tâm I(2; –1).

Ta có R² = a² + b² – c = $4+1+\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$.

Suy ra $R=\sqrt{\frac{11}{2}}=\frac{\sqrt{22}}{2}$.

Vậy đường tròn (C) có tâm I(2; –1), bán kính $R=\frac{\sqrt{22}}{2}$.

Do đó ta chọn phương án B.

Với I(–2; 3) và M(2; –3) ta có $\overrightarrow{IM}=\left(4;-6\right)$ .

Đường tròn (C) có tâm I(–2; 3) và đi qua điểm M(2; –3) nên bán kính là:

$R=IM=\sqrt{4^2+{\left(-6\right)}^2}=2\sqrt{13}$.

Phương trình đường tròn (C) là: (x + 2)² + (y – 3)² = 52.

Ûx² + y² + 4x – 6y – 39 = 0.

Vậy ta chọn phương án D.

Phương trình đã cho có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = m, b = 2(m – 2), c = 6 – m.

Ta có a² + b² – c = m² + 4(m² – 4m + 4) – 6 + m = 5m² – 15m + 10.

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn thì a² + b² – c > 0.

Nghĩa là 5m² – 15m + 10 > 0

⇔ m < 1 hoặc m > 2.

Vậy m ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C).

Ta có I ∈ d.

Suy ra a + 3b + 8 = 0 ⇔ a = –3b – 8.

Ta có đường tròn (C) đi qua điểm A(–2; 1) nên AI = R (1).

Lại có đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên d(I, ∆) = R (2).

Từ (1), (2), ta suy ra IA = d(I, ∆).

$\iff \sqrt{{\left(a+2\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2}=\frac{\left(3a-4b+10\right)}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}$

$\iff \sqrt{{\left(-3b-8+2\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2}=\frac{\left(3\left(-3b-8\right)-4b+10\right)}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}$

$\iff 5\sqrt{{\left(-3b-6\right)}^2+{\left(b-1\right)}^2}=\left(-13b-14\right)$

⇔ 25(9b² + 36b + 36 + b² – 2b + 1) = 169b² + 364b + 196

⇔ 81b² + 486b + 729 = 0

⇔ b = –3.

Với b = –3, ta có a = –3b – 8 = –3.(–3) – 8 = 1.

Khi đó ta có I(1; –3).

R = AI = $\sqrt{{\left(1+2\right)}^2+{\left(-3-1\right)}^2}=5$.

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x – 1)² + (y + 3)² = 25.

Vậy ta chọn phương án D.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Vì M là trung điểm AB nên ta có $\left(\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{0+2}{2}=1\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{4+4}{2}=4\end{array}\right)$

Suy ra M(1; 4).

Tương tự, ta có N(3; 2).

Đường trung trực ∆₁ của đoạn thẳng AB đi qua điểm M(1; 4) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=\left(2;0\right)$.

Suy ra phương trình ∆₁ là: 2(x – 1) + 0(y – 4) = 0 ⇔ x – 1 = 0.

Tương tự, ta có phương trình đường trung trực ∆₂ của đoạn thẳng BC đi qua điểm N(3; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{BC}=\left(2;-4\right)$ là:

2(x – 3) – 4(y – 2) = 0 ⇔ x – 2y + 1 = 0.

Vì IA = IB = IC = R nên I cách đều ba điểm A, B, C.

Do đó I nằm trên đường trung trực ∆₁ và I cũng nằm trên đường trung trực ∆₂.

Hay I là giao điểm của ∆₁ và ∆₂.

Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

$\left(\begin{array}{c}x-1=0\\ x-2y+1=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=1\\ y=1\end{array}\right)$

Suy ra tọa độ tâm I(1; 1).

Vậy ta chọn phương án D.

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm.

Phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = –2, b = –2, c = –17.

Suy ra tâm I(–2; –2), bán kính R = $\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2+17}=5$.

Vì ∆ // d nên phương trình ∆ có dạng: 3x – 4y + d = 0 (d ≠ –2023).

Ta có ∆ là tiếp tuyến của (C).

Suy ra d(I, ∆) = R.

$\iff \frac{\left(3.\left(-2\right)-4.\left(-2\right)+d\right)}{\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}}=5$

⇔ |d + 2| = 25

⇔ d + 2 = 25 hoặc d + 2 = –25

⇔ d = 23 (nhận) hoặc d = –27 (nhận).

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là: 3x – 4y + 23 = 0 và 3x – 4y – 27 = 0.

Do đó ta chọn phương án A.

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm.

Đường tròn (C) có tâm I(2; –4), bán kính R = 5.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=\left(3;-4\right)$.

Theo đề, ta có ∆ ⊥ d nên ∆ nhận vectơ pháp tuyến của d làm vectơ chỉ phương.

Do đó ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}={\overrightarrow{n}}_d=\left(3;-4\right)$.

Khi đó ∆ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }=\left(4;3\right)$.

Vì vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆: 4x + 3y + c = 0.

Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên d(I, ∆) = R.

$\iff \frac{\left(4.2+3.\left(-4\right)+c\right)}{\sqrt{4^2+3^2}}=5$

⇔ |c – 4| = 25

⇔ c – 4 = 25 hoặc c – 4 = –25

⇔ c = 29 hoặc c = –21.

Vậy ∆: 4x + 3y + 29 = 0 hoặc ∆: 4x + 3y – 21 = 0.

Do đó ta chọn phương án D.

Ta viết phương trình d₁:

Ta có 3² + 2² – 2.3 – 4.2 + 1 = 0 (đúng).

Do đó điểm M ∈ (C).

Phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = 2, c = 1.

Suy ra tâm I(1; 2), bán kính R = $\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{1+4-1}=2$

Phương trình d₁ là: (1 – 3)(x – 3) + (2 – 2)(y – 2) = 0

⇔ –2(x – 3) = 0 ⇔ x – 3 = 0.

Tương tự, ta viết phương trình d₂:

Ta có 1² + 0² – 2.1 – 4.0 + 1 = 0 (đúng).

Do đó N ∈ (C).

Phương trình d₂ là: (1 – 1)(x – 1) + (2 – 0)(y –0) = 0

⇔ y = 0.

Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂.

Suy ra tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:

$\left(\begin{array}{c}x-3=0\\ y=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=3\\ y=0\end{array}\right)$

Khi đó ta có tọa độ A(3; 0).

Vậy ta chọn phương án A.

Khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông A chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng ∆. Khi đó ta có:

$d\left(A,\Delta \right)=\frac{\left(2-5.3+6\right)}{\sqrt{1^2+{\left(-5\right)}^2}}=\frac{7\sqrt{26}}{26}\approx \mathrm{1,37}$ (km).

Vậy ta chọn phương án C.

(E): $\frac{x^2}{121}+\frac{y^2}{81}=1$ nên ta có a = 11, b = 9.

Suy ra $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{121-81}=2\sqrt{10}$.

Ta có tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là: $\frac{2c}{2a}=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{10}}{11}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Hypebol $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{16}=1$ nên ta có a = 12, b = 4.

Suy ra $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{144+16}=4\sqrt{10}$.

Quan sát hình vẽ, ta thấy đỉnh gương là vị trí A₂.

Suy ra A₂(12; 0).

Vì $c=4\sqrt{10}$ nên ta có tọa độ các tiêu điểm $F_1\left(-4\sqrt{10};0\right)$ và $F_2\left(4\sqrt{10};0\right)$.

Hay ống kính máy ảnh được đặt tại điểm $F_1\left(-4\sqrt{10};0\right)$.

Khoảng cách từ ống kính tới đỉnh gương là:

F₁A₂ = F₁O + OA₂ = $\left(-4\sqrt{10}\right)+\left(12\right)=4\sqrt{10}+12\approx \mathrm{24,6}$ (inch).

Do đó ta chọn phương án A.

Gọi r là bán kính đáy của tháp (r > 0).

Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.

Chọn điểm M(r; –25) nằm trên hypebol.

Ta suy ra $\frac{r^2}{36}-\frac{{\left(-25\right)}^2}{49}=1$.

$\iff \frac{r^2}{36}=1+\frac{{\left(-25\right)}^2}{49}=\frac{674}{49}$.

$\iff r^2=\frac{674}{49}.36=\frac{24264}{49}$.

Suy ra $r=\frac{6\sqrt{674}}{7}\approx \mathrm{22,25}$ (m).

Vậy bán kính đáy của tháp bằng khoảng 22,25 m.

Do đó ta chọn phương án B.

Phương trình parabol có dạng y² = 2px, với p = 10.

Suy ra $\frac{p}{2}=\frac{10}{2}=5$.

Khi đó tọa độ tiêu điểm F(5; 0).

Vậy ta sẽ đặt ống thu tại điểm có tọa độ (5; 0).

Do đó ta chọn phương án D.