Tam thức bậc hai f(x) = –x² – 4x – 6 có dạng f(x) = ax² + bx + c, với a = –1, b = –4, c = –6.

Biệt thức của f(x): ∆ = b² – 4ac = (–4)² – 4.(–1).(–6) = –8.

Biệt thức thu gọn của f(x): ∆’ = ${\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac={\left(\frac{-4}{2}\right)}^2-\left(-1\right).\left(-6\right)=-2$.

Vậy ∆ = –8 và ∆’ = –2.

Do đó ta chọn phương án D.

Ta có f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi giá trị của x khi ∆ < 0.

Do đó ta chọn phương án A.

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), ta có:

⦁ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.

Do đó phương án B, D đều sai.

⦁ Nếu ∆ = 0 và $x_0=-\frac{b}{2a}$ là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ x₀.

Do đó phương án C đúng.

⦁ Nếu ∆ > 0 và x₁, x₂ là hai nghiệm của f(x) (x₁ < x₂) thì f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x₁; x₂); f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; x₁); (x₂; +∞).

Do đó phương án A sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có một trong các dạng:

ax² + bx + c ≤ 0; ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c ≥ 0; ax² + bx + c > 0 với a ≠ 0.

Trong bốn phương án A, B, C, D, ta thấy chỉ có phương án A là có dạng bất phương trình bậc hai một ẩn dạng ax² + bx + c ≤ 0 với a = 3, b = – 12 và c = 1.

Ta chọn phương án A.

Để bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc hai một ẩn thì a ≠ 0.

Nghĩa là, m – 1 ≠ 0 do đó m ≠ 1.

Vậy ta chọn phương án D.

Theo đề, ta có f(x) = ax² + bx + c (với a > 0) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ sao cho x₁ < x₂.

Suy ra:

⦁ f(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; x₁) và (x₂; +∞);

⦁ f(x) âm với mọi x thuộc khoảng (x₁; x₂);

⦁ f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂.

Vậy bất phương trình ax² + bx + c ≤ 0 có tập nghiệm là [x₁; x₂].

Ta chọn phương án C.

Theo đề, ta có f(x) = ax² + bx + c > 0 (với a < 0) và có nghiệm kép x₀.

Suy ra:

⦁ f(x) âm với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; x₀) và (x₀; +∞);

⦁ f(x) = 0 khi x = x₀.

Vậy bất phương trình ax² + bx + c > 0 vô nghiệm.

Khi đó tập nghiệm của bất phương trình ax² + bx + c > 0 là: ∅.

Ta chọn phương án B.

Tam thức bậc hai f(x) = –2x² + 8x – 8 có ∆ = 8² – 4.(–2).(–8) = 0.

Suy ra f(x) có nghiệm kép $x=-\frac{8}{2.\left(-2\right)}=2$.

Ta có a = –2 < 0.

Do đó f(x) < 0 với mọi x ≠ 2

Hay f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó ta chọn phương án C.

Tam thức bậc hai f(x) = x² + 1 có ∆ = 0² – 4.1.1 = –4 < 0.

Suy ra f(x) vô nghiệm.

Ta có a = 1 > 0.

Vậy f(x) > 0, ∀x ∈ ℝ hay f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; +∞).

Ta chọn phương án A.

Quan sát đồ thị, ta thấy:

⦁ Đồ thị y = f(x) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁ = 1; x₂ = 4.

Suy ra f(x) có 2 nghiệm phân biệt x₁ = 1; x₂ = 4.

Do đó ∆ > 0.

⦁ Trên khoảng (–∞; 1) và (4; +∞), ta có f(x) > 0. Suy ra a > 0.

Vậy ta có a > 0, ∆ > 0.

Ta chọn phương án A.

Tam thức bậc hai f(x) = –x² – 4x + 5 có ∆’ = (–2)² – (–1).5 = 9 > 0.

Suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$$$x_1=\frac{-\left(-2\right)+\sqrt{9}}{-1}=-5;x_2=\frac{-\left(-2\right)-\sqrt{9}}{-1}=1.$

Ta lại có a = –1 < 0.

Do đó ta có:

⦁ f(x) âm trên hai khoảng (–∞; –5) và (1; +∞);

⦁ f(x) dương trên khoảng (–5; 1);

⦁ f(x) = 0 khi x = –5 hoặc x = 1.

Vì vậy bất phương trình f(x) ≥ 0 có tập nghiệm là [–5; 1].

Trên đoạn [–5; 1], ta thấy có 7 giá trị nguyên là: –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1.

Vậy ta chọn phương án B.

Tam thức bậc hai f(x) = x² – 3x + 2 có ∆ = (–3)² – 4.1.2 = 1 > 0.

Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{1}}{2.1}=1;x_2=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{1}}{2.1}=2.$

Ta lại có a = 1 > 0.

Do đó ta có:

⦁ f(x) âm trên khoảng (1; 2);

⦁ f(x) dương trên hai khoảng (–∞; 1) và (2; +∞);

⦁ f(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 2.

Vì vậy bất phương trình x² – 3x + 2 < 0 có tập nghiệm là (1; 2).

Ta chọn phương án A.

Ta có x² + 9 > 6x.

⇔ x² – 6x + 9 > 0.

Tam thức bậc hai f(x) = x² – 6x + 9 có ∆’ = (–3)² – 1.9 = 0.

Suy ra f(x) có nghiệm kép x = 3.

Ta lại có a = 1 > 0.

Do đó ta có:

⦁ f(x) dương trên hai khoảng (–∞; 3) và (3; +∞);

⦁ f(x) = 0 khi x = 3.

Vì vậy bất phương trình x² – 6x + 9 > 0 có tập nghiệm là (–∞; 3) ∪ (3; +∞) (hoặc ta có thể viết: ℝ \ {3}).

Ta chọn phương án B.

Hàm số xác định khi và chỉ khi –2x² + 8x – 12 > 0.

Tam thức bậc hai f(x) = –2x² + 8x – 12 có ∆’ = 4² – (–2).(–12) = –8 < 0.

Do đó f(x) vô nghiệm.

Ta lại có a = –2 < 0.

Vì vậy f(x) < 0, với mọi x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình –2x² + 8x – 12 > 0 có tập nghiệm là ∅.

Ta chọn phương án C.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

4x² – 3 = x²

⇒ 3x² – 3 = 0

⇒ x = 1 hoặc x = –1.

Với x = 1, ta có $\sqrt{{4.1}^2-3}=1$ (đúng)

Với x = –1, ta có $\sqrt{4.{\left(-1\right)}^2-3}=-1$ (vô lí)

Vì vậy khi thay các giá trị x = 1 và x = –1 vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

Ta chọn phương án A.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

x² + 3 = 2x + 6

⇒ x² – 2x – 3 = 0

⇒ x = 3 hoặc x = –1.

Với x = 3, ta có $\sqrt{3^2+3}=\sqrt{2.3+6}$ (đúng)

Với x = –1, ta có $\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3}=\sqrt{2.\left(-1\right)+6}$ (đúng)

Vì vậy khi thay các giá trị x = 3 và x = –1 vào phương trình đã cho, ta thấy cả x = 3 và x = –1 đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 3 và x = –1.

• Tổng các nghiệm là: 3 + (–1) = 2. Do đó phương án A đúng.

• Tích các nghiệm là: 3.(–1) = –3. Do đó phương án B sai.

• Ta có x = 3 > –2 và x = –1 > –2.

Vì vậy các nghiệm của phương trình đã cho đều lớn hơn –2. Do đó phương án C đúng.

• Ta có x = 3 > 0 và x = –1 < 0.

Vì vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu. Do đó phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án B.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

2x² + 3x – 5 = (x + 1)²

⇒ 2x² + 3x – 5 = x² + 2x + 1

⇒ x² + x – 6 = 0

⇒ x = 2 hoặc x = –3.

Với x = 2, ta có $\sqrt{{2.2}^2+3.2-5}=2+1$ (đúng)

Với x = –3, ta có $\sqrt{2{\left(-3\right)}^2+3.\left(-3\right)-5}=-3+1$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 2 và x = –3 vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

Ta chọn phương án B.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

–x² + 4x = (2x – 2)²

⇒ –x² + 4x = 4x² – 8x + 4

⇒ 5x² – 12x + 4 = 0

⇒ x = 2 hoặc $x=\frac{2}{5}$

Với x = 2, ta có $\sqrt{-2^2+4.2}=2.2-2$ (đúng)

Với $x=\frac{2}{5}$, ta có $\sqrt{-{\left(\frac{2}{5}\right)}^2+4.\frac{2}{5}}=2.\frac{2}{5}-2$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 2 và $x=\frac{2}{5}$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Ta chọn phương án B.

Xét f(x) = (m – 3)x² + (m + 3)x – (m + 1).

Ta có:

∆ = (m + 3)² – 4.(m – 3).[–(m + 1)]

= m² + 6m + 9 + 4.(m – 3)(m + 1)

= m² + 6m + 9 + 4(m² – 2m – 3)

= 5m² – 2m – 3.

Ta có f(x) là một tam thức bậc hai và có nghiệm kép khi và chỉ khi a ≠ 0 và ∆ = 0.

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}m–3\ne 0\\ 5m^2–2m–3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 3\\ \left(m-1\right)\left(5m+3\right)=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 3\\ \left[\begin{array}{l}m-1=0\\ 5m+3=0\end{array}\right.\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 3\\ \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{3}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 5}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy ta chọn phương án D.

Xét f(x) = x² + 2(m – 1)x + m² – 3m + 4.

Ta có:

∆’ = (m – 1)² – 1.(m² – 3m + 4)

= m² – 2m + 1 – m² + 3m – 4

= m – 3.

Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm m để f(x) ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Ta có f(x) ≥ 0, với mọi giá trị của x.

⇔ a > 0 và ∆’ ≤ 0.

⇔ 1 > 0 (luôn đúng) và m – 3 ≤ 0.

⇔ m ≤ 3.

Vậy m ≤ 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án D.

Nếu m = 0 ta có f(x) = –1 < 0 khi đó f(x) ≥ 0 vô nghiệm.

Do đó m = 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Nếu m ≠ 0 thì f(x) = mx² – 2mx + m – 1 là tam thức bậc hai.

Ta có:

∆’ = (–m)² – m.(m – 1)

= m² – m² + m

= m.

Ta có f(x) ≥ 0 vô nghiệm. Nghĩa là, f(x) < 0, với mọi giá trị của x.

⇔ a < 0 và ∆’ < 0

⇔ m < 0 và m < 0

⇔ m < 0.

Vậy m ≤ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: $\sqrt{3x-4}=x-3$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được 3x – 4 = (x – 3)²

⇒ 3x – 4 = x² – 6x + 9

⇒ x² – 9x + 13 = 0

⇒ $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ hoặc $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$.

Với $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$, ta có $\sqrt{3.\frac{9+\sqrt{29}}{2}-4}=\frac{9+\sqrt{29}}{2}-3$ (đúng)

Với $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$, ta có $\sqrt{3.\frac{9+\sqrt{29}}{2}-4}=\frac{9+\sqrt{29}}{2}-3$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ và $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$ vào phương trình $\sqrt{3x-4}=x-3$, ta thấy chỉ có $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ thỏa mãn.

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại một giao điểm.

Do đó ta chọn phương án D.

Ta có $\left(x-2\right)\sqrt{2x+7}=x^2-4$

$\iff \left(x-2\right)\sqrt{2x+7}=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$

$\iff \left(x-2\right)\left(\sqrt{2x+7}-x-2\right)=0$

⇔ x – 2 = 0 hoặc $\sqrt{2x+7}-x-2=0$

⇔ x = 2 hoặc $\sqrt{2x+7}=x+2$  (2)

Giải (2):

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

2x + 7 = (x + 2)²

⇒ 2x + 7 = x² + 4x + 4

⇒ x² + 2x – 3 = 0

⇒ x = 1 hoặc x = –3.

Với x = 1, ta có $\sqrt{2.1+7}=1+2$ (đúng)

Với x = –3, ta có $\sqrt{2.\left(-3\right)+7}=-3+2$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 1 và x = –3 vào phương trình (2), ta thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.

Do đó phương trình (2) có nghiệm là x = 1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 hoặc x = 1.

Khi đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình đã cho là: 2² + 1² = 5.

Vậy ta chọn phương án B.

Tam thức bậc hai I(x) = 200x² – 1400x + 2400 có:

∆’ = (–700)² – 200.2400 = 10 000 > 0.

Suy ra I(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-700+\sqrt{10000}}{-200}=3;x_2=\frac{-700-\sqrt{10000}}{-200}=4$

Ta lại có a = 200 > 0 và 0 ≤ x ≤ 5.

Vì vậy ta có bảng xét dấu sau:

Theo bảng xét dấu ta có:

⦁ I(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng [0; 3) và (4; 5];

⦁ I(x) âm với mọi x thuộc khoảng (3; 4);

⦁ I(x) = 0 khi x = 3 hoặc x = 4.

Do đó doanh nghiệp đó không có lãi khi và chỉ khi I(x) ≤ 0.

Tức là khi x ∈ [3; 4].

Hay ta có thể nói là khi cửa hàng giảm giá từ 3 đến 4 triệu đồng thì doanh nghiệp đó không có lãi.

Vậy ta chọn phương án B.

Gọi x (m) là chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật (x > 0).

Mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 150 m nên có nửa chu vi là 75 m.

Khi đó chiều rộng của mảnh đất là: 75 – x (m).

Do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng nên x > 75 – x hay x > 37,5.

Diện tích của mảnh đất là: x(75 – x) = –x² + 75x (m²).

Theo đề ta có diện tích của mảnh đất đó lớn hơn 650 m².

⇔ –x² + 75x > 650.

+) Xét tam thức bậc hai f(x) = –x² + 75x – 650 có:

∆ = 75² – 4.(–1).(–650) = 3025 > 0.

Suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-75+\sqrt{3025}}{2.\left(-1\right)}=10,x_2=\frac{-75-\sqrt{3025}}{2.\left(-1\right)}=65.$

Ta lại có a = –1 < 0 và x > 37,5 nên:

⦁ f(x) âm với mọi x thuộc hai khoảng (0; 37,5) và (65; +∞);

⦁ f(x) dương với mọi x thuộc khoảng (37,5; 65);

⦁ f(x) = 0 khi x = 37,5 hoặc x = 65.

Do đó bất phương trình –x² + 75x – 650 ≥ 0 có tập nghiệm là [37,5; 65].

Khi đó chiều dài của mảnh đất phải từ 37,5 m đến 65 m thì diện tích của mảnh đất đó lớn hơn 650 m².

Vậy ta chọn phương án D.

Theo đề, ta có MN dài hơn MP 10 cm nên MN = MP + 10.

Xét ∆MNP vuông tại M có MN² + MP² = NP² (Định lí Pythagore)

Suy ra (MP + 10)² + MP² = NP²

Hay MP² + 20MP + 100 + MP² = NP²

Do đó NP² = 2MP² + 20MP + 100

Nên $NP=\sqrt{2M{P}^2+20MP+100}$

• Ta có chu vi của ∆MNP là 50 cm.

Suy ra: MN + NP + MP = 50.

Khi đó $MP+10+\sqrt{2M{P}^2+20MP+100}+MP=50$

$\iff \sqrt{2M{P}^2+20MP+100}=40-2MP$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

2MP² + 20MP + 100 = 1600 – 160MP + 4MP²

Þ 2MP² – 180MP + 1500 = 0

Þ MP ≈ 80,71 hoặc MP ≈ 9,29.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình (1), ta thấy chỉ có MP ≈ 9,29 thỏa mãn.

Do đó NP ≈ 21,41 cm.

Vậy ta chọn phương án A.

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABM, ta có:

BM² = AM² + AB² – 2AM.AB.cosA

         = x² + 200² – 2x.200.cos120°

         = x² + 40 000 + 200x

Do đó $NP=\sqrt{2M{P}^2+20MP+100}$

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABS, ta được:

BS² = AS² + AB² – AS.AB.cosA

         = (x + 300)² + 200² – 2.(x + 300).200.cos120°

         = x² + 600x + 90 000 + 40 000 + 200x + 60 000

         = x² + 800x + 190 000

Do đó $BS=\sqrt{x^2+800x+190000}$

Theo bài, quãng đường từ nhà Bình đến siêu thị gấp đôi quãng đường từ nhà Bình đến nhà bác Mai nên ta có:

BS = 2BM.

$\iff \sqrt{x^2+800x+190000}=2\sqrt{x^2+200x+40000}$  (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

x² + 800x + 190 000 = 4(x² + 200x + 40 000)

⇒ –3x² + 30 000 = 0

⇒ x = 100 (thỏa mãn x > 0) hoặc x = –100 (không thỏa mãn).

Vậy ta chọn phương án C.