Bất phương trình –x² + 2x + 1 ≥ 0.

⦁ Xét phương án A:

Vì –5² + 2.5 + 1 = –14 < 0.

Nên x = 5 không là nghiệm của bất phương trình –x² + 2x + 1 ≥ 0.

Do đó phương án A sai.

⦁ Xét phương án B:

Vì –2² + 2.2 + 1 = 1 > 0.

Nên x = 2 là nghiệm của bất phương trình –x² + 2x + 1 ≥ 0.

Do đó phương án B đúng.

⦁ Xét phương án C:

Vì –7² + 2.7 + 1 = –34 < 0.

Nên x = 7 không là nghiệm của bất phương trình –x² + 2x + 1 ≥ 0.

Do đó ta loại phương án C.

⦁ Xét phương án D:

Vì –(–1)² + 2.(–1) + 1 = –2 < 0.

Nên x = –1 không là nghiệm của bất phương trình –x² + 2x + 1 ≥ 0.

Do đó ta loại phương án D.

Vậy ta chọn phương án B.

Để bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc hai một ẩn thì a ≠ 0.

Nghĩa là, m – 1 ≠ 0 do đó m ≠ 1.

Vậy ta chọn phương án D.

Ta có x² + 2x – 1 ≤ 2x² – 5x + 5.

⇔ (x² – 2x²) + (2x + 5x) – 1 – 5 ≤ 0.

⇔ –x² + 7x – 6 ≤ 0

⇔ x² – 7x + 6 ≥ 0

Do đó ta có thể đưa được bất phương trình x² + 2x – 1 ≤ 2x² – 5x + 5 về dạng:

• ax² + bx + c ≤ 0, với a = –1, b = 7, c = –6.

• ax² + bx + c ≥ 0, với a = 1, b = –7, c = 6.

Vậy ta chọn phương án A.

Ta có –2x² – mx + 1 ≤ (m – 3)x² – 8.

⇔ [–2 – (m – 3)]x² – mx + 1 + 8 ≤ 0.

⇔ (1 – m)x² – mx + 9 ≤ 0.

• Với m = 0, ta có bất phương trình (1 – 0)x² – 0.x + 9 ≤ 0.

⇔ x² + 9 ≤ 0.

Đây là bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax² + bx + c ≤ 0 với a = 1 > 0.

Do đó phương án A đúng.

• Với m = 1, ta có bất phương trình (1 – 1)x² – 1.x + 9 ≤ 0.

⇔ –x + 9 ≤ 0. Đây không phải bất phương trình bậc hai ẩn x.

Do đó phương án B sai.

• Với m = –2, ta có bất phương trình [1 – (–2)]x² – (–2)x + 9 ≤ 0.

⇔ 3x² + 2x + 9 ≤ 0.

Đây là bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax² + bx + c ≤ 0 với a = 3 > 0.

Do đó phương án C sai.

• Với m = 3, ta có bất phương trình (1 – 3)x² – 3x + 9 ≤ 0.

⇔ –2x² – 3x + 9 ≤ 0.

Đây là bất phương trình bậc hai ẩn x dạng ax² + bx + c ≤ 0 với a = –2 < 0.

Do đó phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Theo đề, ta có f(x) = ax² + bx + c (với a > 0) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ sao cho x₁ < x₂.

Suy ra:

⦁ f(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; x₁) và (x₂; +∞);

⦁ f(x) âm với mọi x thuộc khoảng (x₁; x₂);

⦁ f(x) = 0 khi x = x₁ hoặc x = x₂.

Vậy bất phương trình ax² + bx + c ≤ 0 có tập nghiệm là [x₁; x₂].

Ta chọn phương án C.

Theo đề, ta có f(x) = ax² + bx + c > 0 (với a < 0) và có nghiệm kép x₀.

Suy ra:

⦁ f(x) âm với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; x₀) và (x₀; +∞);

⦁ f(x) = 0 khi x = x₀.

Vậy bất phương trình ax² + bx + c > 0 vô nghiệm.

Khi đó tập nghiệm của bất phương trình ax² + bx + c > 0 là: ∅.

Ta chọn phương án B.

Ta có x² + 9 > 6x.

⇔ x² – 6x + 9 > 0.

Tam thức bậc hai f(x) = x² – 6x + 9 có ∆’ = (–3)² – 1.9 = 0.

Suy ra f(x) có nghiệm kép x = 3.

Ta lại có a = 1 > 0.

Do đó ta có:

⦁ f(x) dương trên hai khoảng (–∞; 3) và (3; +∞);

⦁ f(x) = 0 khi x = 3.

Vì vậy bất phương trình x² – 6x + 9 > 0 có tập nghiệm là (–∞; 3) ∪ (3; +∞) (hoặc ta có thể viết: ℝ \ {3}).

Ta chọn phương án B.

Hàm số xác định khi và chỉ khi –x² + 2x + 3 ≥ 0.

Tam thức bậc hai f(x) = –x² + 2x + 3 có ∆’ = 1² – (–1).3 = 4 > 0.

Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-1+\sqrt{4}}{-1}=-1;x_2=\frac{-1-\sqrt{4}}{-1}=3.$

Ta lại có a = –1 < 0.

Do đó ta có:

⦁ f(x) dương trên khoảng (–1; 3);

⦁ f(x) âm trên hai khoảng (–∞; –1) và (3; +∞);

⦁ f(x) = 0 khi x = –1 hoặc x = 3.

Vì vậy bất phương trình –x² + 2x + 3 ≥ 0 có tập nghiệm là [–1; 3].

Khi đó hàm số đã cho có tập xác định là [–1; 3].

Ta chọn phương án C.

Hàm số xác định khi và chỉ khi –2x² + 8x – 12 > 0.

Tam thức bậc hai f(x) = –2x² + 8x – 12 có ∆’ = 4² – (–2).(–12) = –8 < 0.

Do đó f(x) vô nghiệm.

Ta lại có a = –2 < 0.

Vì vậy f(x) < 0, với mọi x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình –2x² + 8x – 12 > 0 có tập nghiệm là ∅.

Ta chọn phương án C.

Vì x = 6 là một nghiệm của bất phương trình (m – 2)x² + 2(2m – 3)x + 5m – 6 ≥ 0 nên ta có:

(m – 2).6² + 2(2m – 3).6 + 5m – 6 ≥ 0.

⇔ 36(m – 2) + 12(2m – 3) + 5m – 6 ≥ 0

⇔ 65m – 114 ≥ 0

$\iff m\ge \frac{114}{65}$

Vậy $m\ge \frac{114}{65}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án A.

Quan sát đồ thị, ta thấy f(x) ≥ 0 khi và chỉ khi x ≤ –1 hoặc x ≥ 5.

Vì vậy tập nghiệm của bất phương trình f(x) ≥ 0 là (–∞; –1] ∪ [5; +∞).

Ta chọn phương án C.

Ta có (2x – 5)(x + 2) ≥ x² – 4.

⇔ 2x² – x – 1$x_1=\frac{1-\sqrt{25}}{2}=-2;x_2=\frac{1+\sqrt{25}}{2}=3.$0 ≥ x² – 4.

⇔ x² – x – 6 ≥ 0.

Tam thức bậc hai f(x) = x² – x – 6 có ∆ = (–1)² – 4.1.(–6) = 25 > 0.

Suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{1-\sqrt{25}}{2}=-2;x_2=\frac{1+\sqrt{25}}{2}=3.$

Ta lại có a = 1 > 0.

Vì vậy:

⦁ f(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; –2) và (3; +∞);

⦁ f(x) âm với mọi x thuộc khoảng (–2; 3);

⦁ f(x) = 0 khi x = –2 hoặc x = 3.

Vậy bất phương trình x² – x – 6 ≥ 0 có tập nghiệm là (–∞; –2] ∪ [3; +∞).

Do đó ta chọn phương án D.

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ khi và chỉ khi (2 – 3m)x² + 2mx + m – 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Đặt f(x) = (2 – 3m)x² + 2mx + m – 1.

Trường hợp 1: a = 0 ⇔ 2 – 3m = 0 ⇔ m = $\frac{3}{2}$

Với $m=\frac{2}{3}$, ta có $0.x^2+2.\frac{2}{3}.x+\frac{2}{3}-1>0$

$\iff \frac{4}{3}x-\frac{1}{3}>0$$\iff x>\frac{1}{4}$.

Do đó $m=\frac{2}{3}$ không thỏa mãn.

Trường hợp 2: a ≠ 0.

Khi đó f(x) là tam thức bậc hai có:

∆’ = m² – (2 – 3m)(m – 1)

= m² – (–3m² + 5m – 2)

 = 4m² – 5m + 2.

Để f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ thì a > 0 và ∆ < 0.

$\iff \left\{\begin{array}{l}2-3m>0\\ 4m^2–5m+2<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<\frac{2}{3}\\ 4m^2–5m+2<0\end{array}\right.$ (1)

Ta giải bất phương trình 4m² – 5m + 2 < 0 như sau:

Tam thức bậc hai g(m) = 4m² – 5m + 2 có ∆ = (–5)² – 4.4.2 = –7 < 0.

Do đó g(m) vô nghiệm.

Ta lại có a_m = 4 > 0.

Vì vậy g(m) > 0, với mọi giá trị của m ∈ ℝ.

Do đó không có giá trị nào của m thỏa mãn g(m) = 4m² – 5m + 2 < 0.

Vì vậy không có giá trị nào của m để (1) thỏa mãn.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta thu được m ∈ ∅.

Vậy ta chọn phương án C.

Phương trình f(x) = (m² – m – 6)x² – 2(m + 2)x – 4 = 0.

+) Trường hợp 1: a = 0 ⇔ m² – m – 6 = 0

⇔ m = 3 hoặc m = –2.

• Với m = 3, ta có 0.x² – 2.(3 + 2)x – 4 = 0

⇔ –10x – 4 = 0 ⇔ x = $-\frac{2}{5}$.

Do đó m = 3 thỏa mãn.

• Với m = –2, ta có 0.x² – 2(–2 + 2)x – 4 = 0.

⇔ 0.x – 4 = 0 (vô nghiệm)

Do đó m = –2 không thỏa mãn.

+) Trường hợp 2: a ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 và m ≠ –2.

f(x) là tam thức bậc hai ẩn x có:

∆’ = (m + 2)² – (m² – m – 6).(–4)

= m² + 4m + 4 + 4m² – 4m – 24

= 5m² – 20

Phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0

⇔ 5m² – 20 ≥ 0

Tam thức bậc hai f(m) = 5m² – 20 có ∆ = 0² – 4.5.(–20) = 400 > 0.

Do đó f(m) có hai nghiệm phân biệt là: m₁ = –2, m₂ = 2.

Ta lại có a = 5 > 0.

Vì vậy:

⦁ f(m) dương với mọi m thuộc hai khoảng (–∞; –2) và (2; +∞);

⦁ f(m) âm với mọi m thuộc khoảng (–2; 2);

⦁ f(m) = 0 khi m = –2 hoặc m = 2.

Do đó bất phương trình 5m² – 20 ≥ 0 có tập nghiệm là (–∞; –2] ∪ [2; +∞).

So với điều kiện m ≠ 3 và m ≠ –2, ta nhận m ∈ (–∞; –2) ∪ [2; +∞) \ {3}.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta thu được m ∈ (–∞; –2) ∪ [2; +∞) \ {3}.

Vậy ta chọn phương án D.

Tam thức bậc hai I(x) = 200x² – 1400x + 2400 có:

∆’ = (–700)² – 200.2400 = 10 000 > 0.

Suy ra I(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-700+\sqrt{10000}}{-200}=3;x_2=\frac{-700-\sqrt{10000}}{-200}=4$

Ta lại có a = 200 > 0 và 0 ≤ x ≤ 5.

Vì vậy ta có bảng xét dấu sau:

Theo bảng xét dấu ta có:

⦁ I(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng [0; 3) và (4; 5];

⦁ I(x) âm với mọi x thuộc khoảng (3; 4);

⦁ I(x) = 0 khi x = 3 hoặc x = 4.

Do đó doanh nghiệp đó không có lãi khi và chỉ khi I(x) ≤ 0.

Tức là khi x ∈ [3; 4].

Hay ta có thể nói là khi cửa hàng giảm giá từ 3 đến 4 triệu đồng thì doanh nghiệp đó không có lãi.

Vậy ta chọn phương án B.

Gọi x (m) là chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật (x > 0).

Mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 150 m nên có nửa chu vi là 75 m.

Khi đó chiều rộng của mảnh đất là: 75 – x (m).

Do chiều dài luôn lớn hơn chiều rộng nên x > 75 – x hay x > 37,5.

Diện tích của mảnh đất là: x(75 – x) = –x² + 75x (m²).

Theo đề ta có diện tích của mảnh đất đó lớn hơn 650 m².

⇔ –x² + 75x > 650.

+) Xét tam thức bậc hai f(x) = –x² + 75x – 650 có:

∆ = 75² – 4.(–1).(–650) = 3025 > 0.

Suy ra f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-75+\sqrt{3025}}{2.\left(-1\right)}=10,x_2=\frac{-75-\sqrt{3025}}{2.\left(-1\right)}=65.$

Ta lại có a = –1 < 0 và x > 37,5 nên:

⦁ f(x) âm với mọi x thuộc hai khoảng (0; 37,5) và (65; +∞);

⦁ f(x) dương với mọi x thuộc khoảng (37,5; 65);

⦁ f(x) = 0 khi x = 37,5 hoặc x = 65.

Do đó bất phương trình –x² + 75x – 650 ≥ 0 có tập nghiệm là [37,5; 65].

Khi đó chiều dài của mảnh đất phải từ 37,5 m đến 65 m thì diện tích của mảnh đất đó lớn hơn 650 m².

Vậy ta chọn phương án D.