Phương trình (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = –6, b = 7, c = 4.

Suy ra tâm I(–6; 7).

Ta có R² = a² + b² – c = 36 + 49 – 4 = 81.

Vậy phương trìnhcủa đường tròn (C) là: (x + 6)² + (y – 7)² = 81.

Do đó ta chọn phương án B.

Phương trình trục Oy: x = 0.

Đường tròn (C) có tâm I(2; –3) và tiếp xúc với trục Oy nên có bán kính là:

R = d(I, Oy) = $\frac{\left(2\right)}{\sqrt{1^2+0^2}}=2$.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)² + (y + 3)² = 4.

Do đó ta chọn phương án C.

Phương trình đã cho có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = 3, b = –1, c = 6.

Suy ra tâm I(3; –1).

Ta có R² = a² + b² – c = 9 + 1 – 6 = 4.

Suy ra R = $\sqrt{4}$ = 2.

Vậy đường tròn (C) có tâm I(3; –1), bán kính R = 2.

Do đó ta chọn phương án C.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Vì M là trung điểm AB nên ta có $\left(\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{0+2}{2}=1\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{4+4}{2}=4\end{array}\right)$

Suy ra M(1; 4).

Tương tự, ta có N(3; 2).

Đường trung trực ∆₁ của đoạn thẳng AB đi qua điểm M(1; 4) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=\left(2;0\right)$.

Suy ra phương trình ∆₁ là: 2(x – 1) + 0(y – 4) = 0 ⇔ x – 1 = 0.

Tương tự, ta có phương trình đường trung trực ∆₂ của đoạn thẳng BC đi qua điểm N(3; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{BC}=\left(2;-4\right)$ là:

2(x – 3) – 4(y – 2) = 0 ⇔ x – 2y + 1 = 0.

Vì IA = IB = IC = R nên I cách đều ba điểm A, B, C.

Do đó I nằm trên đường trung trực ∆₁ và I cũng nằm trên đường trung trực ∆₂.

Hay I là giao điểm của ∆₁ và ∆₂.

Khi đó tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:

$\left(\begin{array}{c}x-1=0\\ x-2y+1=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=1\\ y=1\end{array}\right)$

Suy ra tọa độ tâm I(1; 1).

Vậy ta chọn phương án D.

Phương trình đường tròn có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 (điều kiện: a² + b² – c > 0).

•Ta thấy phương trình ở phương án A và C không có dạng như trên.

Nên ta loại phương án A, C.

•Ta xét phương án B:

Ta có a = 1, b = 4, c = 20.

Suy ra a² + b² – c = 1 + 16 – 20 = –3 < 0.

Do đó phương trình ở phương án B không phải là một phương trình đường tròn.

Vì vậy ta loại phương án B.

Đến đây ta có thể chọn phương án D.

•Ta xét phương án D:

Ta có a = 2, b = –3, c = –12.

Suy ra a² + b² – c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0.

Do đó phương trình ở phương án D là một phương trình đường tròn.

Vậy ta chọn phương án D.

Ta có 16x² + 16y² + 16x – 8y – 11 = 0.

Suy ra $x^2+y^2+x-\frac{1}{2}y-\frac{11}{16}=0$.

Phương trình (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với $a=-\frac{1}{2}$, $b=\frac{1}{4}$, $c=-\frac{11}{16}$.

Suy ra tâm $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right)$.

Ta có R² = a² + b² – c = $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{11}{16}=1$.

Suy ra R = $\sqrt{1}$ = 1.

Vậy đường tròn (C) có tâm $I\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right)$, bán kính R = 1.

Do đó ta chọn phương án D.

Giả sử I(a; b) ∈ ∆: 3x – y + 10 = 0.

Suy ra 3a – b + 10 = 0

⇔ b = 3a + 10.

Khi đó ta có I(a; 3a + 10)

Suy ra $\overrightarrow{IA}=\left(-1-a;2-3a-10\right)=\left(-1-a;-3a-8\right)$

Và $\overrightarrow{IB}=\left(-2-a;3-3a-10\right)=\left(-2-a;-3a-7\right)$

Ta có IA = IB (= R).

⇔ IA² = IB²

⇔ (–1 – a)² + (–3a – 8)² = (–2 – a)² + (–3a – 7)²

⇔ 1 + 2a + a² + 9a² + 48a + 64 = 4 + 4a + a² + 9a² + 42a + 49

⇔ 4a = –12

⇔ a = –3.

Với a = –3, ta có b = 3a + 10 = 3.(–3) + 10 = 1.

Suy raI(–3; 1).

Ta có R² = IA² = (–1 – a)² + (–3a – 8)² = [–1 – (–3)]² + [–3.(–3) – 8]² = 5.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x + 3)² + (y – 1)² = 5.

Do đó ta chọn phương án D.

Phương trình đã cho có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = m, b = 2(m – 2), c = 6 – m.

Ta có a² + b² – c = m² + 4(m² – 4m + 4) – 6 + m = 5m² – 15m + 10.

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn thì a² + b² – c > 0.

Nghĩa là 5m² – 15m + 10 > 0

⇔ m < 1 hoặc m > 2.

Vậy m ∈ (–∞; 1) ∪ (2; +∞) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Phương trình đã cho có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với $a=-\frac{5}{2}$, $b=-\frac{7}{2}$, c = –3.

Suy ra tâm $I\left(-\frac{5}{2};-\frac{7}{2}\right)$.

Trục Ox có phương trình là y = 0.

Ta có $d\left(I,\text{Ox}\right)=\frac{\left(-\frac{7}{2}\right)}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{7}{2}$.

Vậy ta chọn phương án C. 

Đường tròn (C) có tâm I(1; –3), bán kính R = $\sqrt{16}$ = 4.

Vậy ta chọn phương án B.

Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm.

Đường tròn (C) có tâm I(2; –4), bán kính R = 5.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_d=\left(3;-4\right)$.

Theo đề, ta có ∆ ⊥ d nên ∆ nhận vectơ pháp tuyến của d làm vectơ chỉ phương.

Do đó ∆ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}={\overrightarrow{n}}_d=\left(3;-4\right)$.

Khi đó ∆ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }=\left(4;3\right)$.

Vì vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng ∆: 4x + 3y + c = 0.

Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên d(I, ∆) = R.

$\iff \frac{\left(4.2+3.\left(-4\right)+c\right)}{\sqrt{4^2+3^2}}=5$

⇔ |c – 4| = 25

⇔ c – 4 = 25 hoặc c – 4 = –25

⇔ c = 29 hoặc c = –21.

Vậy ∆: 4x + 3y + 29 = 0 hoặc ∆: 4x + 3y – 21 = 0.

Do đó ta chọn phương án D.

Phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = m + 1, b = –2, c = –1.

Ta có R² = a² + b² – c = (m + 1)² + 4 + 1 = (m + 1)² + 5.

Đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi biểu thức (m + 1)² + 5 đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: (m + 1)² ≥ 0, ∀m ∈ ℝ.

⇔ (m + 1)² + 5 ≥ 5, ∀m ∈ ℝ.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức (m + 1)² + 5 là 5.

Dấu “=” xảy ra ⇔ m = –1.

Vậy m = –1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án B.

Ta viết phương trình d₁:

Ta có 3² + 2² – 2.3 – 4.2 + 1 = 0 (đúng).

Do đó điểm M ∈ (C).

Phương trình đường tròn (C) có dạng: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = 2, c = 1.

Suy ra tâm I(1; 2), bán kính R = $\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{1+4-1}=2$.

Phương trình d₁ là: (1 – 3)(x – 3) + (2 – 2)(y – 2) = 0

⇔ –2(x – 3) = 0 ⇔ x – 3 = 0.

Tương tự, ta viết phương trình d₂:

Ta có 1² + 0² – 2.1 – 4.0 + 1 = 0 (đúng).

Do đó N ∈ (C).

Phương trình d₂ là: (1 – 1)(x – 1) + (2 – 0)(y –0) = 0

⇔ y = 0.

Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂.

Suy ra tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:

$\left(\begin{array}{c}x-3=0\\ y=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=3\\ y=0\end{array}\right)$

Khi đó ta có tọa độ A(3; 0).

Vậy ta chọn phương án A.