⦁ Với mọi biến cố A, ta có 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Do đó phương án A, D đúng.

⦁ P(Ω) = 1 và P(∅) = 0.

Do đó phương án B đúng, phương án C sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Phương án A sai. Vì biến cố có khả năng xảy ra cao hơn sẽ có xác suất lớn hơn biến cố có khả năng xảy ra thấp hơn.

Phương án B sai. Vì biến cố có khả năng xảy ra càng cao thì xác suất của nó càng gần 1.

Phương án C sai. Vì biến cố có khả năng xảy ra càng thấp thì xác suất của nó càng gần 0.

Phương án D đúng theo Nguyên lí xác suất bé: Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra.

Vậy ta chọn phương án D.

Ta có biến cố “Không xảy ra D” là biến cố đối của biến cố D.

Vì vậy biến cố đối của biến cố D: “Hai viên bi cùng màu” là:

$\overline{D}$: “Hai viên bi khác màu”.

Vậy ta chọn phương án A.

Gọi biến cố A: “Học sinh chọn đúng một câu trả lời trắc nghiệm”.

Suy ra biến cố đối của biến cố A là: $\overline{A}$: “Chọn sai câu trả lời trắc nghiệm”.

Ta có $P\left(\overline{A}\right)+P\left(A\right)=1$, với mọi biến cố A.

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-\frac{5}{7}=\frac{2}{7}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Vì 0,8 > 0,7 nên xạ thủ 2 có khả năng bắn trúng bia thấp hơn xạ thủ 1.

Vậy ta chọn phương án B.

⦁ Xét phương án A: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Ta có biến cố A = {1} có biến cố đối là: $\overline{A}$ = {2; 3; 4; 5; 6} = B.

Do đó biến cố A và biến cố B đối nhau.

⦁ Xét phương án B: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Ta có biến cố C = {1; 4; 5} có biến cố đối là: $\overline{C}$ = {2; 3; 6} = D.

Do đó biến cố C và biến cố D đối nhau.

⦁ Xét phương án C: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Ta có biến cố E = {1; 4; 6} có biến cố đối là: $\overline{E}$ = {2; 3; 5} ≠ F.

Do đó biến cố E và biến cố F không đối nhau.

⦁ Xét phương án D: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Ta có biến cố đối của không gian mẫu Ω là ∅.

Do đó Ω và ∅ là hai biến cố đối nhau.

Vậy ta chọn phương án C.

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 6.6 = 36.

Gọi biến cố A: “Hiệu số chấm các mặt xuất hiện của hai xúc xắc bằng 2”.

Suy ra tập hợp biến cố A là:

A = {(1; 3), (3; 1), (2; 4), (4; 2), (3; 5), (5; 3), (4; 6), (6; 4)}.

Do đó n(A) = 8.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$.

Ta chọn phương án C.

+) Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau là $\overline{abcd}$.

Có tất có 10 chữ số là {0; 1; 2; …; 9}.

• Chọn a có 9 cách chọn từ các chữ số trong {1; 2; …; 8; 9}.

• Chọn 3 chữ số còn lại trong 9 chữ số và xếp vào 3 vị trí b, c, d có $A_9^3$ cách.

Do đó chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau (có quan tâm đến thứ tự) thì có $9.A_9^3$ = 4 536 cách chọn.

Tức là ta có số phần tử của không gian mẫu n(Ω) = 4 536.

+) Số tự nhiên được chọn gồm 4 số 3; 4; 5; 6.

• Chọn a có 4 cách chọn từ các chữ số trong {3; 4; 5; 6}.

• Chọn b có 3 cách chọn một chữ số từ ba chữ số còn lại sau khi chọn a.

• Chọn c có 2 cách chọn một chữ số từ ba chữ số còn lại sau khi chọn a, b.

• Chọn d có 1 cách chọn một chữ số còn lại sau khi chọn a, b, c.

Số phần tử của A là: n(A) = 4.3.2 = 24.

Hoặc ta cũng có thể tính n(A) như sau:

Chọn 4 chữ số trong tập hợp các chữ số {3; 4; 5; 6} và xếp vào 4 vị trí a, b, c, d sẽ có 4! = 24 cách.

Xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{24}{4536}=\frac{1}{189}$.

Vậy ta chọn phương án A.

Gọi biến cố A: “Có ít nhất 2 lần lấy viên bi cùng màu ”.

Ta kí hiệu X, Đ, T lần lượt để chỉ các viên bi màu xanh, màu đỏ, màu trắng.

Các kết quả có thể xảy ra trong 3 lần lấy ngẫu nhiên một viên bi được thể hiện ở sơ đồ hình cây sau:

Quan sát sơ đồ hình cây, ta thấy có tổng cộng là 27 kết quả. Tức là, n(Ω) = 27.

Trong đó có 21 kết quả thuận lợi cho biến cố A. Tức là, n(A) = 21.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{21}{27}=\frac{3}{4}$.

Ta chọn phương án D.

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 5! = 120.

Gọi biến cố A: “Số tìm được không có dạng $\overline{135xy}$ ”.

Suy ra biến cố đối của biến cố A là: $\overline{A}$: “Số tìm được có dạng $\overline{135xy}$”.

⦁ x có 2 cách chọn là x = 7 hoặc x = 9.

⦁ y có 1 cách chọn.

Theo quy tắc đếm, ta có $n\left(\overline{A}\right)$ = 1.1.1.2.1 = 2 cách chọn.

Vì vậy xác suất của biến cố $\overline{A}$ là: $P\left(\overline{A}\right)=\frac{n\left(\overline{A}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{2}{120}=\frac{1}{60}$.

Ta có $P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right)=1$.

Suy ra $P\left(A\right)=1-P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{1}{60}=\frac{59}{60}$.

Vậy ta chọn phương án C.

Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh trong số 30 học sinh tham dự đại hội thì có $C_{30}^3=4060$ cách chọn. Do đó n(Ω) = 4060.

Gọi biến cố C: “Trong 3 học sinh được chọn không có học sinh trung bình”.

Tức là ta chỉ chọn ngẫu nhiên 3 học sinh là học sinh khá, giỏi.

Có tất cả 8 + 15 = 23 (học sinh khá, giỏi).

Vì vậy ta có n(C) = $C_{23}^3=1771$.

Vậy xác suất của biến cố C là: $P\left(C\right)=\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1771}{4060}=\frac{253}{580}$.

Ta chọn phương án D.

Lớp học có tất cả 20 + 15 = 35 học sinh.

Giáo viên chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong số 35 học sinh của lớp và không tính đến thứ tự thì có $C_{35}^4=52360$ cách chọn.

Tức là n(Ω) = 52 360.

Gọi biến cố H: “Trong 4 học sinh được chọn có cả nam và nữ”.

Khi đó biến cố đối của biến cố H là: $\overline{H}$: “4 học sinh được chọn chỉ có nam hoặc chỉ có nữ”.

Số cách chọn ngẫu nhiên 4 học sinh nam và không tính đến thứ tự là: $C_{20}^4=4845$.

Số cách chọn ngẫu nhiên 4 học sinh nữ và không tính đến thứ tự là: $C_{15}^4=1365$.

Vì vậy n($\overline{H}$) = 4 845 + 1 365 = 6 210.

Khi đó xác suất của biến cố $\overline{H}$ là: $P\left(\overline{H}\right)=\frac{n\left(\overline{H}\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{6210}{52360}=\frac{621}{5236}$.

Ta có $P\left(H\right)+P\left(\overline{H}\right)=1$.

Suy ra $P\left(H\right)=1-P\left(\overline{H}\right)=1-\frac{621}{5236}=\frac{4615}{5236}$.

Vậy ta chọn phương án B.

Một tổ có 9 học sinh được xếp thành hàng dọc.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 9!.

Gọi biến cố A: “5 học sinh nam đứng kề nhau”.

• Xếp 5 học sinh nam đứng kề nhau thì sẽ có 5! cách xếp.

• Sau đó ta coi 5 học sinh nam là 1 “người A”, rồi xếp “người A” cùng với 4 bạn nữ kia, tức là xếp 5 người, ta lại có 5! cách xếp.

Vì vậy n(A) = 5!.5!.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{5!.5!}{9!}=\frac{5}{126}$.

Ta chọn phương án A.

⦁ Ta tìm số phần tử của không gian mẫu:

Giai đoạn 1: Chọn 1 tấm thẻ trong số 5 tấm thẻ ở hộp thứ nhất, ta có $C_5^1$ cách chọn.

Giai đoạn 2: Chọn 1 tấm thẻ trong số 5 tấm thẻ ở hộp thứ hai, ta có $C_5^1$ cách chọn.

Giai đoạn 3: Chọn 1 tấm thẻ trong số 5 tấm thẻ ở hộp thứ ba, ta có $C_5^1$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả $C_5^1.C_5^1.C_5^1=125$ cách chọn.

Do đó n(Ω) = 125.

⦁ Tính số phần tử của biến cố theo yêu cầu bài toán:

Gọi A: “Kết quả thu được là số chẵn”.

Trường hợp 1: 2 thẻ là số lẻ (trong {1; 3; 5}) và 1 thẻ là số chẵn (trong {2; 4}).

Khi đó ta có $C_3^1.C_3^1.C_2^1=18$ cách chọn.

Trường hợp 2: Cả 3 thẻ đều là số chẵn.

Khi đó ta có $C_2^1.C_2^1.C_2^1=8$ cách chọn.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta được n(A) = 18 + 8 = 26.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{26}{125}$.

Ta chọn phương án D.

Không gian mẫu của phép thử trên là số cách xếp 4 hành khách lên 4 toa tàu.

Vì chọn mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên ta có 4⁴ cách xếp.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 4⁴.

Gọi biến cố A: “1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại không có ai”.

Để tìm số phần tử của biến cố A, ta chia thành hai giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Chọn 3 hành khách trong số 4 hành khách và chọn 1 toa trong số 4 toa.

Sau đó xếp lên toa đó 3 hành khách vừa chọn.

Khi đó ta có $C_4^3.C_4^1$ cách.

Giai đoạn 2: Chọn 1 toa trong số 3 toa còn lại và xếp 1 hành khách còn lại lên toa đó.

Suy ra có $C_3^1$ cách. Hiển nhiên khi đó 2 toa còn lại sẽ không có hành khách nào.

Theo quy tắc nhân, ta có n(A) = $C_4^3.C_4^1.C_3^1$.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_4^3.C_4^1.C_3^1}{4^4}=\frac{3}{16}$.

Ta chọn phương án B.

Chọn ngẫu nhiên 3 câu hỏi trong số 30 câu hỏi trong đề cương để làm đề thi (không tính đến thứ tự) thì có $C_{30}^3=4060$ cách chọn.

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 4 060.

Gọi biến cố M: “Có ít nhất 2 câu hỏi của đề thi cuối năm nằm trong số 20 câu hỏi đã ôn”.

Ta thấy sẽ xảy ra một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Trong đề thi có đúng 2 câu hỏi trong số 20 câu học sinh đã ôn.

Chọn ngẫu nhiên 2 câu hỏi trong số 20 câu đã ôn (không tính đến thứ tự) thì có $C_{20}^3$ cách chọn.

Chọn ngẫu nhiên 1 câu hỏi còn lại trong 10 câu chưa ôn thì có $C_{20}^2$ cách chọn.

Suy ra trường hợp 1 có $C_{20}^2.C_{10}^1$ cách chọn.

Trường hợp 2: Trong đề thi có cả 3 câu hỏi trong số 20 học sinh đã ôn.

Chọn ngẫu nhiên 3 câu hỏi trong số 20 câu đã ôn (không tính đến thứ tự) thì có $C_{20}^3$ cách chọn.

Kết hợp cả hai trường hợp trên, ta có $n\left(A\right)=C_{20}^2.C_{10}^1+C_{20}^3=3040$.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{3040}{4060}=\frac{152}{203}$.

Ta chọn phương án A.

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 6.

Gọi K: “Phương trình x² + bx + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt”.

Ta có ∆ = b² – 8.

Phương trình x² + bx + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ∆ > 0

⇔ b² – 8 > 0

$\iff \left[\begin{array}{l}b<-2\sqrt{2}\\ b>2\sqrt{2}\end{array}\right.$

Lại có xúc xắc xuất hiện mặt b chấm nên b ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Do đó ta nhận b ∈ {3; 4; 5; 6}.

Suy ra n(K) = 4.

Vậy xác suất của biến cố K là: $P\left(K\right)=\frac{n\left(K\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Ta chọn phương án A.

Ta có Ω = {(x; y) | x, y ∈ ℤ; –2 ≤ x ≤ 4 và 0 ≤ y ≤ 2}.

Khi đó x ∈ {–2; –1; 0; 1; 2; 3; 4} và y ∈ {0; 1; 2}.

Chọn 1 hoành độ có 7 cách chọn và chọn 1 tung độ có 3 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân, ta suy ra n(Ω) = 7.3 = 21 (mỗi điểm là một giao điểm trên hình).

Ta có A: “x, y đều chia hết cho 2”.

Suy ra A = {(x; y) | x ∈ {–2; 0; 2; 4} và y ∈ {0; 2}}.

Chọn 1 hoành độ (chia hết cho 2) có 4 cách chọn và chọn 1 tung độ (chia hết cho 2) thì có 2 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có n(A) = 4.2 = 8.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{8}{21}$.

Ta chọn phương án D.