Mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố.

Không gian mẫu của phép thử trên là: Ω = {mèo, chó, chim, cá}.

Ta thấy các tập hợp H, I, K đều là tập con của tập hợp Ω và tập hợp J không phải là tập con của tập hợp Ω do có phần tử thỏ không thuộc không gian mẫu Ω = {mèo, chó, chim, cá}.

Do đó phương án A, B, D đúng, phương án C sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Khi tung một đồng xu, ta có không gian mẫu là: Ω = {S; N}.

Do đó khi ta tung ba đồng xu phân biệt cùng một lúc thì không gian mẫu sẽ là:

Ω = {SSS; SSN; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN}.

Vì vậy số phần tử của không gian mẫu là: 8 (phần tử).

Vậy ta chọn phương án C.

Trong các số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có 3 số chẵn là các số 2; 4; 6.

Do đó tập hợp mô tả biến cố A là: A = {2; 4; 6}.

Như vậy có ba kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Vậy ta chọn phương án A.

Kết quả của biến cố M là một cặp số (i; j), trong đó i và j lần lượt là số chấm xuất hiện trên xúc xắc sau lần gieo thứ nhất và lần gieo thứ hai thỏa mãn i + j = 9.

Ta có 6 + 3 = 9 và 5 + 4 = 9.

Do gieo xúc xắc hai lần nên ta cần xét đến thứ tự gieo. Nếu lần đầu gieo được mặt 6 chấm, lần sau gieo được mặt 3 chấm thì ta sẽ kí hiệu kết quả của biến cố M là cặp (6; 3).

Khi đó tập hợp mô tả biến cố M là: M = {(6; 3); (3; 6); (5; 4); (4; 5)}.

Vậy ta chọn phương án B.

Gọi X: “Số được chọn là số chia hết cho 5”.

Số có hai chữ số nhỏ hơn 40 và chia hết cho 5 là các số: 10; 15; 20; 25; 30; 35.

Do đó tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố trên là: X = {10; 15; 20; 25; 30; 35}.

Vậy ta chọn phương án A.

⦁ Ta có thể rút được hai thẻ có số ghi trên hai thẻ đó lần lượt là 2 và 4 (đều là số chẵn). Do đó biến cố M có thể xảy ra.

⦁ Ta có thể rút được hai thẻ trong đó một thẻ ghi số 3 (là số chia hết cho 3). Do đó biến cố N có thể xảy ra.

⦁ Ta có thể rút được hai thẻ có số ghi trên hai thẻ đó lần lượt là 9 và 8 (tổng hai số 9 và 8 bằng 17). Do đó biến cố P có thể xảy ra.

⦁ Ta thấy trong các số từ 1 đến 9, chỉ có số 5 chia hết cho 5.

Do đó ta không thể rút được cả hai thẻ đều ghi số 5 được.

Vì vậy biến cố Q là biến cố không thể.

Vậy ta chọn phương án D.

⦁ Ta thấy mỗi thẻ đều được đánh số từ 1 đến 5, đây là các số đều lớn hơn hoặc bằng 1.

Do đó khi tính tổng các số ghi trên cả ba tấm thẻ, ta sẽ được tổng các số đó đều lớn hơn hoặc bằng 3.

Vì vậy biến cố X là biến cố chắc chắn.

⦁ Ta có thể rút được 3 thẻ đều được ghi số 1.

Khi đó tổng các số ghi trên cả ba tấm thẻ là bằng 3 < 4 và 3 ≠ 8.

Do đó biến cố Y và biến cố Z không phải là biến cố chắc chắn.

⦁ Trong các số từ 1 đến 5, ta thấy số 5 lớn nhất.

Giả sử ba tấm thẻ được rút ra đều được ghi số 5.

Khi đó tổng ba số là 15.

Vì vậy không có 3 thẻ nào có tổng các số ghi trên thẻ cộng lại lớn hơn 15.

Do đó biến cố T là biến cố không thể.

Vậy ta chọn phương án A.

Khi xếp 5 người vào một bàn dài có năm chỗ ngồi, ta có số cách xếp là: 5! = 120 (cách xếp).

Do đó số phần tử của không gian mẫu là: 120.

Vậy ta chọn phương án B.

Vì lá thư thứ nhất đúng người nhận nên có 1 cách chọn.

Lá thư thứ hai có 4 cách chọn.

Lá thư thứ ba có 3 cách chọn.

Lá thứ thứ tư có 2 cách chọn.

Lá thư thứ năm có 1 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có tổng cộng 1.4.3.2.1 = 24 cách chọn sao cho lá thư thứ nhất đúng người nhận.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố M là 24.

Cách 1:

Trường hợp 1: Lấy 6 sản phẩm từ lô hàng và không có phế phẩm nào.

Chọn 6 sản phẩm trong đó không có phế phẩm tức là 6 chính phẩm trong 8 chính phẩm của lô hàng và không tính đến thứ tự có $C_8^6$ (cách chọn).

Trường hợp 2: Lấy 6 sản phẩm từ lô hàng và có 1 phế phẩm.

⦁ Số cách chọn 1 phế phẩm trong 2 phế phẩm là: $C_2^1$ (cách chọn).

⦁ Số cách chọn 5 sản phẩm còn lại trong 8 chính phẩm của lô hàng và không tính đến thứ tự là: $C_8^5$ (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả $C_2^1.C_8^5$ cách chọn 6 sản phẩm từ lô hàng, trong đó có 1 phế phẩm.

Trong cả hai trường hợp, ta có số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

$C_8^6+C_2^1.C_8^5=140$.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 140.

Do đó ta chọn phương án C.

Cách 2:

Lấy 6 sản phẩm từ lô hàng có 10 sản phẩm nên tổng số kết quả có thể xảy ra là $C_{10}^6$.

Xét biến cố B: “Lấy 6 sản phẩm từ lô hàng và có 2 phế phẩm”.

• Số cách chọn 2 phế phẩm trong 2 phế phẩm là: $C_2^2$ (cách chọn).

⦁ Số cách chọn 4 sản phẩm còn lại trong lô hàng và không tính đến thứ tự là: $C_8^4$ (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả $C_2^2.C_8^4$ cách chọn 6 sản phẩm từ lô hàng, trong đó có 2 phế phẩm.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là $C_2^2.C_8^4$.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $C_{10}^6-C_2^2.C_8^4=140$.

⦁ Trong 30 tấm thẻ, ta có các tấm thẻ đánh số 10; 20; 30 là các tấm thẻ có số ghi chia hết cho 10.

Chọn 1 tấm thẻ trong 3 tấm thẻ trên có $C_3^1$ (cách chọn).

⦁ Trong 30 tấm thẻ, ta có 15 tấm thẻ ghi số chẵn.

Tuy nhiên, vì tấm thẻ ghi số chia hết cho 10 chắc chắn là số chẵn, nên ta sẽ chọn thêm 4 tấm thẻ ghi số chẵn trong số 14 tấm thẻ ghi số chẵn còn lại (trừ đi 1 tấm thẻ chia hết cho 10 được chọn) để được 5 tấm thẻ ghi số chẵn.

Chọn 4 tấm thẻ trong 14 tấm thẻ ghi số chẵn có: $C_{14}^4$ (cách chọn).

⦁ Trong 30 tấm thẻ, ta có 15 tấm thẻ ghi số lẻ.

Chọn 5 tấm thẻ ghi số lẻ trong 15 tấm thẻ ghi số lẻ và không tính đến thứ tự thì có: $C_{15}^5$ (cách chọn)

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả $C_{15}^5.C_3^1.C_{14}^4$ cách chọn 10 tấm thẻ, trong đó có 5 tấm thẻ ghi số chẵn, 5 tấm thẻ ghi số lẻ và có đúng 1 tấm thẻ ghi số chia hết cho 10 trong số 30 tấm thẻ.

Do đó số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $C_{15}^5.C_3^1.C_{14}^4=9018009$.

Vậy ta chọn phương án A.

Xét biến cố A: “Mai và Đức cùng một nhóm”, ta mô tả các khả năng thuận lợi cho biến cố A như sau:

Trường hợp 1:

• Mai và Đức cùng với 1 bạn nam và 1 bạn nữ thành một nhóm nên có duy nhất 1 cách chọn Mai và Đức và có $C_3^1.C_7^1$ cách chọn 1 bạn nam (trong 7 bạn nam còn lại) và 1 bạn nữ (trong 3 bạn nữ còn lại).

• Nhóm thứ hai có 3 bạn nam (trong 6 bạn nam còn lại) và 1 bạn nữ (trong 2 bạn nữ còn lại) nên có $C_6^3.C_2^1$ cách.

• Cuối cùng còn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba.

Do đó trong trường hợp này có $1.C_3^1.C_7^1.C_6^3.C_2^1.1=840$ cách.

Trường hợp 2:

• Mai và Đức cùng với 2 bạn nam thành một nhóm nên có duy nhất 1 cách chọn Mai và Đức và có $C_7^2$ cách chọn 2 bạn nam trong 7 bạn nam còn lại.

• Nhóm thứ hai có 2 bạn nam (trong 5 bạn nam còn lại) và 1 bạn nữ (trong 3 bạn nữ còn lại) nên có $C_5^2.C_3^1$ cách.

• Cuối cùng còn lại 2 bạn nam và 2 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba.

Do đó trong trường hợp này có $1.C_7^2.C_5^2.C_3^1.1=630$ cách.

Trường hợp 3:

• Mai và Đức cùng với 2 bạn nam thành một nhóm.

• Nhóm thứ hai có 2 bạn nam và 2 bạn nữ.

• Suy ra nhóm thứ ba có 3 bạn nam và 1 bạn nữ.

Trường hợp này trùng với trường hợp thứ hai nên ta không tính.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 840 + 630 = 1 470.

Chọn vị trí chẵn hoặc lẻ để xếp 5 nam: có 2 cách.

Ta xét trường hợp 5 nam ở vị trí chẵn (tương tự cho vị trí lẻ):

• Khả năng 1: Bình đứng ngoài cùng: có 1 cách.

Xếp Phương không cạnh Bình: có 4 cách.

Đổi vị trí các bạn nam: có 4! cách;

Đổi vị trí các bạn nữ: 4! cách.

Do đó trong khả năng này có 2.1.4.4!.4! = 4 608 cách.

• Khả năng 2: Bình không đứng ngoài cùng: có 4 cách.

Xếp Phương không cạnh Bình (bỏ 2 vị trí cạnh Bình): có 3 cách.

Đổi vị trí các bạn nam: có 4! cách;

Đổi vị trí các bạn nữ: có 4! cách.

Do đó trong khả năng này có 2.4.3.4!4! = 13 824 cách.

Khi đó có 4 608 + 13 824 = 18 432 cách.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 18 432.