Tam thức bậc hai có dạng f(x) = ax² + bx + c, với a ≠ 0.

Ta thấy chỉ có đa thức ở phương án B có dạng f(x) = ax² + bx + c với a = –1, b = 2 và c = –10.

Vậy ta chọn phương án B.

Tam thức bậc hai f(x) = –x² – 4x – 6 có dạng f(x) = ax² + bx + c, với a = –1, b = –4, c = –6.

Biệt thức của f(x): ∆ = b² – 4ac = (–4)² – 4.(–1).(–6) = –8.

Biệt thức thu gọn của f(x): ∆’ = ${\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac={\left(\frac{-4}{2}\right)}^2-\left(-1\right).\left(-6\right)=-2$.

Vậy ∆ = –8 và ∆’ = –2.

Do đó ta chọn phương án D.

Tam thức bậc hai f(x) = –2x² + 4x – 2 có ∆ = 4² – 4.(–2).(–2) = 0.

Do đó f(x) có nghiệm kép $x=-\frac{4}{2.\left(-2\right)}=1$.

Vậy f(x) có nghiệm là x = 1.

Do đó ta chọn phương án A.

Ta có đa thức f(x) = (3m – 2)x² – 2(3m – 2)x + 3(2m + 1) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi a ≠ 0.

Nghĩa là, 3m – 2 ≠ 0.

Suy ra $m\ne \frac{2}{3}$.

Vậy ta chọn phương án B.

Ta có f(x) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ khi và chỉ khi a < 0 và ∆ ≤ 0.

Ta chọn phương án A.

Ta có f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi giá trị của x khi ∆ < 0.

Do đó ta chọn phương án A.

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), ta có:

⦁ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị x.

Do đó phương án B, D đều sai.

⦁ Nếu ∆ = 0 và $x_0=-\frac{b}{2a}$ là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ≠ x₀.

Do đó phương án C đúng.

⦁ Nếu ∆ > 0 và x₁, x₂ là hai nghiệm của f(x) (x₁ < x₂) thì f(x) trái dấu với a với mọi x trong khoảng (x₁; x₂); f(x) cùng dấu với a với mọi x thuộc hai khoảng (–∞; x₁); (x₂; +∞).

Do đó phương án A sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Ta có:

⦁ f(1) = 1² – 10.1 + 2 = –7 < 0.

Do đó phương án B, D sai.

⦁ f(–2) = (–2)² – 10.(–2) + 2 = 26 > 0.

Do đó phương án C đúng, phương án A sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Tam thức bậc hai f(x) = –2x² + 8x – 8 có ∆ = 8² – 4.(–2).(–8) = 0.

Suy ra f(x) có nghiệm kép $x=-\frac{8}{2.\left(-2\right)}=2$.

Ta có a = –2 < 0.

Do đó f(x) < 0 với mọi x ≠ 2

Hay f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó ta chọn phương án C.

Tam thức bậc hai f(x) = x² – 8x + 16 có ∆ = (–8)² – 4.1.16 = 0.

Do đó f(x) có nghiệm kép $x=-\frac{-8}{2.1}=4$.

Khi đó phương án A sai.

Ta có a = 1 > 0.

Vì vậy f(x) > 0 với mọi x ≠ 4 hay f(x) ≥ 0, với mọi x ∈ ℝ.

Do đó phương án B và D sai; phương án C đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Tam thức bậc hai f(x) = x² + 1 có ∆ = 0² – 4.1.1 = –4 < 0.

Suy ra f(x) vô nghiệm.

Ta có a = 1 > 0.

Vậy f(x) > 0, ∀x ∈ ℝ hay f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; +∞).

Ta chọn phương án A.

Quan sát đồ thị, ta thấy:

⦁ Đồ thị y = f(x) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x₁ = 1; x₂ = 4.

Suy ra f(x) có 2 nghiệm phân biệt x₁ = 1; x₂ = 4.

Do đó ∆ > 0.

⦁ Trên khoảng (–∞; 1) và (4; +∞), ta có f(x) > 0. Suy ra a > 0.

Vậy ta có a > 0, ∆ > 0.

Ta chọn phương án A.

Tam thức f(x) luôn dương với mọi giá trị của x khi và chỉ khi a > 0 và ∆ < 0.

⦁ Xét phương án A: f(x) = x² – 10x + 2.

Ta có a = 1 > 0 và ∆ = (–10)² – 4.1.2 = 92 > 0.

Do đó ta loại phương án A.

⦁ Xét phương án B: f(x) = x² – 2x + 1.

Ta có a = 1 > 0 và ∆ = (–2)² – 4.1.1 = 0.

Do đó ta loại phương án B.

⦁ Xét phương án C: f(x) = x² – 2x + 10.

Ta có a = 1 > 0 và ∆ = (–2)² – 4.1.10 = –36 < 0.

Do đó ta nhận phương án C.

⦁ Xét phương án D: f(x) = –x² + 2x + 10.

Ta có a = –1 < 0.

Do đó ta loại phương án D.

Vậy ta chọn phương án C.

Xét f(x) = (m – 3)x² + (m + 3)x – (m + 1).

Ta có:

∆ = (m + 3)² – 4.(m – 3).[–(m + 1)]

= m² + 6m + 9 + 4.(m – 3)(m + 1)

= m² + 6m + 9 + 4(m² – 2m – 3)

= 5m² – 2m – 3.

Ta có f(x) là một tam thức bậc hai và có nghiệm kép khi và chỉ khi a ≠ 0 và ∆ = 0.

$\iff \left\{\begin{array}{l}m–3\ne 0\\ 5m^2–2m–3=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 3\\ \left(m-1\right)\left(5m+3\right)=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 3\\ \left[\begin{array}{l}m-1=0\\ 5m+3=0\end{array}\right.\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 3\\ \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{3}{5}\end{array}\right.\end{array}\right.$$\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{3}{5}\end{array}\right.$

Vậy ta chọn phương án D.

Xét f(x) = x² + 2(m – 1)x + m² – 3m + 4.

Ta có:

∆’ = (m – 1)² – 1.(m² – 3m + 4)

= m² – 2m + 1 – m² + 3m – 4

= m – 3.

Yêu cầu bài toán ⇔ Tìm m để f(x) ≥ 0 với mọi giá trị của x.

Ta có f(x) ≥ 0, với mọi giá trị của x.

⇔ a > 0 và ∆’ ≤ 0.

⇔ 1 > 0 (luôn đúng) và m – 3 ≤ 0.

⇔ m ≤ 3.

Vậy m ≤ 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án D.

Nếu m = 0 ta có f(x) = –1 < 0 khi đó f(x) ≥ 0 vô nghiệm.

Do đó m = 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Nếu m ≠ 0 thì f(x) = mx² – 2mx + m – 1 là tam thức bậc hai.

Ta có:

∆’ = (–m)² – m.(m – 1)

= m² – m² + m

= m.

Ta có f(x) ≥ 0 vô nghiệm. Nghĩa là, f(x) < 0, với mọi giá trị của x.

⇔ a < 0 và ∆’ < 0

⇔ m < 0 và m < 0

⇔ m < 0.

Vậy m ≤ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án A.

Xét f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0):

⦁ Ta có đồ thị đi qua điểm (0; 1) nên f(0) = 1.

Khi đó a.0² + b.0 + c = 1.

Vì vậy c = 1.

⦁ Ta có đồ thị đi qua điểm (1; –2) nên f(1) = –2.

Khi đó a.1² + b.1 + c = –2.

Vì vậy a + b + c = –2  (1)

Thế c = 1 vào (1) ta được a + b + 1 = –2.

Do đó a = –b – 3.

⦁ Ta có đồ thị đi qua điểm (3; 5) nên f(3) = 5.

Khi đó a.3² + b.3 + c = 5.

Vì vậy 9a + 3b + c = 5  (2)

Thế c = 1 và a = –b – 3 vào (2) ta được 9(–b – 3) + 3b + 1 = 0.

Suy ra –9b – 27 + 3b + 1 = 0.

Do đó –6b – 26 = 0.

Vì vậy $b=-\frac{13}{3}$.

Với $b=-\frac{13}{3}$, ta có a = –b – 3 = $\frac{13}{3}-3=\frac{4}{3}$ > 0.

Vậy ta có tam thức bậc hai $f\left(x\right)=\frac{4}{3}{x}^2-\frac{13}{3}x+1$.

Ta có ∆ = ${\left(-\frac{13}{3}\right)}^2-4.\frac{4}{3}.1=\frac{121}{9}$ > 0.

Suy ra f(x) có 2 nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{\frac{13}{3}+\sqrt{\frac{121}{9}}}{2.\frac{4}{3}}=3;x_2=\frac{\frac{13}{3}-\sqrt{\frac{121}{9}}}{2.\frac{4}{3}}=\frac{1}{4}$

Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:

Vậy f(x) âm trong khoảng $\left(\frac{1}{4};3\right)$ và f(x) dương trong hai khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{4}\right)$ và (3; +∞).

Ta chọn phương án A.

f(x) = mx² + 2(m + 1)x + m – 2 là tam thức bậc hai ⇔ a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.

Ta có:

∆’ = (m + 1)² – m(m – 2)

= m² + 2m + 1 – m² + 2m

= 4m + 1.

Trường hợp 1: a > 0 ⇔ m > 0.

Khi đó f(x) > 0 có nghiệm với mọi x.

Do đó m > 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2: a < 0 ⇔ m < 0.

Khi đó để f(x) > 0 có nghiệm thì ∆ > 0.

⇔ 4m + 1 > 0.

⇔ $m>-\frac{1}{4}$.

Kết hợp m < 0 ta có $-\frac{1}{4}< m < 0$

Kết hợp cả 2 trường hợp, ta thu được kết quả m ∈ $\left(-\frac{1}{4};+\infty \right)\backslash \left\{0\right\}$.

Vậy m ∈ $\left(-\frac{1}{4};+\infty \right)\backslash \left\{0\right\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án C.