Vì ∆ ⊥ d nên ∆ nhận vectơ chỉ phương của d là một vectơ pháp tuyến.

Suy ra ∆ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{\Delta }=\overrightarrow{u}=\left(3;-4\right)$.

Vậy ta chọn phương án D.

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-\frac{1}{2};3\right)$.

Các vectơ chỉ phương còn lại của đường thẳng ∆ sẽ cùng phương với $\overrightarrow{u}$.

•Ở phương án A, ta có $\frac{-\frac{1}{2}}{-1}=\frac{3}{6}$ nên ${\overrightarrow{u}}_1$ cùng phương với $\overrightarrow{u}$.

Do đó ${\overrightarrow{u}}_1$ cũng là một vectơ chỉ phương của ∆.

•Ở phương án B, ta có $\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\ne \frac{3}{6}$ nên ${\overrightarrow{u}}_2$ không cùng phương với $\overrightarrow{u}$.

Do đó ${\overrightarrow{u}}_2$ không là một vectơ chỉ phương của ∆.

•Tương tự, ta có ${\overrightarrow{u}}_3,{\overrightarrow{u}}_4$ không là vectơ chỉ phương của ∆.

Vậy ta chọn phương án A.

Với A(4; 0), B(0; 5) ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(-4;5\right)$ .

• Đường thẳng AB là đường thẳng đi qua hai điểm A và B, do đó nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-4;5\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{n}=\left(5;4\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng AB đi qua điểm A(4; 0), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(5;4\right)$ nên có phương trình tổng quát là: 5(x – 4) + 4(y – 0) = 0

⇔ 5x + 4y – 20 = 0 ⇔ 4y = –5x + 20 ⇔ $y=-\frac{5}{4}x+5$.

Do đó phương trình ở phương án A không phải phương trình AB.

Đến đây ta có thể chọn phương án A.

• Đường thẳng AB đi qua hai điểm A(4; 0), B(0; 5) nên có phương trình đoạn chắn của là: $\frac{x}{4}+\frac{y}{5}=1$.

Do đó phương án B đúng.

•Phương trình đường thẳng AB đi qua hai điểm A(4; 0), B(0; 5) là:

$\frac{x-4}{0-4}=\frac{y-0}{5-0}\iff \frac{x-5}{-4}=\frac{y}{5}$.

Do đó phương án C đúng.

• Đường thẳng AB đi qua điểm A(4; 0), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=\left(-4;5\right)$ nên có phương trình tham số là:

$\left(\begin{array}{c}x=4-4t\\ y=5t\end{array}\right)\left(t\in ℝ\right)$.

Do đó phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án A.

Đường thẳng (d): $\left(\begin{array}{c}x=1-2t\\ y=-3+5t\end{array}\right)$

(d) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-2;5\right)$.

Suy ra (d) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(5;2\right)$.

(d) đi qua A(1; –3), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(5;2\right)$ nên có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 2(y + 3) = 0

⇔ 5x + 2y + 1 = 0.

Ta có M là giao điểm của (d) và (d’) nên tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:

$\left(\begin{array}{c}5x_M+2y_M+1=0\\ 3x_M-2y_M-1=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}{x}_M=0\\ y_M=-\frac{1}{2}\end{array}\right)$

Khi đó ta có $M\left(0;-\frac{1}{2}\right)$.

Vậy ta chọn phương án B.

Hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(11;-12\right)$, ${\overrightarrow{n}}_2=\left(12;11\right)$.

Ta có ${\overrightarrow{n}}_1.{\overrightarrow{n}}_2=11.12+\left(-12\right).11=0$.

Suy ra ${\overrightarrow{n}}_1\perp {\overrightarrow{n}}_2$.

Khi đó ta có ∆₁ ⊥ ∆₂.

Vậy ta chọn phương án C.

Vì AH là đường cao của ∆ABC nên AH ⊥ BC.

Suy ra $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$.

Do đó đường thẳng AH nhận $\overrightarrow{BC}$ làm vectơ pháp tuyến.

Với B(4; 5), C(–3; 2) ta có $\overrightarrow{BC}=\left(-7;-3\right)$

Đường thẳng AH đi qua điểm A(2; –1), có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{BC}=\left(-7;-3\right)$.

Suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng AH là:

–7.(x – 2) – 3.(y + 1) = 0

⇔ –7x – 3y + 11 = 0 ⇔ 7x + 3y – 11 = 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Gọi M là trung điểm của AB với A(–2; 3) và B(4; –1).

Ta suy ra $\left(\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-2+4}{2}=1\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{3-1}{2}=1\end{array}\right)$

Khi đó ta có M(1; 1).

Với A(–2; 3) và B(4; –1) ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(6;-4\right)$ .

Đường thẳng d là đường trung trực của AB nên đường thẳng d đi qua trung điểm M(1; 1) của AB và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(6;-4\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Suy ra phương trình tổng quát của d là:

6(x – 1) – 4(y – 1) = 0

⇔ 6x – 4y – 2 = 0 ⇔ 3x – 2y – 1 = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Gọi M(x_M; y_M) là điểm cần tìm.

Ta có M ∈ ∆. Suy ra 2x_M + y_M – 1 = 0 ⇔ y_M = 1 – 2x_M.

Khi đó tọa độ M có dạng: M(x_M; 1 – 2x_M).

Theo đề ta có khoảng cách từ M đến (d) bằng 2, tức là d(M, (d)) = 2.

Ta suy ra $\frac{\left(4x_M+3\left(1-2x_M\right)-10\right)}{\sqrt{4^2+3^2}}=2$

⇔ |–2x_M – 7| = 10

⇔ –2x_M – 7 = 10 hoặc –2x_M – 7 = –10

⇔ –2x_M = 17 hoặc –2x_M = –3

$\iff x_M=-\frac{17}{2}$ hoặc $x_M=\frac{3}{2}$.

•Với $x_M=-\frac{17}{2}$, ta có: y_M = 1 – 2x_M = 18.

Suy ra tọa độ $M\left(-\frac{17}{2};18\right)$.

•Với $x_M=\frac{3}{2}$, ta có y_M = 1 – 2x_M = –2.

Suy ra tọa độ $M\left(\frac{3}{2};-2\right)$.

Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán là $M\left(-\frac{17}{2};18\right)$, $M\left(\frac{3}{2};-2\right)$.

Do đó ta chọn phương án C.

${\Delta }_1:\sqrt{3}x-y+7=0$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1=\left(\sqrt{3};-1\right)$.

∆₂: mx + y + 1 = 0có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2=\left(m;1\right)$.

Do đó ${\overrightarrow{n}}_1.{\overrightarrow{n}}_2=\sqrt{3}.m+\left(-1\right).1=m\sqrt{3}-1$

Theo đề, ta có (∆₁, ∆₂) = 30° nên ta có:

$\cos \left({\Delta }_1,{\Delta }_2\right)=\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \frac{\left(m\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{m^2+1^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \left(\sqrt{3}.m-1\right)=\sqrt{3m^2+3}$

$\iff 3m^2-2\sqrt{3}.m+1=3m^2+3$

$\iff -2\sqrt{3}.m=2$

$\iff m=-\frac{2}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy $m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án A.

• Điểm M là trung điểm AB với A(2; 3) và B(–4; 5)

Suy ra $\left(\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{2-4}{2}=-1\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{3+5}{2}=4\end{array}\right)$

Khi đó ta có M(–1; 4).

• Điểm N là trung điểm AC với A(2; 3) và C(6; –5).

Suy ra $\left(\begin{array}{c}{x}_N=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{2+6}{2}=4\\ y_N=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{3-5}{2}=-1\end{array}\right)$

Khi đó ta có N(4; –1).

• Với M(–1; 4) và N(4; –1) ta có:

$\overrightarrow{MN}=\left(5;-5\right)\Rightarrow \frac{1}{5}\overrightarrow{MN}=\left(1;-1\right)$.

Đường thẳng MN đi qua điểm M(–1; 4), có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\frac{1}{5}\overrightarrow{MN}=\left(1;-1\right)$.

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng MN là: $\left(\begin{array}{c}x=-1+t\\ y=4-t\end{array}\right)$

Do đó phương án A đúng.

• Ở phương án B, C, ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(5;5\right)$.

Với $\overrightarrow{u}=\left(1;-1\right)$ và $\overrightarrow{a}=\left(5;5\right)$ ta có:

1.5 – (–1).5 = 10 ≠ 0.

Do đó $\overrightarrow{a}$ không cùng phương với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng MN.

Vì vậy phương án B, C sai.

• Ở phương án D, ta có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{b}=\left(1;1\right)$.

Với $\overrightarrow{u}=\left(1;-1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(1;1\right)$ ta có:

1.1 – (–1).1 = 2 ≠ 0.

Do đó $\overrightarrow{b}$ không cùng phương với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ của đường thẳng MN.

Vì vậy phương án D sai.

Vậy ta chọn phương án A.