Vì G là trọng tâm của ∆ABC nên ta có: $\left(\begin{array}{c}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}3x_G=x_A+x_B+x_C\\ 3y_G=y_A+y_B+y_C\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}{x}_A=3x_G-x_B-x_C\\ y_A=3y_G-y_B-y_C\end{array}\right)$$\iff \left(\begin{array}{c}{x}_A=3.2-4-1=1\\ y_A=3.1-1-\left(-2\right)=4\end{array}\right)$

Do đó ta được A(1; 4).

Vậy ta chọn phương án A.

Với A(–2; –3), B(1; 4) và C(3; 1) ta có:

+) $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)=\left(1-\left(-2\right);4-\left(-3\right)\right)=\left(3;7\right)$.

+) $\overrightarrow{AC}=\left(x_C-x_A;y_C-y_A\right)=\left(3-\left(-2\right);1-\left(-3\right)\right)=\left(5;4\right)$.

Do đó ta được $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\left(3+5;7+4\right)=\left(8;11\right)$.

Vậy ta chọn phương án D.

Vì M thuộc trục Oy nên M(0; y).

Với A(1; 5), B(–1; 0), C(1; 3) và M(0; y) ta có:

+) $\overrightarrow{AM}=\left(x_M-x_A;y_M-y_A\right)=\left(0-1;y-5\right)=\left(-1;y-5\right)$.

+) $\overrightarrow{BC}=\left(x_C-x_B;y_C-y_B\right)=\left(1-\left(-1\right);3-0\right)=\left(2;3\right)$.

Theo đề, ta có $\overrightarrow{AM}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$

⇔ –1.3 – (y – 5).2 = 0

⇔ –3 – 2y + 10 = 0

⇔ –2y + 7 = 0

⇔ y = $\frac{7}{2}$

Vậy $M\left(0;\frac{7}{2}\right)$

Do đó ta chọn phương án D.

Ta có:

+) $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\iff \overrightarrow{u}=\left(2;-1\right)$.

+) $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\iff \overrightarrow{v}=\left(3;2\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=2.3+\left(-1\right).2=4$.

Vậy ta chọn phương án C.

Ta có $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}\iff \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$

⇔ 4.3 + 5.a = 0

⇔ 12 + 5a = 0

⇔ 5a = –12

$\iff a=-\frac{12}{5}$

Vậy ta chọn phương án B.

Ta có:

+) $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}\iff \overrightarrow{a}=\left(3;6\right)$

+) $\overrightarrow{b}=8\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}\iff \overrightarrow{b}=\left(8;-4\right)$.

•Ta xét phươngán A:

Ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=3.8+6.\left(-4\right)=24-24=0$ (đúng).

Do đó phươngán A đúng.

•Ta xét phươngán B:

Từ phươngán A, ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$.

Do đó phươngán B đúng.

•Ta xét phươngán C:

Ta có $\left(\overrightarrow{a}\right).\left(\overrightarrow{b}\right)=\sqrt{3^2+6^2}.\sqrt{8^2+{\left(-4\right)}^2}=3\sqrt{5}.4\sqrt{5}=60\ne 0$.

Do đó phươngán C sai.

Đến đây ta có thể chọn phươngán C.

•Ta xét phươngán D:

Từ phươngán A, ta có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\iff \left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)=\left(0\right)=0$.

Do đó phươngán D đúng.

Ta có $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương ⇔ –5.x – 0.4 = 0

⇔ –5x = 0

⇔ x = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Từ $\overrightarrow{a}=\left(1;2\right)$ suy ra $2\overrightarrow{a}=\left(2.1;2.2\right)=\left(2;4\right)$.

Ta có $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{y}=\overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{y}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(2-\left(-1\right);4-3\right)=\left(3;1\right)$.

Vậy ta chọn phương án A.

Với A(–1; 1), B(1; 3), C(5; 2) và D(x_D; y_D) ta có:

+) $\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)=\left(1-\left(-1\right);3-1\right)=\left(2;2\right)$.

+) $\overrightarrow{DC}=\left(x_C-x_D;y_C-y_D\right)=\left(5-x_D;2-y_D\right)$.

Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇔ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

$\iff \left(\begin{array}{c}2=5-x_D\\ 2=2-y_D\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}{x}_D=3\\ y_D=0\end{array}\right)$.

Ta suy ra tọa độ D(3; 0).

Vậy ta chọn phương án C.

Với A(1; 2) và B(–1; 5) và C(2; m) ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)=\left(-1-1;5-2\right)=\left(-2;3\right)$.

$\overrightarrow{AC}=\left(x_C-x_A;y_C-y_A\right)=\left(2-1;m-2\right)=\left(1;m-2\right)$.

Theo đề, ta có điểm C(2; m) thuộc đường thẳng AB.

Tức là $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ cùng phương ⇔ –2.(m – 2) – 1.3 = 0

⇔ –2m + 4 – 3 = 0

⇔ –2m + 1 = 0

⇔ –2m = –1

$\iff m=\frac{1}{2}$

Vậy ta chọn phương án B. 

Gọi M(x; y) là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Vì I là tâm của hình chữ nhật ABCD nên I là trung điểm AC.

Suy ra $\left(\begin{array}{c}{x}_I=\frac{x_A+x_C}{2}\\ y_I=\frac{y_A+y_C}{2}\end{array}\right)$

$\iff \left(\begin{array}{c}2x_I=x_A+x_C\\ 2y_I=y_A+y_C\end{array}\right)$ $\iff \left(\begin{array}{c}{x}_C=2x_I-x_A\\ y_C=2y_I-y_A\end{array}\right)$ $\iff \left(\begin{array}{c}{x}_C=2.\left(-1\right)-0=-2\\ y_C=2.0-3=-3\end{array}\right)$

Suy ra tọa độ C(–2; –3).

Tương tự, ta được B(–4; –1).

Vì M(x; y) là trung điểm đoạn thẳng BC.

Nên $\left(\begin{array}{c}{x}_M=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{-4-2}{2}=-3\\ y_M=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{-1-3}{2}=-2\end{array}\right)$

Do đó tọa độ M(–3; –2).

Vậy ta chọn phương án A.

Với $\overrightarrow{a}=\left(1;2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(-2;3\right)$ ta có:

+) $3\overrightarrow{a}=\left(3.1;3.2\right)=\left(3;6\right)$, $2\overrightarrow{b}=\left(2.\left(-2\right);2.3\right)=\left(-4;6\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=\left(3-4;6+6\right)=\left(-1;12\right)$.

+) $\overrightarrow{a}=\left(3;4\right)$, $5\overrightarrow{b}=\left(5.\left(-2\right);5.3\right)=\left(-10;15\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}=\left(3-\left(-10\right);4-15\right)=\left(13;-11\right)$.

Ta có: $\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left(\overrightarrow{u}\right).\left(\overrightarrow{v}\right)}$

$=\frac{-1.13+12.\left(-11\right)}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{12}^2}.\sqrt{{13}^2+{\left(-11\right)}^2}}$

$=\frac{-145}{\sqrt{145}.\sqrt{290}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Suy ra $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=135°$.

+ Với A(–3; 0), B(3; 0), C(2; 6) và H(a; b) ta có:

• $\overrightarrow{BC}=\left(-1;6\right),\overrightarrow{AC}=\left(5;6\right)$.

• $\overrightarrow{AH}=\left(a+3;b\right),\overrightarrow{BH}=\left(a-3;b\right)$.

+ Vì H là trực tâm của ∆ABC nên AH ⊥ BC.

Suy ra $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$

Khi đó ta có (a + 3).(–1) + 6b = 0

Vì vậy –a + 6b – 3 = 0 (1).

+ Vì H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

Suy ra $\overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}$

Do đó $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$

Khi đó ta có (a – 3).5 + 6b = 0

Vì vậy 5a + 6b – 15 = 0 (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:

$\left(\begin{array}{c}-a+6b-3=0\\ 5a+6b-15=0\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}a=2\\ b=\frac{5}{6}\end{array}\right)$

Do đó ta có a + 6b = 2 + 6.$\frac{5}{6}$ = 7.

Vậy ta chọn phương án C.