Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

⦁ (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

Do đó phương án A, C sai.

⦁ (a – b)⁴ = a⁴ + 4a³(–b) + 6a²(–b)² + 4a(–b)³ + (–b)⁴

               = a⁴ – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴.

Do đó phương án B sai, phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

⦁ (a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.

Do đó phương án A sai, phương án C đúng.

⦁ (a – b)⁵ = a⁵ + 5a⁴(–b) + 10a³(–b)² + 10a²(–b)³ + 5a(–b)⁴ + (–b)⁵

               = a⁵ – 5a⁴b + 10a³b² – 10a²b³ + 5ab⁴ – b⁵.

Do đó phương án B, D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$C_4^0.x^4+C_4^1.x^{3}y+C_4^2.x^2{y}^2+C_4^3.x{y}^3+C_4^4.y^4={\left(x+y\right)}^4$.

Vậy ta chọn phương án A.

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${\left(2+\sqrt{5}\right)}^4=2^4+{4.2}^3.\sqrt{5}+{6.2}^2.{\left(\sqrt{5}\right)}^2+\mathrm{4.2.}{\left(\sqrt{5}\right)}^3+{\left(\sqrt{5}\right)}^4$.

Vậy ta chọn phương án B.

Ta có tổng số mũ của a, b trong mỗi hạng tử khi khai triển (a + b)ⁿ luôn bằng n.

Vậy tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (a + b)⁵ bằng 5.

Ta có trong khai triển (a + b)ⁿ có n + 1 hạng tử

Vậy trong khai triển (a + b)⁹⁹ có 100 hạng tử

Ta có:

(x + 1)ⁿ

$=C_n^0.x^n{.1}^0+C_n^1.x^{n-1}{.1}^1+C_n^2.x^{n-2}{.1}^2+\mathrm{...}+C_n^{n-1}.x^1{.1}^{n-1}+C_n^n.x^0{.1}^n$

$=C_n^0.x^n+C_n^1.x^{n-1}+C_n^2.x^{n-2}+\mathrm{...}+C_n^{n-1}.x^1+C_n^n$

Do đó số hạng không chứa biến trong khai triển trên là $C_n^n=1.$

Vậy hệ số tự do của khai triển là 1.

Cách 1: Ta có:

$$\begin{gathered} {\left(xy+\frac{1}{y}\right)}^5 \\ =C_5^0{\left(xy\right)}^5{\left(\frac{1}{y}\right)}^0+C_5^1{\left(xy\right)}^4{\left(\frac{1}{y}\right)}^1+C_5^2{\left(xy\right)}^3{\left(\frac{1}{y}\right)}^2 \\ +C_5^3{\left(xy\right)}^2{\left(\frac{1}{y}\right)}^3+C_5^4{\left(xy\right)}^1{\left(\frac{1}{y}\right)}^4+C_5^5{\left(xy\right)}^0{\left(\frac{1}{y}\right)}^5 \\ =x^5{y}^5+5x^4{y}^4.y^{-1}+10x^3{y}^3.y^{-2}+10x^2{y}^2.y^{-3}+5xy.y^{-4}+y^{-5} \\ =x^5{y}^5+5x^4{y}^3+10x^{3}y+10x^2{y}^{-1}+5x{y}^{-3}+y^{-5} \end{gathered}$$

Vậy số hạng chứa x³y trong khai triển ${\left(xy+\frac{1}{y}\right)}^5$ là 10x³y.

Cách 2:

Số hạng tổng quát trong khai triển ${\left(xy+\frac{1}{y}\right)}^5$ là:

$C_5^k{\left(xy\right)}^{5-k}{\left(\frac{1}{y}\right)}^k$ (với 0 ≤ k ≤ 5 và k ∈ ℤ).

$=C_5^k{x}^{5-k}{y}^{5-k}{y}^{-k}=C_5^k{x}^{5-k}{y}^{5-2k}$

Để số hạng trên là số hạng chứa x³y thì $\left\{\begin{array}{l}5-k=3\\ 5-2k=1\end{array}\right.\iff k=2\left(tm\right)$

Khi đó ta có số hạng đó là $C_5^2{x}^{5-2}{y}^{5-2.2}=10x^{3}y$

Vậy số hạng chứa x³y trong khai triển ${\left(xy+\frac{1}{y}\right)}^5$ là 10x³y.

Do đó ta chọn phương án C.

Cách 1: Ta có:

(a + 2b)⁴

= a⁴ + 4a³.2b + 6a².(2b)² + 4a.(2b)³ + (2b)⁴

= a⁴ + 8a³b + 24a²b² + 32ab³ + 16b⁴

Số hạng chứa ab³ trong khai triển (a + 2b)⁴ là: 32ab³.

Vậy hệ số chứa ab³ trong khai triển (a + 2b)⁴ là 32.

Do đó ta chọn phương án B.

Cách 2:

Số hạng tổng quát trong khai triển (a + 2b)⁴ là:

$C_4^k{a}^{4-k}{\left(2b\right)}^k$ (với 0 ≤ k ≤ 4 và k ∈ ℤ).

$=C_4^k{a}^{4-k}{2}^k{b}^k=2^k{C}_4^k{a}^{4-k}{b}^k$

Để số hạng trên là số hạng chứa ab³ thì $\left\{\begin{array}{l}4-k=1\\ k=3\end{array}\right.\iff k=3\left(tm\right)$

Khi đó ta có số hạng đó là $2^3{C}_4^3{a}^{4-3}{b}^3=32a^{3}b$

Vậy hệ số của số hạng chứa ab³ trong khai triển (a + 2b)⁴ là 32.

Theo nhị thức Newton, ta có:

$$\begin{gathered} P\left(x\right)={\left(x^3-\frac{1}{x^2}\right)}^5 \\ ={\left(x^3\right)}^5+5.{\left(x^3\right)}^4.\left(-\frac{1}{x^2}\right)+10.{\left(x^3\right)}^3.{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^2 \\ +10.{\left(x^3\right)}^2.{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^3+5.x^3.{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^4+{\left(-\frac{1}{x^2}\right)}^5 \\ =x^{15}-5.x^{12}.\frac{1}{x^2}+10.x^9.\frac{1}{x^4}-10.x^6.\frac{1}{x^6}+5.x^3.\frac{1}{x^8}-\frac{1}{x^{10}} \\ =x^{15}-5.x^{10}+10.x^5-10+5.\frac{1}{x^5}-\frac{1}{x^{10}} \end{gathered}$$

Ta thấy số hạng không chứa x là số hạng thứ 4 (theo chiều số mũ của x giảm dần).

Vậy ta chọn phương án C.

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$$\begin{gathered} {\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^4 \\ ={\left(x^2\right)}^4+4.{\left(x^2\right)}^3.\frac{1}{x}+6.{\left(x^2\right)}^2.{\left(\frac{1}{x}\right)}^2+4.x^2.{\left(\frac{1}{x}\right)}^3+{\left(\frac{1}{x}\right)}^4 \\ =x^8+4.x^6.\frac{1}{x}+6.x^4.\frac{1}{x^2}+4.x^2.\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4} \\ =x^8+4.x^5+6.x^2+4.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^4} \end{gathered}$$.

Ta thấy số hạng có hệ số bằng 6 là 6x².

Suy ra m = 2.

Vậy ta chọn phương án C.

Cách 1: Ta có

Số hạng tổng quát của khai triển (x³ + xy)²² là:

$C_{22}^k{\left(x^3\right)}^{22-k}{\left(xy\right)}^k$ (với 0 ≤ k ≤ 22 và k ∈ ℤ)

$=C_{22}^k.x^{66-3k}.x^k.y^k=C_{22}^k.x^{66-2k}.y^k$

(x³ + xy)²² có số mũ là 22 nên khai triển này có 23 số hạng.

Do đó số hạng chính giữa là số hạng thứ 12 ứng với k = 11.

Vậy số hạng chính giữa của khai triển là $C_{22}^{12}.x^{42}.y^{12}$.

Ta thấy tập hợp M có 4 phần tử.

• Mỗi tập con của M có k phần tử (với 1 ≤ k ≤ 4) là một tổ hợp chập k của 4 phần tử.

Do đó số tập con như vậy bằng $C_4^k$.

• Mặt khác, có một tập con của M không có phần tử nào (tập rỗng).

Tức là, có $C_4^0=1$ tập con như vậy.

Do đó số tập con của tập hợp M là:

$C_4^0+C_4^1+C_4^2+C_4^3+C_4^4$ = 16 (tập con).

Vậy ta chọn phương án B.

⇔ n(n – 1)(n – 2) + 2n(n – 1) = 100

⇔ n(n – 1)(n – 2 + 2) = 100

⇔ (n² – n)n = 100

⇔ n³ – n² – 100 = 0

⇔ n = 5 (thỏa mãn).

Khi đó ta có khai triển (2 + x)⁵.

(2 + x)⁵

= 2⁵ + 5.2⁴.x + 10.2³.x² + 10.2².x³ + 5.2.x⁴ + x⁵

= 32 + 80x + 80x² + 40x³ + 10x⁴ + x⁵

Vậy số hạng của x³ trong khai triển biểu thức (2 + x)⁵ là 40x³.

Do đó ta chọn phương án C.

Theo công thức nhị thức Newton, ta có: