Bình phương hai vế phương trình ở phương án A, ta được:

x² – x + 1 = x + 3

⇒ x² – 2x – 2 = 0

Vì x² – 2x – 2 = 0 là phương trình bậc hai nên phương án A đúng.

Ta thực hiện tương tự như vậy cho các phương trình ở các phương án B, C, ta thấy phương trình ở phương án B, C có thể quy về phương trình bậc hai.

Đối với phương trình ở phương án D, sau khi bình phương hai vế ta có:

x³ – x² – 2 = 0.

Đây không phải phương trình bậc hai.

Vậy ta chọn phương án D.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

4x² – 3 = x²

⇒ 3x² – 3 = 0

⇒ x = 1 hoặc x = –1.

Với x = 1, ta có $\sqrt{{4.1}^2-3}=1$ (đúng)

Với x = –1, ta có $\sqrt{4.{\left(-1\right)}^2-3}=-1$ (vô lí)

Vì vậy khi thay các giá trị x = 1 và x = –1 vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

Ta chọn phương án A.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

2x – 4 = x² – 3x

⇒ x² – 5x + 4 = 0

⇒ x = 4 hoặc x = 1.

Với x = 4, ta có $\sqrt{2.4-4}=\sqrt{4^2-3.4}$ (đúng)

Với x = 1, ta có $\sqrt{2.1-4}=\sqrt{1^2-3.1}$ (sai)

Vì vậy khi thay các giá trị x = 4 và x = 1 vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 4 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.

Ta chọn phương án D.

Ta có $\sqrt{3x^2-10x-44}-8+x=0$

$\iff \sqrt{3x^2-10x-44}=8-x$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

3x² – 10x – 44 = (8 – x)²

⇒ 3x² – 10x – 44 = 64 – 16x + x²

⇒ 2x² + 6x – 108 = 0

⇒ x = 6 hoặc x = –9.

Với x = 6, ta có $\sqrt{{3.6}^2-10.6-44}=8-6$ (đúng)

Với x = –9, ta có $\sqrt{3.{\left(-9\right)}^2-10.\left(-9\right)-44}=8-\left(-9\right)$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 6 và x = –9 vào phương trình đã cho, ta thấy cả x = 6 và x = –9 đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6 và x = –9.

Tổng hai nghiệm là: 6 + (–9) = –3.

Ta chọn phương án C.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

x² + 3 = 2x + 6

⇒ x² – 2x – 3 = 0

⇒ x = 3 hoặc x = –1.

Với x = 3, ta có $\sqrt{3^2+3}=\sqrt{2.3+6}$ (đúng)

Với x = –1, ta có $\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3}=\sqrt{2.\left(-1\right)+6}$ (đúng)

Vì vậy khi thay các giá trị x = 3 và x = –1 vào phương trình đã cho, ta thấy cả x = 3 và x = –1 đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 3 và x = –1.

• Tổng các nghiệm là: 3 + (–1) = 2. Do đó phương án A đúng.

• Tích các nghiệm là: 3.(–1) = –3. Do đó phương án B sai.

• Ta có x = 3 > –2 và x = –1 > –2.

Vì vậy các nghiệm của phương trình đã cho đều lớn hơn –2. Do đó phương án C đúng.

• Ta có x = 3 > 0 và x = –1 < 0.

Vì vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu. Do đó phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án B.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

4(2x² – 3x + 1) = 9x² + 5x + 4.

⇒ –x² – 17x = 0

⇒ x = 0 hoặc x = –17.

Với x = 0, ta có $2\sqrt{{2.0}^2-3.0+1}=\sqrt{{9.0}^2+5.0+4}$ (đúng)

Với x = –17, ta có $2\sqrt{2.{\left(-17\right)}^2-3.\left(-17\right)+1}=\sqrt{9.{\left(-17\right)}^2+5.\left(-17\right)+4}$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 0 và x = –17 vào phương trình đã cho, ta thấy x = 0 và x = –17 đều thỏa mãn.

Do đó nghiệm của phương trình đã cho là x = 0 và x = –17.

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: 0 + (–17) = –17.

Vậy ta chọn phương án A.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

x² + 3 = 2x + 6.

⇒ x² – 2x – 3 = 0

⇒ x = 3 hoặc x = –1.

Với x = 3, ta có $\sqrt{3^2+3}=\sqrt{2.3+6}$ (đúng)

Với x = –1, ta có $\sqrt{{\left(-1\right)}^2+3}=\sqrt{2.\left(-1\right)+6}$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 3 và x = –1 vào phương trình đã cho, ta thấy x = 3 và x = –1 đều thỏa mãn.

Do đó nghiệm của phương trình đã cho là x = 3 > 0 hoặc x = –1 < 0.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

Ta chọn phương án B.

Ta có $\sqrt{\left(x-3\right)\left(2-x\right)}=\sqrt{4x^2+12x+9}$

$\iff \sqrt{-x^2+5x-6}=\sqrt{4x^2+12x+9}$

Bình phương hai vế phương trình trên, ta được:

–x² + 5x – 6 = 4x² + 12x + 9

⇒ 5x² + 7x + 15 = 0 (vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ∅.

Ta chọn phương án D.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

2x² + 3x – 5 = (x + 1)²

⇒ 2x² + 3x – 5 = x² + 2x + 1

⇒ x² + x – 6 = 0

⇒ x = 2 hoặc x = –3.

Với x = 2, ta có $\sqrt{{2.2}^2+3.2-5}=2+1$ (đúng)

Với x = –3, ta có $\sqrt{2{\left(-3\right)}^2+3.\left(-3\right)-5}=-3+1$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 2 và x = –3 vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.

Ta chọn phương án B.

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

–x² + 4x = (2x – 2)²

⇒ –x² + 4x = 4x² – 8x + 4

⇒ 5x² – 12x + 4 = 0

⇒ x = 2 hoặc $x=\frac{2}{5}$

Với x = 2, ta có $\sqrt{-2^2+4.2}=2.2-2$ (đúng)

Với $x=\frac{2}{5}$, ta có $\sqrt{-{\left(\frac{2}{5}\right)}^2+4.\frac{2}{5}}=2.\frac{2}{5}-2$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 2 và $x=\frac{2}{5}$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất.

Ta chọn phương án B.

Ta có$$\begin{gathered} \sqrt{-{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{3}{4}}+x=1 \\ \iff \sqrt{-\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{4}}=1-x \\ \iff \sqrt{-x^2+x-1}=1-x \end{gathered}$$

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

–x² + x – 1 = (1 – x)²

⇒ –x² + x – 1 = 1 – 2x + x²

⇒ 2x² – 3x + 2 = 0 (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ta chọn phương án A.

Ta có $\sqrt{x-2}-3\sqrt{x^2-4}=0$

$\iff \sqrt{x-2}=3\sqrt{x^2-4}$

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

x – 2 = 9(x² – 4)

⇒ 9x² – x – 34 = 0

⇒ x = 2 hoặc $x=-\frac{17}{9}$

Với x = 2, ta có $\sqrt{2-2}=3\sqrt{2^2-4}$ (đúng)

Với $x=-\frac{17}{9}$, ta có $\sqrt{-\frac{17}{9}-2}=3\sqrt{{\left(-\frac{17}{9}\right)}^2-4}$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 2 và $x=-\frac{17}{9}$ vào phương trình $\sqrt{x-2}=3\sqrt{x^2-4}$, ta thấy chỉ có x = 2 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.

Ta chọn phương án A.

Ta có $x+\sqrt{5+2x^2}=6$.

$\iff \sqrt{5+2x^2}=6-x$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

5 + 2x² = 36 – 12x + x²

⇒ x² + 12x – 31 = 0

⇒ $x=-6+\sqrt{67}$ hoặc $x=-6-\sqrt{67}$.

Với $x=-6-\sqrt{67}$, ta có $-6+\sqrt{67}+\sqrt{5+2{\left(-6+\sqrt{67}\right)}^2}=6$ (đúng)

Với $x=-6+\sqrt{67}$, ta có $-6+\sqrt{67}+\sqrt{5+2{\left(-6+\sqrt{67}\right)}^2}=6$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị $x=-6+\sqrt{67}$ và $x=-6-\sqrt{67}$ vào phương trình đã cho, ta thấy cả $x=-6+\sqrt{67}$ và $x=-6-\sqrt{67}$ đều thỏa mãn.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm là $x=-6+\sqrt{67}$ hoặc $x=-6-\sqrt{67}$.

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là: $-6+\sqrt{67}-6-\sqrt{67}=-12$.

Suy ra phương án A, B, D sai và phương án C đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Ta có $\frac{\sqrt{x^2-3x-4}}{x+1}=-2$.

$\Rightarrow \sqrt{x^2-3x-4}=-2\left(x+1\right)$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

x² – 3x – 4 = 4(x + 1)²

⇒ x² – 3x – 4 = 4(x² + 2x + 1)

⇒ 3x² + 11x + 8 = 0

⇒ x = –1 hoặc $x=-\frac{8}{3}$.

Với x = –1, ta có $\frac{\sqrt{{\left(-1\right)}^2-3.\left(-1\right)-4}}{-1+1}=-2$ (vô lý)

Với $x=-\frac{8}{3}$, ta có $\frac{\sqrt{{\left(-\frac{8}{3}\right)}^2-3.\left(-\frac{8}{3}\right)-4}}{-\frac{8}{3}+1}=-2$ (đúng)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = –1 và $x=-\frac{8}{3}$ vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có $x=-\frac{8}{3}$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{8}{3}$.

Khi đó a = –8 và b = 3 (do b > 0).

Suy ra a² – b² = (–8)² – 3² = 55.

Vậy ta chọn phương án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

$4\sqrt{2x^2-3x+1}=\sqrt{9x^2+54x+81}$

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được 16(2x² – 3x + 1) = 9x² + 54x + 81

⇒ 23x² – 102x – 65 = 0

⇒ x = 5 hoặc $x=-\frac{13}{23}$.

Khi thay x = 5 và $x=-\frac{13}{23}$ vào phương trình đã cho, ta thấy cả x = 5 và $x=-\frac{13}{23}$ đều thỏa mãn.

Với x = 5, ta có $y=4\sqrt{{2.5}^2-3.5+1}=24$.

Suy ra tọa độ giao điểm A(5; 24).

Với $x=-\frac{13}{23}$, ta có $y=4\sqrt{2.{\left(-\frac{13}{23}\right)}^2-3.\left(-\frac{13}{23}\right)+1}=\frac{168}{23}$.

Suy ra tọa độ giao điểm $B\left(-\frac{13}{23};\frac{168}{23}\right)$.

Vậy hai đồ thị có hai giao điểm là A(5; 24) và $B\left(-\frac{13}{23};\frac{168}{23}\right)$.

Ta chọn phương án C.

Ta có $\sqrt{x^2+x+10-2\sqrt{x^2+x+7}}=\sqrt{x^2+x+15-6\sqrt{x^2+x+7}}$

$\iff \sqrt{x^2+x+7-2\sqrt{x^2+x+7}+3}=\sqrt{x^2+x+7-6\sqrt{x^2+x+7}+8}$  (1)

Đặt $t=\sqrt{x^2+x+7}$, t ≥ 0.

Phương trình (1) tương đương với: $\sqrt{t^2-2t+3}=\sqrt{t^2-6t+8}$

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

t² – 2t + 3 = t² – 6t + 8

⇒ 4t = 5

⇒ $t=\frac{5}{4}$ (nhận)

Với $t=\frac{5}{4}$, ta có $\sqrt{{\left(\frac{5}{4}\right)}^2-2.\frac{5}{4}+3}=\sqrt{{\left(\frac{5}{4}\right)}^2-6.\frac{5}{4}+8}$ (đúng)

Vì vậy khi thay $t=\frac{5}{4}$ vào phương trình $\sqrt{t^2-2t+3}=\sqrt{t^2-6t+8}$, ta thấy $t=\frac{5}{4}$ thỏa mãn.

Với $t=\frac{5}{4}$, ta có $\sqrt{x^2+x+7}=\frac{5}{4}$.

Bình phương hai vế phương trình trên, ta được $x^2+x+7=\frac{25}{16}$.

⇒ $x^2+x+\frac{87}{16}=0$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Khi đó tập nghiệm của phương trình ban đầu là: ∅.

Ta chọn phương án D.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: $\sqrt{3x-4}=x-3$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được 3x – 4 = (x – 3)²

⇒ 3x – 4 = x² – 6x + 9

⇒ x² – 9x + 13 = 0

⇒ $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ hoặc $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$.

Với $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$, ta có $\sqrt{3.\frac{9+\sqrt{29}}{2}-4}=\frac{9+\sqrt{29}}{2}-3$ (đúng)

Với $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$, ta có $\sqrt{3.\frac{9-\sqrt{29}}{2}-4}=\frac{9-\sqrt{29}}{2}-3$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ và $x=\frac{9-\sqrt{29}}{2}$ vào phương trình $\sqrt{3x-4}=x-3$, ta thấy chỉ có $x=\frac{9+\sqrt{29}}{2}$ thỏa mãn.

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại một giao điểm.

Do đó ta chọn phương án D.

Ta có $\left(x-2\right)\sqrt{2x+7}=x^2-4$

$\iff \left(x-2\right)\sqrt{2x+7}=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$

$\iff \left(x-2\right)\left(\sqrt{2x+7}-x-2\right)=0$

⇔ x – 2 = 0 hoặc $\sqrt{2x+7}-x-2=0$

⇔ x = 2 hoặc $\sqrt{2x+7}=x+2$  (2)

Giải (2):

Bình phương hai vế của phương trình (2), ta được:

2x + 7 = (x + 2)²

⇒ 2x + 7 = x² + 4x + 4

⇒ x² + 2x – 3 = 0

⇒ x = 1 hoặc x = –3.

Với x = 1, ta có $\sqrt{2.1+7}=1+2$ (đúng)

Với x = –3, ta có $\sqrt{2.\left(-3\right)+7}=-3+2$ (sai)

Vì vậy khi thay lần lượt các giá trị x = 1 và x = –3 vào phương trình (2), ta thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn.

Do đó phương trình (2) có nghiệm là x = 1.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2 hoặc x = 1.

Khi đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình đã cho là: 2² + 1² = 5.

Vậy ta chọn phương án B.

Theo đề, ta có MN dài hơn MP 10 cm nên MN = MP + 10.

Xét ∆MNP vuông tại M có MN² + MP² = NP² (Định lí Pythagore)

Suy ra (MP + 10)² + MP² = NP²

Hay MP² + 20MP + 100 + MP² = NP²

Do đó NP² = 2MP² + 20MP + 100

Nên $NP=\sqrt{2M{P}^2+20MP+100}$

• Ta có chu vi của ∆MNP là 50 cm.

Suy ra: MN + NP + MP = 50.

Khi đó $MP+10+\sqrt{2M{P}^2+20MP+100}+MP=50$

$\iff \sqrt{2M{P}^2+20MP+100}=40-2MP$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

2MP² + 20MP + 100 = 1600 – 160MP + 4MP²

Þ 2MP² – 180MP + 1500 = 0

Þ MP ≈ 80,71 hoặc MP ≈ 9,29.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình (1), ta thấy chỉ có MP ≈ 9,29 thỏa mãn.

Do đó NP ≈ 21,41 cm.

Vậy ta chọn phương án A.

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABM, ta có:

BM² = AM² + AB² – 2AM.AB.cosA

         = x² + 200² – 2x.200.cos120°

         = x² + 40 000 + 200x

Do đó $BM=\sqrt{x^2+200x+40000}$

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABS, ta được:

BS² = AS² + AB² – AS.AB.cosA

         = (x + 300)² + 200² – 2.(x + 300).200.cos120°

         = x² + 600x + 90 000 + 40 000 + 200x + 60 000

         = x² + 800x + 190 000

Do đó $BS=\sqrt{x^2+800x+190000}$

Theo bài, quãng đường từ nhà Bình đến siêu thị gấp đôi quãng đường từ nhà Bình đến nhà bác Mai nên ta có:

BS = 2BM.

$\iff \sqrt{x^2+800x+190000}=2\sqrt{x^2+200x+40000}$  (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

x² + 800x + 190 000 = 4(x² + 200x + 40 000)

⇒ –3x² + 30 000 = 0

⇒ x = 100 (thỏa mãn x > 0) hoặc x = –100 (không thỏa mãn).

Vậy ta chọn phương án C.