Bài 4.10 trang 54 Toán 10 Tập 1: Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn giữ được lái sao cho chúng tạo với bờ cùng một  góc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Lời giải

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂ (H.4.17).

Giả sử tàu 1 xuất phát từ $A\in d_1$ đến M (hướng xuống hạ lưu) và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc $\alpha$.

Giả sử tàu 2 xuất phát từ $A^{\text{'}}\in d_1$ đến M' (hướng lên thượng nguồn) và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc $\alpha$.

Gọi $\overrightarrow{v_{r\left(1\right)}},\overrightarrow{v_{r\left(2\right)}}$ và $\overrightarrow{v_n}$ lần lượt biểu diễn vận tốc riêng của tàu 1, tàu 2 và vận tốc dòng nước.

+ Gọi B, C là các điểm sao cho $\overrightarrow{v_{r\left(1\right)}}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{BC}.$

Khi đó tàu 1 chuyển động với vecto vận tốc thực tế là $\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{v_{r\left(1\right)}}+\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{v_1}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC$

Xét ΔABC có: $\widehat{ABC}={180}^0-\alpha$ ($\widehat{ABC}$ và α là hai góc trong cùng phía), áp dụng định lí Cosin ta có:

Khi đó tàu 2 chuyển động với vecto vận tốc thực tế là  $\Rightarrow \left|\overrightarrow{v_2}\right|=\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$

Xét tam giác ABC có $\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\alpha$ ($\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ và α là hai góc so le trong), áp dụng định lí Cosin ta có:

$A^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2=A^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^2+B^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2-2.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}.B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.cos\widehat{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  

$\Rightarrow {\left|\overrightarrow{v_2}\right|}^2={\left|\overrightarrow{v_{r\left(2\right)}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{v_n}\right|}^2-2\left|\overrightarrow{v_{r\left(2\right)}}\right|.\left|\overrightarrow{v_n}\right|\text{cos}\alpha$

+ Vì hai tàu chuyển động với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau nên $\left|\overrightarrow{v_{r\left(1\right)}}\right|=\left|\overrightarrow{v_{r\left(2\right)}}\right|=v_r$ ($v_r$ là độ lớn vận tốc riêng của tàu)

Khi đó ${\left|\overrightarrow{v_1}\right|}^2={v_r}^2+{\left|\overrightarrow{v_n}\right|}^2+2v_r.\left|\overrightarrow{v_n}\right|\text{cos}\alpha$ và ${\left|\overrightarrow{v_2}\right|}^2={v_r}^2+{\left|\overrightarrow{v_n}\right|}^2-2v_r.\left|\overrightarrow{v_n}\right|\text{cos}\alpha$

Vì α là góc nhọn nên 0° < α < 90° Þ cos α > 0

$\Rightarrow {v_r}^2+{\left|\overrightarrow{v_n}\right|}^2+2v_r.\left|\overrightarrow{v_n}\right|\text{cos}\alpha >{v_r}^2+{\left|\overrightarrow{v_n}\right|}^2-2v_r.\left|\overrightarrow{v_n}\right|\text{cos}\alpha$

hay ${\left|\overrightarrow{v_1}\right|}^2>{\left|\overrightarrow{v_2}\right|}^2$

Do đó vận tốc thực tế của tàu hướng xuống hạ lưu lớn hơn vận tốc thực tế của tàu hướng lên thượng nguồn.

Vậy tàu đi hướng xuống hạ lưu sang bờ bên kia trước tàu đi hướng lên thượng nguồn.