Giải bài tập Toán 10 Bài 9: Tích của một vecto với một số

1. Tích của một vecto với một số

Giải Toán 10 trang 55 Tập 1

HĐ 1 trang 55 Toán 10 Tập 1: Cho vecto $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$. Hãy xác định điểm C sao cho $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}.$

a) Tìm mối quan hệ giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.$

b) Vecto $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}.$ có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài với vecto $\overrightarrow{a}.$

Lời giải

+) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng và cùng độ lớn với $\overrightarrow{a}$;

+) $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và cùng độ lớn với $\overrightarrow{a}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và cùng độ lớn với $\overrightarrow{a}$

Suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng và AB = BC

Hay B là trung điểm của AC.

Vậy điểm C là điểm sao cho B là trung điểm của AC.

a) Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm)

Suy ra $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC$ 

Mà AC = AB + BC = 2AB nên $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\right|=2AB$.

Lại có $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ 

Vậy $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\right|=2AB$.

b) Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng vecto $\overrightarrow{a}$ và $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$ hay $AB=\left|\overrightarrow{a}\right|$

Mà $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\right|=2AB$.

Do đó $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$ và $\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\right|=2\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Câu hỏi trang 55 Toán 10 Tập 1: $1\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ có bằng nhau hay không?

Lời giải

Tích của vectơ $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ với số thực k = 1 > 0 là một vectơ kí hiệu là $1\overrightarrow{a}$, vectơ này cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $1.\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Do đó $1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}.$

Vậy $1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}.$

Giải Toán 10 trang 56 Tập 1

HĐ 2 trang 56 Toán 10 Tập 1: Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số $0;1;\sqrt{2};-\sqrt{2}.$Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto $\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}$với vecto $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$. Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{OM}$và $\overrightarrow{OA}$.

Lời giải

Trên trục số Hình 4.22 ta thấy:

- Về hướng:

Điểm M và điểm A nằm cùng phía đối với điểm O trên trục số nên $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OA}$;

Điểm N và điểm A nằm khác phía đối với điểm O trên trục số nên $\overrightarrow{ON}$ ngược hướng với $\overrightarrow{OA}$.

- Về độ dài:

+ Điểm A biểu diễn cho số 1 nên OA = 1 do đó $\left|\overrightarrow{OA}\right|=OA=1$ 

+ Điểm M biểu diễn cho số $\sqrt{2}$ nên $OM=\sqrt{2}$ do đó $\left|\overrightarrow{OM}\right|=OM=\sqrt{2}$

Suy ra $\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$

+ Điểm N biểu diễn cho số $-\sqrt{2}$ nên ON = $\left|-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}$ do đó $\left|\overrightarrow{ON}\right|=ON=\sqrt{2}$ 

Suy ra $\left|\overrightarrow{ON}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$

Vậy $\overrightarrow{OM}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ và $\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$

$\overrightarrow{ON}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA}$ và $\left|\overrightarrow{ON}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{a}\right|$

Đẳng thức biểu thị mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ là $\overrightarrow{OM}=\sqrt{2}\overrightarrow{OA}.$

Câu hỏi trang 56 Toán 10 Tập 1: $-\overrightarrow{a}$ và $(-1)\overrightarrow{ a}$ có mối quan hệ gì?

Lời giải

+ Vecto $-\overrightarrow{a}$ là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{a}$ nên $-\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ và có độ dài $\left|\overrightarrow{a}\right|.$ 

+ Vecto $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ là tích của vectơ $\overrightarrow{a}$ với số thực k = ‒1 < 0 nên $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ và có độ dài $-\left(-1\right)\left|\overrightarrow{a}\right|=1.\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|.$

Do đó vectơ $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $-\overrightarrow{a}$ và cùng có độ dài bằng độ dài của $\overrightarrow{a}$.

Vậy $\left(-1\right)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}.$

Luyện tập 1 trang 56 Toán 10 Tập 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$.

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có: $\overrightarrow{AM}=\frac{AM}{AB}.\overrightarrow{AB}.$

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t ≤ 0 để $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}.$

Lời giải

a)

+ Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ba điểm A, B, M thẳng hàng nên $\overrightarrow{AM}$ cùng phương $\overrightarrow{AB}$

Do đó ta có tồn tại một số thực t thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}.$

+ Nếu tồn tại số t thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}.$ thì $\overrightarrow{AM}$ cùng phương $\overrightarrow{AB}$ 

Hay đường thẳng AM song song hoặc trùng với đường thẳng AB.

Mà cả hai đường thẳng này đều đi qua A nên đường thẳng AM trùng với đường thẳng AB.

Suy ra $\overrightarrow{AM}$ trùng với $\overrightarrow{AB}$.

Do đó A, M, B thẳng hàng hay M thuộc đường thẳng d.

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Nếu M không thuộc đường thẳng d thì $\overrightarrow{AM}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$.

Do đó ta không thể viết dưới dạng $\overrightarrow{AM}=\frac{AM}{AB}\overrightarrow{AB}.$

Vậy khẳng định b) sai.

c)

Nếu điểm M thuộc tia đối của tia AB thì hai vecto $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ là hai vecto ngược hướng

Khi đó tồn tại số thực t < 0 thoả mãn $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}.$ 

Do đó khẳng định c) đúng.

2. Các tính chất của phép nhân vecto với 1 số 

Giải Toán 10 trang 57 Tập 1

HĐ 3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài bằng $\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|.$

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

d) Hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ bằng nhau.

Lời giải

a) Ta có: $\left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|k\right|\left|t\overrightarrow{u}\right|=\left|k\right|\left|t\right|\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$ và $\left|\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

Suy ra $\left|k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left|\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|$

Do đó hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài bằng $\left|kt\right|\left|\overrightarrow{u}\right|.$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) - Với kt ≥ 0 thì vectơ $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

- Với kt ≥ 0 $\iff \left\{\begin{array}{l}k\ge 0\\ t\ge 0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}k\le 0\\ t\le 0\end{array}\right.$ 

+) Trường hợp 1: k ≥ 0 và t ≥ 0

Với t ≥ 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k ≥ 0 thì vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$cùng hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k ≥ 0 và t ≥ 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$(do cùng hướng với $t\overrightarrow{u}$).

+) Trường hợp 2: k ≤ 0 và t ≤ 0

Với t ≤ 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k ≤ 0 thì vectơ k($t\overrightarrow{u}$) ngược hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k ≤ 0 và t ≤ 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$(do cùng ngược hướng với $t\overrightarrow{u}).$

Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt ≥ 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Suy ra: nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) – Với kt < 0 thì vectơ $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

- Với kt < 0 $\iff \left\{\begin{array}{l}k>0\\ t<0\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}k<0\\ t>0\end{array}\right.$ 

+) Trường hợp 1: k > 0 và t < 0

Với t < 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k > 0 thì vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$cùng hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k > 0 t < 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

+) Trường hợp 2: k < 0 và t > 0

Với t > 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k < 0 thì vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k < 0 và t > 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt < 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Suy ra nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

Vậy khẳng định c) là đúng.

d) Theo câu a thì hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài.

+ Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

Suy ra hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng.

+ Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

Suy ra hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng.

Do đó hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với mọi k, t.

$\Rightarrow k\left(t\overrightarrow{u}\right)=\left(kt\right)\overrightarrow{u}$

Hay hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ bằng nhau.

Vậy khẳng định d) đúng.

HĐ 4 trang 57 Toán 10 Tập 1: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)$ và $3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)$ và $3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$.

Lời giải

Giả sử $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{v}$ được biểu diễn như hình vẽ trên.

+ Xét hình bình hành OEMF, ta có:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{\text{OF}}=\overrightarrow{OM}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow 3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{OM}$

Trên hình vẽ ta thấy OC = 3OM và $\overrightarrow{OC}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OM}$.

Do đó $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}$.

+ Trên hình vẽ ta thấy $OA=3\left|\overrightarrow{u}\right|$ và $\overrightarrow{OA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$ 

$OB=3\left|\overrightarrow{v}\right|$ và $\overrightarrow{OB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{v}$ 

Do đó $\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{v}$ 

Xét hình bình hành OACB, ta có:

$3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{OC}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow 3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}\left(=\overrightarrow{OC}\right)$

Vậy $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}.$

Luyện tập 2 trang 57 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$

Lời giải

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ (Tính chất trọng tâm của tam giác)

Với điểm O bất kì ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \\ =\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}\right) \end{gathered}$$

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}$

$=\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OG}\right)+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

$=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{0}$

$=3\overrightarrow{OG}.$

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}.$

Luyện tập 3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, tức là tìm các số x, y, z, t để $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=t\overrightarrow{a}+z\overrightarrow{b}.$

Lời giải

Giả sử các điểm O, A, B, C, M, N, P là các điểm như trong hình vẽ dưới đây.

Khi đó ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{b};\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{u};\overrightarrow{OM} \\ =3\overrightarrow{b};\overrightarrow{ON}=-2\overrightarrow{a};\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{v} \end{gathered}$$ 

Xét hình bình hành OACB, có: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ (quy tắc hình bình hành)

Suy ra $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$.

Xét hình bình hành OMPN, có: $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$ (quy tắc hình bình hành)

Suy ra $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{b}+\left(-2\overrightarrow{a}\right)=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

Bài tập

Giải Toán 10 trang 58 Tập 1

Bài 4.11 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$

Lời giải

Gọi E là điểm đối xứng với A qua M.

Khi đó M là trung điểm của BC và AE.

Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành.

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$ (quy tắc hình bình hành)

Mà $\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AM}$ (M là trung điểm của AE)

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}$

Xét hình bình hành ABCD có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)}{2}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{2}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{2}=\frac{2\overrightarrow{AB}}{2}+\frac{\overrightarrow{AD}}{2}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}.$

Bài 4.12 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$

Lời giải

Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right) \\ =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}\right) \\ =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \end{gathered}$$

Do đó $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$     (1)

Ta có: 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MA}\right) \\ =\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MA} \end{gathered}$$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)-\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)$

Lại có M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

N là trung điểm của DC, với điểm M bất kì ta có $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MN}$ 

Suy ra $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}$      (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$

Bài 4.13 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

Lời giải

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Suy ra vecto $\overrightarrow{MK}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{MB}$ và thỏa mãn $MK=\frac{1}{3}MB.$

Vậy điểm K là điểm nằm giữa M và B sao cho thỏa mãn $MK=\frac{1}{3}MB.$

b)

Cách 1:

Ta có:  

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KA}\right)+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KB}\right) \\ =\frac{1}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}\overrightarrow{KA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{2}{3}\overrightarrow{KB} \\ =\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OK}\right)+\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{KA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\right) \\ =\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}\right) \end{gathered}$$ 

Mà $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$ (theo câu a) do đó $\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}.0=\overrightarrow{OK}$ 

Vậy với mọi điểm O, ta có:  $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

Cách 2:

Ta có: $\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MK}$

Theo câu a ta có $\overrightarrow{MK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)$

Do đó 

$$\begin{gathered} \overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MK}= \\ \overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right) \\ =\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{MO}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} \\ =\overrightarrow{OM}-\frac{1}{3}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} \\ =\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} \end{gathered}$$

Vì M là trung điểm của AB nên

Bài 4.14 trang 58 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}.$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}.$

Lời giải

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Do đó vecto $\overrightarrow{GM}$ cùng hướng  với vecto $\overrightarrow{GC}$ và $GM=\frac{1}{4}GC.$

Vậy điểm M nằm giữa G và C sao cho $GM=\frac{1}{4}GC.$

b) Ta có: 

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}\right)+\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}\right)+2\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}\right)$

Giải Toán 10 trang 59 Tập 1

Bài 4.15 trang 59 Toán 10 Tập 1: Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$). Tính độ lớn của các lực $\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},$ biết $\overrightarrow{F_1},$ có độ lớn là 20 N.

Lời giải

Giả sử các điểm B, C, D, E thoả mãn $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{F_2};\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{F_3}$ và ABCD là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên 

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là hai vectơ đối nhau

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|$ và $\widehat{CAD}={60}^0$.

ABCD là hình bình hành nên $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=DC=20\left(N\right)$ 

Tam giác ACD vuông tại D có: