Giải Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 4

Hoidap.vietjack.com trân trọng giới thiệu: lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 4 sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4. Mời các bạn đón xem:

497

Tải tài liệu

« Trang trước

Trang sau »

Giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 4

A. Trắc nghiệm

Bài 4.27 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?

A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (\frac{1}{2}; 6)$ .

B. $\vec{a} = (\sqrt{2}; 6)$ và $\vec{b} = (1; 3 \sqrt{2})$ .

C. $\vec{i} = (0; 1)$ và $\vec{j} = (1; 0)$ .

D. $\vec{c} = (1; 3)$ và $\vec{d} = (2; - 6)$ .

Lời giải

+) Xét hai vectơ $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (\frac{1}{2}; 6)$ :

Ta có: $\frac{2}{\frac{1}{2}} \neq \frac{3}{6}$ suy ra hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ không cùng phương.

Do đó A sai.

+) Xét hai vectơ $\vec{a} = (\sqrt{2}; 6)$ và $\vec{b} = (1; 3 \sqrt{2})$ :

Ta có: $\frac{\sqrt{2}}{1} = \frac{6}{3 \sqrt{2}} = \sqrt{2}$ suy ra hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

Do đó B đúng.

+) Xét hai vectơ $\vec{i} = (0; 1)$ và $\vec{j} = (1; 0)$ :

Ta có: $\frac{0}{1} \neq \frac{1}{0}$ và $\frac{1}{0}$ không tồn tại suy ra hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ không cùng phương.

Do đó C sai.

+) Xét hai vectơ $\vec{c} = (1; 3)$ và $\vec{d} = (2; - 6)$ :

Ta có: $\frac{1}{2} \neq \frac{3}{- 6}$ suy ra hai vectơ $\vec{c}$ và $\vec{d}$ không cùng phương.

Do đó D sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4.28 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?

A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (4; 6)$ .

B. $\vec{a} = (1; - 1)$ và $\vec{b} = (- 1; 1)$ .

C. $\vec{z} = (a; b)$ và $\vec{t} = (- b; a)$ .

D. $\vec{n} = (1; 1)$ và $\vec{k} = (2; 0)$ .

Lời giải

+) Xét hai vectơ $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (4; 6)$ :

Ta có: $\vec{u} . \vec{v} = 2.4 + 3.6 = 8 + 18 = 26 \neq 0.$

Suy ra hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ không vuông góc. Do đó A sai.

+) Xét hai vectơ $\vec{a} = (1; - 1)$ và $\vec{b} = (- 1; 1)$ :

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = 1. (- 1) + (- 1) .1 = - 1 + (- 1) = - 2 \neq 0.$

Suy ra hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ không vuông góc với nhau. Do đó B sai.

+) Xét hai vectơ $\vec{z} = (a; b)$ và $\vec{t} = (- b; a)$ :

Ta có: $\vec{z} . \vec{t} = a . (- b) + b . a = - a b + a b = 0.$

Suy ra hai vectơ $\vec{z}, \vec{t}$ vuông góc với nhau. Do đó C đúng.

+) Xét hai vectơ $\vec{n} = (1; 1)$ và $\vec{k} = (2; 0)$ :

Ta có: $\vec{n} . \vec{k} = 1.2 + 1.0 = 2 + 0 = 2 \neq 0.$

Suy ra hai vectơ $\vec{n}, \vec{k}$ không vuông góc. Do đó D sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.29 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?

A. $\vec{a} = (1; 1)$ .

B. $\vec{b} = (1; - 1)$ .

C. $\vec{c} = (2; \frac{1}{2})$ .

D. $\vec{d} = (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{- 1}{\sqrt{2}})$ .

Lời giải

+) Xét vectơ $\vec{a} = (1; 1) \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} \neq 1$ . Do đó A sai.

+) Xét vectơ $\vec{b} = (1; - 1) \Rightarrow |\vec{b}| = \sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{2} \neq 1$ . Do đó B sai.

+) Xét vectơ $\vec{c} = (2; \frac{1}{2}) \Rightarrow |\vec{c}| = \sqrt{2^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{17}{4}} \neq 1$ . Do đó C sai.

+) Xét vectơ $\vec{d} = (\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{- 1}{\sqrt{2}}) \Rightarrow |\vec{d}| = \sqrt{{(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{- 1}{\sqrt{2}})}^{2}} = 1$ . Do đó D đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4.30 trang 71 Toán 10 Tập 1: Góc giữa vectơ $\vec{a} (1; - 1)$ và vectơ $\vec{b} (- 2; 0)$ có số đo bằng:

A. 90°.

B. 0°.

C. 135°.

D. 45°.

Lời giải

Góc giữa vectơ a(1; -1) và vectơ b(-2;0) có số đo bằng (ảnh 1)

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4.31 trang 71 Toán 10 Tập 1: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{a} . \vec{b}) \vec{c} = \vec{a} (\vec{b} . \vec{c}) .$

B. ${(\vec{a} . \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} . {\vec{b}}^{2} .$

C. $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \sin (\vec{a}, \vec{b}) .$

D. $\vec{a} (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{c} .$

Lời giải

+) Xét phương án A:

$(\vec{a} . \vec{b}) \vec{c} = |\vec{a} . \vec{b}| . |\vec{c}| . c o s [(\vec{a} . \vec{b}), \vec{c}] = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b}) . |\vec{c}| . c o s [(\vec{a} . \vec{b}), \vec{c}]$ ;

$\vec{a} (\vec{b} . \vec{c}) = |\vec{a}| . |\vec{b} . \vec{c}| . c o s [\vec{a}, (\vec{b} . \vec{c})] = |\vec{a}| . |\vec{b}| . |\vec{c}| . \cos (b, \vec{c}) . c o s [\vec{a}, (\vec{b} . \vec{c})]$

Suy ra $(\vec{a} . \vec{b}) \vec{c} \neq \vec{a} (\vec{b} . \vec{c}) .$ Do đó A sai.

+) Xét phương án B:

${(\vec{a} . \vec{b})}^{2} = {[|\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b})]}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} . {|\vec{b}|}^{2} . c o s^{2} (\vec{a}, \vec{b})$

${\vec{a}}^{2} . {\vec{b}}^{2} = {|\vec{a}|}^{2} . {|\vec{b}|}^{2} .$

Suy ra ${(\vec{a} . \vec{b})}^{2} \neq {\vec{a}}^{2} . {\vec{b}}^{2}$ . Do đó B sai.

+) Xét phương án C:

$\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . c os (\vec{a}, \vec{b}) \neq |\vec{a}| . |\vec{b}| . \sin (\vec{a}, \vec{b}) .$

Do đó C sai.

+)Xét phương án D:

Theo tính chất của tích vô hướng ta có:

$\vec{a} (\vec{b} - \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{c}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ).

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4.32 trang 71 Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $(\vec{A B}, \vec{B D}) = 45 ° .$

B. $\vec{A C} . \vec{B C} = a^{2} .$

C. $\vec{A C} . \vec{B D} = a^{2} \sqrt{2} .$

D. $\vec{B A} . \vec{B D} = - a^{2} .$

Lời giải

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Khẳng định nào sau đây là đúng (ảnh 1)

ABCD là hình vuông cạnh a nên AB = BC = CD = DA = a;

Và $B D = A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$

Lấy điểm M và N sao cho ABDM, ABNC là các hình bình hành.

+) Vì ABDM là hình bình hành nên $\vec{B D} = \vec{A M}$

$\Rightarrow (\vec{A B}, \vec{B D}) = (\vec{A B}, \vec{A M}) = \hat{B A M} = 90 ° + 45 ° = 135 ° .$

Do đó A sai.

+) Vì ABNC là hình bình hành nên $\vec{A C} = \vec{B N}$

$\Rightarrow (\vec{A C}, \vec{B C}) = (\vec{B N}, \vec{B C}) = \hat{C B N} = 45 °$

$\Rightarrow \vec{A C} . \vec{B C} = A C . B C . c o s \hat{C B F} = a \sqrt{2} . a . c {os45}^{0} = a^{2} .$

Do đó B đúng.

+) Ta có $A C ⊥ B D \Rightarrow \vec{A C} ⊥ \vec{B D} \Rightarrow \vec{A C} . \vec{B D} = 0$ .

Do đó C sai.

+) Ta có:

$\vec{B A} . \vec{B D} = B A . B D . \cos (\vec{B A}, \vec{B D}) = B A . B D . \cos \hat{A B D} = a . a \sqrt{2} . c {os45}^{0} = a^{2} .$

Do đó D sai.

B. Tự luận

Bài 4.33 trang 71 Toán 10 Tập 1: Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3MC.

a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\vec{M B}$ và $\vec{M C}$ .

b) Biểu thị vectơ $\vec{A M}$ theo hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C} .$

Lời giải

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm M sao cho MB = 3MC (ảnh 1)

a) Vì điểm M nằm trên cạnh BC nên hai vectơ $\vec{M B}$ và $\vec{M C}$ là hai vectơ ngược hướng.

Lại có MB = 3MC nên $\vec{M B} = - 3 \vec{M C}$ .

Vậy $\vec{M B} = - 3 \vec{M C} .$

b) Theo câu a: $\vec{M B} = - 3 \vec{M C} \Rightarrow \vec{M B} = 3 \vec{C M} = \frac{3}{4} \vec{B C} .$

Ta có: $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} - \vec{M B}$

$= \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{B C} = \vec{A B} + \frac{3}{4} (\vec{A C} - \vec{A B})$ (quy tắc ba điểm)

$= \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C} - \frac{3}{4} \vec{A B} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

Vậy $\vec{A M} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \hat{A C}$ .

Bài 4.34 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$

Lời giải

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Suy ra O là trung điểm của AC và BD.

$\Rightarrow \vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ và $\vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$

Ta có:

$\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M O} + \vec{O A} + \vec{M O} + \vec{O C} = 2 \vec{M O} + (\vec{O A} + \vec{O C}) = 2 \vec{M O}$

(Vì $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ )

$\vec{M B} + \vec{M D} = \vec{M O} + \vec{O B} + \vec{M O} + \vec{O D} = 2 \vec{M O} + (\vec{O B} + \vec{O D}) = 2 \vec{M O}$

(Vì $\vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$ )

Suy ra $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D} .$

Vậy $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D} .$

Bài 4.35 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{B A}$ và $\vec{B C} .$

b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Lời giải

a) Với A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) ta có: $\vec{B A} = (4; - 4)$ và $\vec{B C} = (- 3; - 3) .$

b) Ta có:

$\vec{B A} . \vec{B C} = 4. (- 3) + (- 4) . (- 3) = - 12 + 12 = 0$

$\Rightarrow \vec{B A} ⊥ \vec{B C}$

$\Rightarrow B A ⊥ B C$

$\Rightarrow Δ A B C$ vuông tại B.

Do $\vec{B A} = (4; - 4) \Rightarrow B A = \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2}} = 4 \sqrt{2}$ ;

$\vec{B C} = (- 3; - 3) \Rightarrow B C = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = 3 \sqrt{2}$ .

Với A(2; 1) và C(‒5; 2) ta có:

$\vec{A C} = (- 7; 1) \Rightarrow A C = \sqrt{{(- 7)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

Diện tích tam giác vuông ABC là:

$S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} . A B . B C = \frac{1}{2} .4 \sqrt{2} .3 \sqrt{2} = 12$ (đơn vị diện tích)

Chu vi tam giác ABC là:

AB + BC + AC = $4 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} = 12 \sqrt{2}$ (đơn vị độ dài)

c) Với A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) ta có tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{2 + (- 2) + (- 5)}{3} = \frac{- 5}{3} \\ y_{G} = \frac{1 + 5 + 2}{3} = \frac{8}{3} \end{cases} \Rightarrow G (\frac{- 5}{3}; \frac{8}{3})$

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G (\frac{- 5}{3}; \frac{8}{3}) .$

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) (ảnh 1)

Để tứ giác BCAD là hình bình hành khi $\vec{A C} = \vec{D B}$

Giả sử D(x; y) là điểm cần tìm.

Với A(2; 1), B(‒2; 5) và C(‒5; 2) ta có: $\vec{A C} = (- 7; 1)$ và $\vec{D B} = (- 2 - x; 5 - y)$

Do đó $\vec{A C} = \vec{D B}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 - x = - 7 \\ 5 - y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 4 \end{cases} \Rightarrow D (5; 4)$ .

Vậy với D(5;4) thì tứ giác BCAD là một hình bình hành.

Bài 4.36 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và D(6; 5).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ .

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ $\vec{A E}$ theo các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

Lời giải

a) Với A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và D(6; 5) ta có: $\vec{A B} = (2; 2)$ và $\vec{C D} = (7; 7)$ .

b) Xét hai vectơ $\vec{A B} = (2; 2)$ và $\vec{C D} = (7; 7)$ :

Ta có: $\frac{7}{2} = \frac{7}{2}$ nên hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ cùng phương.

Vậy hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ cùng phương.

c) Với A(1; 2), B(3; 4), C(‒1; ‒2) và E(a; 1) ta có: $\vec{A C} = (- 2; - 4)$ và $\vec{B E} = (a - 3; - 3)$

Hai vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương khi và chỉ khi $\frac{a - 3}{- 2} = \frac{- 3}{- 4}$

Û (‒ 4).(a – 3) = (‒3). (‒2)

Û ‒ 4a + 12 = 6

Û 4a = 6

$\Leftrightarrow a = \frac{3}{2} .$

Vậy $a = \frac{3}{2}$ thì hai vectơ $\vec{A C}$ và $\vec{B E}$ cùng phương.

d) Với $a = \frac{3}{2} \Rightarrow E (\frac{3}{2}; 1)$

Với A(1; 2) và $E (\frac{3}{2}; 1)$ $\Rightarrow \vec{A E} = (\frac{1}{2}; - 1)$

Ta có: $\vec{A B} = (2; 2)$ và $\vec{A C} = (- 2; - 4)$

Tồn tại hai số thực m và n thỏa mãn: $\vec{A E} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{2} = m .2 + n . (- 2) \\ 1 = m .2 + n . (- 4) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m - 2 n = \frac{1}{2} \\ 2 m - 4 n = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 0 \\ n = - \frac{1}{4} \end{cases}$

$\Rightarrow \vec{A E} = 0. \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C} = - \frac{1}{4} \vec{A C}$

Vậy $\vec{A E} = - \frac{1}{4} \vec{A C}$ .

Bài 4.37 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0} .$ Chứng minh rằng $\frac{1}{|\vec{a}|} . \vec{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ .

Lời giải

Ta thấy $\frac{1}{|\vec{a}|} > 0 (\vec{a} \neq \vec{0})$ nên $\frac{1}{|\vec{a}|} . \vec{a}$ là vectơ cùng hướng với vectơ $\vec{a} .$

Độ dài của vectơ $\frac{1}{|\vec{a}|} . \vec{a}$ là: $|\frac{1}{|\vec{a}|} . \vec{a}| = |\frac{1}{|\vec{a}|}| . |\vec{a}| = \frac{1}{|\vec{a}|} . |\vec{a}| = 1$

Vậy vectơ $\frac{1}{|\vec{a}|} . \vec{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ ) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ .

Bài 4.38 trang 72 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}$ với $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ . Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$ . Chứng minh rằng:

a) Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} . \vec{a}; \vec{u} . \vec{b}) .$

b) $\vec{u} = (\vec{u} . \vec{a}) . \vec{a} + (\vec{u} . \vec{b}) . \vec{b} .$

Lời giải

Cho ba vectơ a, vecto b, vecto u với | vecto a| = | vecto v| = 1 và vecto a vuông góc vecto b . (ảnh 1)

Bài 4.39 trang 72 Toán 10 Tập 1: Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15°E (xem chú thích ở Bài 3.8, trang 42) với vận tốc có độ lớn bằng 20km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.

Lời giải

Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng S15°E (ảnh 1)

Trong đó:

$\vec{O E}$ là hướng đông, $\vec{OS}$ là hướng nam, $\vec{O W}$ là hướng tây, $\vec{O N}$ là hướng bắc;

$\vec{O A}$ biểu diễn vectơ vận tốc của dòng nước ${\vec{v}}_{n}$ và $O A = |{\vec{v}}_{n}| = 3$ ;

$\vec{O B}$ là hướng S15⁰E biểu diễn vectơ vận tốc chuyển động của ca nô ${\vec{v}}_{c a n o}$ tạo với $\vec{O S}$ một góc 15° và $O B = |{\vec{v}}_{c a n o}| = 20$ ;