Giải bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto

1. Góc giữa hai vecto

Giải Toán 10 trang 66 Tập 1

HĐ 1 trang 66 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ →AB và →AC. Hãy tìm số đo các góc giữa →BC và →BD, →DA và →DB.

Lời giải

Số đo góc giữa hai vectơ →BC và →BD là góc CBD bằng 30°.

Xét tam giác BCD có ^BCA là góc ngoài của tam giác tại đỉnh C nên:

^BCA=^CBD+^CDB⇒^CDB=^BCA−^CBD=80°−30°=50°

⇒^ADB=50° 

Suy ra số đo góc giữa hai vectơ →DA và →DB là góc ADB bằng 50°.

Vậy số đo góc giữa hai vectơ →BC và →BD bằng 30° và số đo góc giữa hai vectơ →DA và →DB bằng 50°.

Câu hỏi trang 66 Toán 10 Tập 1: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0^°, bằng 180^°.

Lời giải

Góc giữa hai vectơ bằng 0° khi hai vectơ cùng hướng.

Góc giữa hai vecto bằng 180° khi hai vectơ ngược hướng.

Luyện tập 1 trang 66 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC. Tính (→AB,→BC).

Lời giải

Giải Toán 10 trang 67 Tập 1

Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1: Khi nào tích vô hướng của hai vectơ →u,→v là một số dương? Là một số âm?

Lời giải

Tích vô hướng của hai vectơ →u,→v≠→0 được tính bởi công thức sau:

→u.→v=|→u|.|→v|.cos(→u,→v).

Vì |→u|>0,|→v|>0 nên dấu của tích vô hướng →u.→v phụ thuộc vào dấu của cos(→u,→v).

+) Tích vô hướng của hai vectơ →u.→v là một số dương thì cos(→u,→v)> 0

Khi đó góc giữa hai vectơ →u,→v là góc nhọn hoặc bằng 0°.

+) Tích vô hướng của hai vectơ →u,→v là một số âm thì cos(→u,→v)<0. 

Khi đó góc giữa hai vectơ →u,→v là góc tù hoặc bằng 180°.

Vậy khi 0°≤(→u,→v)<90° thì tích vô hướng của hai vectơ →u,→v là một số dương;

Khi 90°<(→u,→v)≤180° thì tích vô hướng của hai vectơ →u,→v là một số âm.

Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1: Khi nào thì (→u.→v)2=→u2.→v2?

Lời giải

2. Tích vô hướng của hai vecto

Luyện tập 2 trang 67 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b,

AB = c. Hãy tính →AB.→AC theo a, b, c.

Lời giải

Ta có: 

→AB.→AC=AB.AC.cos(→AB.→AC)

⇒→AB.→AC=AB.AC.cosBAC

⇒→AB.→AC=bc.cosBAC

Xét tam giác ABC, theo định lí Cosin ta có: cos^BAC=AC2+AB2−BC22AC.AB 

⇒cos^BAC=b2+c2−a22bc

⇒→AB.→AC=bc.b2+c2−a22bc

=b2+c2−a22

Vậy →AB.→AC=b2+c2−a22.

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

Giải Toán 10 trang 68 Tập 1

HĐ 2 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ cùng phương →u=(x;y) và →v=(kx;ky). Hãy kiểm tra công thức →u.→v=k(x2+y2) theo từng trường hợp sau:

a) →u=→0;

b) →u≠→0 và k≥0;

c) →u≠→0 và k < 0.

Lời giải

Ta có: →u=(x;y) ⇒|→u|=√x2+y2 

→v=(kx;ky)⇒|→v|=√(kx)2+(ky)2=√k2x2+k2y2=√k2(x2+y2)

=|k|√x2+y2→v=(kx;ky)⇒∣∣→v∣∣=√(kx)2+(ky)2=√k2x2+k2y2=√k2(x2+y2)=|k|√x2+y2

a) Vì vectơ →0 vuông góc với mọi vectơ nên vectơ →v vuông góc với →u=→0 

Do đó →u⊥→v⇔→u.→v=0

Ta có: →u=→0⇒→u=(0;0)⇒{x=0y=0

Do đó k(x2+y2)=k(02+02)=0

⇒→u.→v=k(x2+y2)=0

Vậy với →u=→0 thì công thức →u.→v=k(x2+y2) đúng.

b) Vì k ≥ 0 nên vectơ →v=(kx;ky)cùng hướng với vectơ →u=(x;y)

⇒(→u,→v)=0°

Do đó →u.→v=|→u||→v|cos(→u,→v)

=√x2+y2.|k|√x2+y2.cos0°=k.(x2+y2).1=k(x2+y2)

Vậy với →u≠→0 và k≥0 thì công thức →u.→v=k(x2+y2) đúng.

c) Vì k < 0 nên vectơ →v=(kx;ky)ngược hướng với vectơ →u=(x;y)

 ⇒(→u,→v)=180°

Do đó: →u.→v=|→u||→v|cos(→u,→v)

=√x2+y2.|k|√x2+y2.cos180°=−k.(x2+y2).(−1)=k(x2+y2)

Vậy với →u≠→0 và k < 0 thì công thức →u.→v=k(x2+y2) đúng.

HĐ 3 trang 68 Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương →u=(x;y) và →v=(x';y').

a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho →OA=→u,→OB=→v.

b) Tính AB², OA², OB² theo tọa độ của A và B.

c) Tính →OA.→OB theo tọa độ của A, B.

Lời giải

a) Vì →OA=→u mà →u=(x;y) nên →OA=(x;y) suy ra A(x; y).

Vì →OB=→v mà →v=(x';y') nên →OB=(x';y') suy ra B(x'; y').

b) +) Ta có: A(x; y) và B(x'; y') ⇒→AB(x'−x;y'−y)

⇒AB=√(x'−x)2+(y'−y)2

⇒AB2=(x'−x)2+(y'−y)2.

+) Ta có :

→OA=(x;y)⇒OA=√x2+y2⇒OA2=x2+y2.

+) Ta có: 

→OB=(x';y')⇒OB=√x'2+y'2⇒OB2=x'2+y'2.

Vậy AB2=(x'−x)2+(y'−y)2; OA2=x2+y2 và OB2=x'2+y'2.

c) Ta có: →OA.→OB=OA.OB.cos→OA;→OB=OA.OB.cos^AOB 

Xét tam giác OAB, theo định lí Cosin ta có: 

Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ →u=(0;−5),→v=(√3;1)

Lời giải

Vậy →u.→v=−5 và góc giữa hai vecto →u,→v bằng 120°.

HĐ 4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ  →u=(x1;y1), →v=(x2;y2), →w=(x3;y3).

a) Tính →u(→v+→w),→u.→v+→u.→w theo tọa độ các vectơ →u,→v,→w.

b) So sánh →u(→v+→w) và →u.→v+→u.→w.

c) So sánh →u.→v và →v.→u.

Lời giải

a) Với →u=(x1;y1),→v=(x2;y2) và →w=(x3;y3)  ta có:

+) →v+→w=(x2+x3;y2+y3)

⇒→u(→v+→w)=x1.(x2+x3)+y1(y2+y3)

=x1x2+x1x3+y1.y2+y1.y3⇒→u(→v+→w)=x1.(x2+x3)+y1(y2+y3)=x1x2+x1x3+y1.y2+y1.y3.

+) →u.→v=x1.x2+y1.y2 và →u.→w=x1.x3+y1.y3

⇒→u.→v+→u.→w=x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3.

b) Theo câu a ta có:

→u(→v+→w)=x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3 và →u.→v+→u.→w=x1.x2+y1.y2+x1.x3+y1.y3

⇒→u(→v+→w)=→u.→v+→u.→w.

Vậy →u(→v+→w)=→u.→v+→u.→w.

c) Ta có: →u.→v=x1.x2+y1.y2 và →v.→u=x2.x1+y2.y1=x1.x2+y1.y2.

⇒→u.→v=→v.→u.

Vậy →u.→v=→v.→u.

Giải Toán 10 trang 70 Tập 1

Luyện tập 4 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8). Gọi H là trực tâm tam giác.

a) Chứng minh rằng →AH.→BC=→0 và →BH.→CA=→0.

b) Tìm tọa độ của H.

c) Giải tam giác ABC.

Lời giải

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên:

+) AH⊥BC⇒→AH⊥→BC⇒→AH.→BC=0;

+) BH⊥AC⇒→BH⊥→AC⇒→BH.→AC=0.

Vậy →AH.→BC=0 và →BH.→AC=0.

b) Gọi tọa độ điểm H là H(x; y).

Ta có: A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) và H(x; y).

⇒→AH=(x+1;y−2);→BC=(0;9) và →BH=(x−8;y+1);→AC=(9;6)

Suy ra →AH.→BC=(x+1).0+(y−2).9=9(y−2).

Và

→BH.→AC=(x−8).9+(y+1).6=9x−72+6y+6=9x+6y−66−−→BH.−−→AC=(x−8).9+(y+1).6=9x−72+6y+6=9x+6y−66.

Theo câu a ta có: →AH.→BC=0Û 9(y – 2) = 0 Û y – 2 = 0 Û y = 2.

Và  →BH.→AC=0Û 9x + 6y – 66 = 0.

Thay y = 2 vào biểu thức 9x + 6y – 66 = 0 ta được: 9x + 6.2 – 66 = 0

Û 9x – 54 = 0

Û 9x = 54

Û x = 6

⇒ H(6; 2)

Vậy H(6; 2).

c) Với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) ta có:

Xét tam giác ABC, theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có: ^BAC+^ABC+^ACB=180°

⇒^ACB=180°−(^BAC+^ABC)  

⇒^ACB≈180°−(52°8'+71°34')≈56°18'

Vậy 

AB=3√10,AC=3√13,BC=9,^BAC≈52°8',^ABC≈71°34',^ACB≈56°18'.AB=3√10,AC=3√13,BC=9,ˆBAC≈52°8′,ˆABC≈71°34′,ˆACB≈56°18′.

Vận dụng trang 70 Toán 10 Tập 1: Một lực →F không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực →F được phân tích thành hai lực thành phần →F1 và →F2 (→F=→F1+→F2) 

a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực →F (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực →F1 và →F2

b) Giả sử các lực thành phần →F1 và →F2 tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực →F và lực →F1

Lời giải

a) Một lực →F tác động lên một vật làm vật dịch chuyển tịnh tiến theo một vectơ độ rời →s.

+) Công sinh bởi lực →F là A→F=→F.→s

+) Công sinh bởi lực →F1 là A→F1=→F1.→s

+) Công sinh bởi lực →F2 là A→F2=→F2.→s

Suy ra A→F1+A→F2=→F1.→s+→F2.→s=→F1+→F2.→s

Mà →F=→F1+→F2 do đó A→F1+A→F2=(→F1+→F2).→s=→F.→s=A→F

Vậy A→F=A→F1+A→F2.

b) +) Công sinh bởi lực →F là A→F=→F.→s=F.s.cos(→F,→s)

Do vật chuyển động thẳng từ A đến B nên →s cùng hướng với →F1.

Suy ra (→F,→s)=→F,→F1 

Do đó A→F=F.s.cos→F,→F1

Ta lại có: F1=F.cos→F,→F1

⇒A→F=F1.s (1)

+) Công sinh bởi lực →F1 là A→F1=→F1.→s=F1.s.cos→F1,→s

Do →s cùng hướng với →F1 nên→F1,→s=0°

⇒A→F1=F1.s.cos00=F1.s(2)

Từ (1) và (2) suy ra A→F=A→F1(=F1.s).

Vậy A→F=A→F1.

Bài tập

Bài 4.21 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ →a và →b trong mỗi trường hợp sau:

a) →a=(−3;1),→b=(2;6);

b) →a=(3;1),→b=(2;4);

c) →a=(−√2;1),→b=(2;−√2);

Lời giải

Bài 4.22 trang 70 Toán 10 Tập 1: Tìm điều kiện của →u,→v để:

a) →u.→v=|→u|.|→v|;

b) →u.→v=−|→u|.|→v|;

Lời giải

a) Ta có: →u.→v=|→u|.|→v|.cos(→u,→v)

Để →u.→v=|→u|.|→v| thì |→u|.|→v|.cos(→u,→v)=|→u|.|→v|

⇔cos(→u,→v)=1⇔(→u,→v)=0°

Suy ra →u,→v là hai vectơ cùng hướng.

Vậy hai vectơ →u,→v cùng hướng thì →u.→v=|→u|.|→v|.

b) Ta có: →u.→v=|→u|.|→v|.cos(→u,→v)

Để →u.→v=−|→u|.|→v| thì |→u|.|→v|.cos(→u,→v)=−|→u|.|→v|

⇔cos(→u,→v)=−1⇔(→u,→v)=180°

Suy ra →u,→v là hai vectơ ngược hướng.

Vậy hai vectơ →u,→v ngược hướng thì →u.→v=−|→u|.|→v|.

Bài 4.23 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(‒4; 3). Gọi M(t; 0) là một điểm thuộc trục hoành.

a) Tính →AM.→BM theo t;

b) Tính t để ^AMB=90°.

Lời giải

a) Với A(1; 2), B(‒4; 3) và M(t; 0) ta có:

→AM=(t−1;−2),→BM=(t+4;−3)

⇒→AM.→BM=(t−1)(t+4)+(−2).(−3)=t2+3t−4+6=t2+3t+2.

b) Để ^AMB=90° thì →MA.→MB=0⇔→AM.→BM=0

⇔t2+3t+2=0⇔(t+1)(t+2)=0⇔[t=−1t=−2

Vậy với t∈{−1;−2} thì ^AMB=90°.

Bài 4.24 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải

+) Theo định lí cosin, ta có:

cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC

=(3√5)2+(3√5)2−622.3√5.3√5

=5490=35⇒ˆA≈53°8'

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

⇒ˆB=ˆC=1800−ˆA2

≈180°−53°8'2

=63°26'.

Vậy :

AB=AC=3√5,BC=6,ˆA≈53°8',ˆB=ˆC≈63°26'.

b) Giả sử trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x; y).

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên AH⊥BC;BH⊥AC⇔→AH⊥→BC;→BH⊥→AC

Với A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2) và H(x; y) ta có:

→AH=(x+4;y−1);→BC=(0;−6);→BH=(x−2;y−4);→AC=(6;−3)

Vì →AH⊥→BC nên →AH.→BC=0⇔ (x + 4).0 + (y – 1).(‒6) = 0

⇔ ‒6.(y – 1) = 0

⇒y = 1.

Vì →BH⊥→AC nên →BH.→AC=0Û (x – 2).6 + (y – 4).(‒3) = 0

(x – 2).2 + (y – 4).(‒1) = 0 Û 2x – y = 0.

Mà y = 1 ⇒2x−1=0⇔x=12.

Vậy toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là H12;1.

Bài 4.25 trang 70 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:

SABC=12→AB2.→AC2−→AB.→AC2.

Lời giải

Cách 1:

Cách 2:

Bài 4.26 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M,

MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Lời giải

MA2+ MB2+ MC2=→MA2+→MB2+→MC2

=→MG+→GA2+→MG+GB2+→ MG +→GC)2 (Quy tắc ba điểm)

=→MG2+2→MG.→GA+→GA2+→MG2+2→MG.

→GB+→GB2+→MG2+2→MG.→GC+→GC2

=(→MG2+→MG2+→MG2)+(2→MG.→GA+2→MG.

→GB+2→MG.→GC)+→GA2+→GB2+→GC2

=3→MG2+2→MG.(→GA+→GB+→GC)+→GA2+→GB2+→GC2

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên →GA+→GB+→GC=→0 (tính chất trọng tâm tam giác)

⇒→MG.(→GA+→GB+→GC)=→MG.→0=0

⇒MA2+ MB2+ MC2=3→MG2+→GA2+→GB2+→GC2.

MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².

Vậy MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC².