Cho tam giác ABC, đường thẳng d và ba số $\alpha ,\beta ,\gamma$ sao cho $\alpha +\beta +\gamma \ne 0$ . Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức $T=\left|\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}+\gamma \overrightarrow{MC}\right|$  đạt giá trị nhỏ nhất.  

Cho tam giác ABC và A'B'C' là các tam giác thay đổi, có trọng tâm G và G' cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $T=AA\text{'}+BB\text{'}+CC\text{'}$

Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất $T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

Giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số  $f\left(x\right)=\left|2m-3x\right|$trên $\left[-1;2\right]$  đạt giá trị nhỏ nhất thỏa mãn mệnh đề nào sau đây

Cho các số thực $x,y$  thỏa mãn $x^2+y^2=1+xy$ . Gọi $M,m$  lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $S=x^4+y^4-x^2{y}^2$  . Khi đó giá trị của $M+m$  là

Cho hàm số $y=\left|x^2+2x+3m\right|$  ( m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  để giá trị lớn nhất của hàm số trên $\left[-2;1\right]$  bằng 7 .

Cho parabol $\left(P\right):y=-x^2+2mx-3m^2+4m-3$ ( m là tham số ) có đỉnh I. Gọi A,B  là 2 điểm thuộc Ox sao cho $AB=2018$ . Khi đó $△IAB$ có diện tích nhỏ nhất bằng :

Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|x^4-4x^2+5+m\right|$  trên đoạn $[1;\sqrt{3}]$  là giá trị nhỏ nhất.

Cho đồ thị hàm số $\left(C\right):y=a.x^2+bx+c$có đỉnh $I\left(-1;2\right)$ . Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a\left(2a+6b\right)-2b\left(c+3b\right)-4c\left(3-b\right)}{a\left(3c+3b\right)+2}$ là M khi hàm số có pt: $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1.$Tính $Q=M^2+a_1^2+b_1+c_1^3$

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ , thỏa mãn $\left|f\left(x\right)\right|\le 1,\forall x\in \text{[}-1;1]$  và biểu thức $\frac{8}{3}{a}^2+2b^2$  đạt giá trị lớn nhất. Tính $P=5a+11b+c$ , biết $a>0$

Cho hàm số: $y=f\left(x\right)=m{x}^2-2x-m-1\left(C\right)$

Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số (C) đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số $y=x^2-2x+2\sqrt{x^2-2x}+m^2-2018m$ . Tổng S tất cả các giá trị nguyên dương của m  thỏa mãn điều kiện: $S\le 2019$  (với S là giá trị nhỏ nhất của hàm số khi $x\ge 2$ ) bằng:

Cho hàm số $f\left(x\right)=2x^2+3x-7$  và ba số thực $a,b,c$  thỏa mãn $a\ge 5,a+b\ge 8,a+b+c\ge 10.$  Gọi M  là giá trị nhỏ nhất của biểu thức $f\left(a\right)+f\left(b\right)+f\left(c\right).$  Giá trị M  là

Cho hàm số $y=2x^2+(6-m)x+3-2m\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(1\right).$  Giá trị để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$  sao cho biểu thức $A=\frac{1}{{(x_1+2)}^{2018}}+\frac{1}{{(x_2+2)}^{2018}}$  đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho phương trình bậc hai $x^2-2mx+m^2-2m+4=0$  ( x là ẩn và m  là tham số). Khi đó  thuộc đoạn nào để phương trình đã cho có hai nghiệm không âm $x_1,x_2$  và giá trị của  $P=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}$ là nhỏ nhất.

Gọi a, b các số thực để biểu thức $F=\frac{ax+b}{x^2+1}$  đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng -1. Tính giá trị của biểu thức $P=a^2+b$ .

Cho parabol $\left(P\right):y=x^2+2018x+3$  và đường thẳng $d:y=mx+4$ . Biết d  cắt (P)  tại hai điểm phân biệt A,B  có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$  .Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=\left|x_1-x_2\right|$ ?

Cho hàm số: $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+2\left(a>0\right)$ . Biết rằng hàm số đồng biến trên $\left(-1;+\infty \right)$ . Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{8a^2}{3a^2+2ab+b^2}$  là:

Tìm m  để hàm số $y=x^2-2mx-m^2+5m-2$  có giá trị nhỏ nhất đạt giá trị lớn nhất. Giả sử $m=\frac{a}{b}$ , $\frac{a}{b}$  là phân số tối giản $b>0$, . Tính $a+b$  .

Cho hàm số $y=x^2-5x+8$  có đồ thị là (P) và hai điểm $A\left(4;-1\right)$ ,$B\left(10;5\right)$ . Biết điểm $M\left(x_0;y_0\right)$  trên (P) thỏa mãn diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Tính tổng $x_0+y_0$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

b) $y=x(x+1)(x-2)(x-3)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) $y=x^2-4\sqrt{16-x^2}-13$

Cho hàm số $y=a{x}^2+bx+c$  có đồ thị đi qua điểm $A\left(1;1\right)$   và cắt trục hoành tại hai điểm  B, C  sao cho tam giác $ABC$  vuông đỉnh $A$  và có diện tích $S\le \sqrt{2}$ . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số . Tìm giá trị lớn nhất của M.

Biết rằng parabol $\left(P\right):y=a{x}^2+bx+c$cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ thuộc đoạn $\left[0;2\right]$ . Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{8a^2-6ab+b^2}{4a^2-2ab+ac}$  thuộc khoảng nào sau đây?

Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Đường thẳng AM cắt BC tại D, BM cắt CA tại E và CM cắt AB tại F. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}$  thì M là trọng tâm tam giác ABC.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H là trực tâm tam giác . A', B', C' là các điểm thỏa mãn:$\overrightarrow{OA\text{'}}=3\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB\text{'}}=3\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC\text{'}}=3\overrightarrow{OC}$.

Chứng minh rằng H là trọng tâm tam giác A'B'C'.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi G là trọng tâm tam giác ABC. A', B', C' là các điểm thỏa mãn:$\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OA\text{'}},\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{OB\text{'}},\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OC\text{'}}$. Chứng minh rằng G là trực tâm tam giác A'B'C'.

Cho tứ giác ABCD. Giả sử tồn tại điểm O sao cho $OA=OB=OC=OD$   và $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$ . Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.

Cho 4 điểm A, B, C, D; I là trung điểm AB và J thuộc CD thoả mãn $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{IJ}$ . Chứng minh J là trung điểm của CD.

Cho  ABC có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho $AA\text{'},BB\text{'},CC\text{'}$  đồng quy và thoả mãn $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$  Chứng minh $AA\text{'},BB\text{'},CC\text{'}$  là các trung tuyến của tam giác ABC

Cho ABC có BB', CC' là các trung tuyến, A' là điểm trên BC thoả mãn $\overrightarrow{AA\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=\overrightarrow{0}$ . Chứng minh AA' cũng là trung tuyến của tam giác ABC.