Cho ABC có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho AA', BB', CC' đồng quy và thoả mãn AA'→+BB'→+CC'→=0→ Chứng minh AA', BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC

Cho ABC có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho AA',BB', CC'

Bình An

Đã trả lời bởi chuyên gia

đã hỏi trong Lớp 10 Toán học

· 16:53 05/01/2023

Đã trả lời bởi chuyên gia

Cho ABC có A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho $A A', B B', C C'$ đồng quy và thoả mãn $\vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0}$ Chứng minh $A A', B B', C C'$ là các trung tuyến của tam giác ABC

Trả Lời

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

1 câu trả lời 142

Quang Minh

3 năm trước

Giả sử $\vec{A' B} = k \vec{A' C}, \vec{B' C} = m \vec{B' A}, \vec{C' A} = n \vec{C' B}$

$\vec{A' B} = k \vec{A' C} \Leftrightarrow \vec{A B} - \vec{A A'} = k (\vec{A C} - \vec{A A'}) \Leftrightarrow \vec{A A'} = \frac{\vec{A B} - k \vec{A C}}{1 - k}$

Tương tự ta có $\vec{B B'} = \frac{\vec{B C} - m \vec{B A}}{1 - m} = \frac{(m - 1) \vec{A B} + \vec{A C}}{1 - m}$

$\vec{C C'} = \frac{\vec{C A} - n \vec{C B}}{1 - n} = \frac{- n \vec{A B} + (n - 1) \vec{A C}}{1 - n}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{A A'} + \vec{B B'} + \vec{C C'} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow (\frac{1}{1 - k} - 1 - \frac{n}{1 - n}) \vec{A B} + (\frac{- k}{1 - k} + \frac{1}{1 - m} - 1) \vec{A B} = \vec{0} \end{array}$

Suy ra $\Rightarrow \frac{1}{1 - k} - 1 - \frac{n}{1 - n} = \frac{- k}{1 - k} + \frac{1}{1 - m} - 1 = 0 \Rightarrow k = m = n$

Mặt khác theo định lí Xêva ta có $k m n = - 1$ nên $k = m = n = - 1$

Vậy $A A', B B', C C'$ là các trung tuyến của tam giác ABC

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?

1 câu trả lời 142

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 10