Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau

Cho ba véc tơ $\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$ đôi một không cùng phương và thỏa mãn điều kiện :

$\{\begin{matrix} m \vec{a} + n \vec{b} + p \vec{c} = \vec{0} \\ m' \vec{a} + n' \vec{b} + p' \vec{c} = \vec{0} \end{matrix} (m, m' \neq 0)$

Chứng minh rằng : $\frac{m}{m'} = \frac{n}{n'} = \frac{p}{p'}$ . Thật vậy :

Dễ thấy $m, m' \neq 0$ thì suy ra ngay n, n’, p, p’ cũng phải khác không.

Từ giả thiết ta có : $\{\begin{matrix} \vec{a} = \frac{n}{m} \vec{b} + \frac{p}{m} \vec{c} \\ \vec{a} = \frac{n'}{m'} \vec{b} + \frac{p'}{m'} \vec{c} \end{matrix}$

vì một véc tơ chỉ phân tích được một cách duy nhất qua hai véc tơ không cùng phương nên $\frac{n}{m} = \frac{n'}{m'}; \frac{p}{m} = \frac{p'}{m'} \Rightarrow \frac{m}{m'} = \frac{n}{n'} = \frac{p}{p'}$

Trở lại bài toán

Ta có $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F} = \vec{0} \Leftrightarrow$ $\frac{A D}{M A} \vec{M A} + \frac{B E}{M B} \vec{M B} + \frac{C F}{M C} \vec{M C} = \vec{0}$

Mặt khác $\frac{A D}{M A} = \frac{S_{A B D}}{S_{A B M}} = \frac{S_{A D C}}{S_{A C M}} = \frac{S}{S - S_{a}}$ , tương tự $\frac{B E}{M B} = \frac{S}{S - S_{b}}$ và $\frac{C F}{M C} = \frac{S}{S - S_{c}}$

(với $S = S_{A B C}, S_{a} = S_{M B C}, S_{b} = S_{M C A}, S_{c} = S_{M A B}$ )

Do đó ta có $\frac{\vec{M A}}{S - S_{a}} + \frac{\vec{M B}}{S - S_{b}} + \frac{\vec{M C}}{S - S_{c}} = \vec{0}$

Mặt khác ta cũng có $S_{a} \vec{M A} + S_{b} \vec{M B} + S_{c} \vec{M C} = \vec{0}$

Áp dụng bổ đề suy ra $\frac{\frac{1}{S - S_{a}}}{S_{a}} = \frac{\frac{1}{S - S_{b}}}{S_{b}} = \frac{\frac{1}{S - S_{c}}}{S_{c}} \Leftrightarrow S_{a} = S_{b} = S_{c}$ hay M trùng trọng tâm tam giác ABC

...Xem thêm

Answer 2