4.4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nghiệm Ví dụ 1: Cho phương trình: x²-(m-1)x-m²+m-2=0 Gọi 2 nghiệm của phương trình là x, và x2. Tìm giá trị của m để x1²+x2² đạt giá trị nhỏ nhất

Trúc Linh Hỏi từ APP VIETJACK

· 21:38 05/04/2025

4.4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình: x²-(m-1)x-m²+m-2=0

Gọi 2 nghiệm của phương trình là x, và x2. Tìm giá trị của m để x1²+x2² đạt giá trị nhỏ nhất

Trả Lời

Hỏi chi tiết

Trả lời trong APP VIETJACK

Quảng cáo

2 câu trả lời 72

Sang Phạm

4 tháng trước

Phương trình:
$x^2 - (m - 1)x - m^2 + m - 2 = 0$

Gọi hai nghiệm là $x_1, x_2$ , ta có:

- $x_1 + x_2 = m - 1$
- $x_1 x_2 = -m^2 + m - 2$

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$A = x_1^2 + x_2^2$

Dùng công thức:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Thay Viète vào:

$A = (m - 1)^2 - 2(-m^2 + m - 2) = (m - 1)^2 + 2(m^2 - m + 2)$

$A = (m^2 - 2m + 1) + 2m^2 - 2m + 4 = 3m^2 - 4m + 5$

Đây là hàm bậc hai, hệ số $a = 3 > 0$ ⇒ parabol hướng lên ⇒ giá trị nhỏ nhất tại:

$m = \dfrac{-(-4)}{2 \cdot 3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

Thay vào A:

$A = 3\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\dfrac{2}{3}\right) + 5 = 3 \cdot \dfrac{4}{9} - \dfrac{8}{3} + 5 = \dfrac{12}{9} - \dfrac{24}{9} + \dfrac{45}{9} = \dfrac{33}{9} = \boxed{\dfrac{11}{3}}$

Giá trị nhỏ nhất của $x_1^2 + x_2^2$ là $\boxed{\dfrac{11}{3}}$ khi $\boxed{m = \dfrac{2}{3}}$ .

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

xixin

4 tháng trước

Để tìm giá trị của $m$ sao cho $x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất cho phương trình:

$x^2 - (m-1)x - (m^2 - m + 2) = 0$

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Trong trường hợp này, $a = 1$ , $b = -(m-1)$ , và $c = -(m^2 - m + 2)$ . Do đó:

$x_1 + x_2 = m - 1$
$x_1 x_2 = -(m^2 - m + 2) = m^2 - m - 2$

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

$x_1^2 + x_2^2 = (m - 1)^2 - 2(m^2 - m - 2)$

$x_1^2 + x_2^2 = (m - 1)^2 - 2(m^2 - m - 2)$
$= (m - 1)^2 - 2m^2 + 2m + 4$
$= m^2 - 2m + 1 - 2m^2 + 2m + 4$
$= -m^2 + 5$

Giá trị nhỏ nhất của $m^2$ là 0, khi $m = 0$ . Do đó:

$x_1^2 + x_2^2 \text{ đạt giá trị nhỏ nhất là } 5 \text{ khi } m = 0.$

Tóm lại, giá trị của $m$ để $x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất là $m = 0$ và giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 5.

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 câu trả lời 72

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9