Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh tứ giác \( MEHB \) nội tiếp

Ta chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác \( MEHB \) bằng \( 180^\circ \), ví dụ:
\[
\angle MEB + \angle MHB = 180^\circ
\]

⇒ Tam giác \( MOA \) vuông tại \( A \)
⇒ \( \angle MAO = 90^\circ \)
Mà \( OH \perp AB \) tại \( H \) ⇒ \( \angle MHB = 90^\circ \)

Mặt khác, từ hình học đường tròn:
- \( \angle MEB = \angle MCB \) (do cùng chắn cung \( MB \))
- \( \angle MCB = 90^\circ \) (vì \( BC \) là đường kính, tam giác nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ \( \angle MEB = 90^\circ \), \( \angle MHB = 90^\circ \)
→ Tổng: \( \angle MEB + \angle MHB = 180^\circ \)

Suy ra: Tứ giác \( MEHB \) nội tiếp

b) Chứng minh \( MB = MA \) và \( EA \perp EH \)

Chứng minh \( MB = MA \)

- Tam giác \( MOA \) vuông tại \( A \), do \( MA \) là tiếp tuyến tại \( A \), nên \( MA \perp OA \)
- Tương tự, từ phần trên, tam giác \( MCB \) vuông tại \( B \) (vì \( BC \) là đường kính ⇒ \( \angle MCB = 90^\circ \))

→ Tam giác \( MOA \) và tam giác \( MOB \) vuông tại \( A \) và \( B \), cùng chung cạnh huyền \( MO \)

⇒ \( MA = MB \)

Đpcm

Chứng minh \( EA \perp EH \)

Ta có:
- \( E \) nằm trên đường tròn, \( C \) là điểm đối xứng của \( B \) qua tâm \( O \) (vì \( BC \) là đường kính)
- \( EA \) nối từ \( E \) đến \( A \), \( EH \) nối từ \( E \) đến chân đường vuông góc từ tâm \( O \) xuống \( AB \)

- Tứ giác \( MEHB \) nội tiếp ⇒ \( \angle BEH = \angle BMH \)

- Mà \( MB = MA \) ⇒ tam giác \( AMB \) cân tại \( M \)

Suy ra các góc \( \angle BEH \) và \( \angle AEM \) đối đỉnh nhau qua đường trung trực, nên bằng nhau và tổng \( \angle AEH = 90^\circ \)

✅ Suy ra: \( EA \perp EH \)

- a) \( MEHB \) là tứ giác nội tiếp
- b) \( MB = MA \), và \( EA \perp EH \)

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh tứ giác \( MEHB \) nội tiếp

Ta chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác \( MEHB \) bằng \( 180^\circ \), ví dụ:
\[
\angle MEB + \angle MHB = 180^\circ
\]

⇒ Tam giác \( MOA \) vuông tại \( A \)
⇒ \( \angle MAO = 90^\circ \)
Mà \( OH \perp AB \) tại \( H \) ⇒ \( \angle MHB = 90^\circ \)

Mặt khác, từ hình học đường tròn:
- \( \angle MEB = \angle MCB \) (do cùng chắn cung \( MB \))
- \( \angle MCB = 90^\circ \) (vì \( BC \) là đường kính, tam giác nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ \( \angle MEB = 90^\circ \), \( \angle MHB = 90^\circ \)
→ Tổng: \( \angle MEB + \angle MHB = 180^\circ \)

Suy ra: Tứ giác \( MEHB \) nội tiếp

b) Chứng minh \( MB = MA \) và \( EA \perp EH \)

Chứng minh \( MB = MA \)

- Tam giác \( MOA \) vuông tại \( A \), do \( MA \) là tiếp tuyến tại \( A \), nên \( MA \perp OA \)
- Tương tự, từ phần trên, tam giác \( MCB \) vuông tại \( B \) (vì \( BC \) là đường kính ⇒ \( \angle MCB = 90^\circ \))

→ Tam giác \( MOA \) và tam giác \( MOB \) vuông tại \( A \) và \( B \), cùng chung cạnh huyền \( MO \)

⇒ \( MA = MB \)

Đpcm

Chứng minh \( EA \perp EH \)

Ta có:
- \( E \) nằm trên đường tròn, \( C \) là điểm đối xứng của \( B \) qua tâm \( O \) (vì \( BC \) là đường kính)
- \( EA \) nối từ \( E \) đến \( A \), \( EH \) nối từ \( E \) đến chân đường vuông góc từ tâm \( O \) xuống \( AB \)

- Tứ giác \( MEHB \) nội tiếp ⇒ \( \angle BEH = \angle BMH \)

- Mà \( MB = MA \) ⇒ tam giác \( AMB \) cân tại \( M \)

Suy ra các góc \( \angle BEH \) và \( \angle AEM \) đối đỉnh nhau qua đường trung trực, nên bằng nhau và tổng \( \angle AEH = 90^\circ \)

✅ Suy ra: \( EA \perp EH \)

- a) \( MEHB \) là tứ giác nội tiếp
- b) \( MB = MA \), và \( EA \perp EH \)

Answer 3

Tứ giác MEHB nội tiếp

Vì OH ⊥ AB (giả thiết)

nên ∠MHB = 90°.

Vì BC là đường kính của đường tròn (O) và E là một điểm trên đường tròn (khác B và C)

tam giác BEC vuông tại E (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó, ∠BEC = 90°

Vì M, E, C thẳng hàng

∠MEB = ∠CEB = 90°

Xét tứ giác MEHB có:

∠MHB = 90°

∠MEB = 90°

đỉnh H và E cùng nhìn cạnh MB dưới một góc vuông

=>

tứ giác MEHB là tứ giác nội tiếp
Tứ giác MEHB nội tiếp đường tròn đường kính MB

B/

Chứng minh MB = MA:

Ta có OH ⊥ AB tại H (giả thiết).

đường tròn (O), đường thẳng đi qua tâm O và vuông góc với dây AB thì đi qua trung điểm của dây đó. Suy ra H là trung điểm của AB

Do đó, đường thẳng chứa OH (đường thẳng OM) là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Điểm M nằm trên đường thẳng OH (theo giả thiết).

tính chất đường trung trực

MA = MB

EA ⊥ EH (tức là ∠AEH = 90°):

Vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A (giả thiết)

heo tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

ta có:

∠MAB = ∠AEB

Vì MA = MB

nên tam giác MAB cân tại M

Suy ra ∠MAB = ∠MBA (hay ∠MAB = ∠MBH).

Từ đó, ta có ∠AEB = ∠MBH.

Vì tứ giác MEHB nội tiếp

nên góc nội tiếp cùng chắn cung MH bằng nhau: ∠MEH = ∠MBH

Do đó, ta có ∠AEB = ∠MEH

Ta có: ∠AEH = ∠AEB + ∠BEH.

Mà ∠AEB = ∠MEH, nên ∠AEH = ∠MEH + ∠BEH = ∠MEB.

Chúng ta đã chứng minh ở câu a) là ∠MEB = 90° (do là góc kề bù với ∠BEC = 90°)

Vậy ∠AEH = 90°.
=>

EA ⊥ EH