Cho biểu thức

\[
P = \frac{1}{x} + 1 + \frac{1}{x-1} \cdot x^2 + \frac{1}{2x}
\]

 a. Viết điều kiện xác định:
Để biểu thức \(P\) được xác định, các mẫu số trong biểu thức không được bằng 0. Ta có:

- \(x \neq 0\) (điều kiện từ \(\frac{1}{x}\))
- \(x \neq 1\) (điều kiện từ \(\frac{1}{x-1}\))
- \(x \neq 0\) (điều kiện từ \(\frac{1}{2x}\))

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là:

\[
x \neq 0 \quad \text{và} \quad x \neq 1
\]

 b. Rút gọn:
Ta sẽ đưa biểu thức \(P\) về cùng mẫu số. Ghi chú các thành phần:

1. \(\frac{1}{x} = \frac{1}{x}\)
2. \(1 = \frac{x^2}{x^2}\)
3. \(\frac{1}{x-1} \cdot x^2 = \frac{x^2}{x-1}\)
4. \(\frac{1}{2x} = \frac{1}{2x}\)

Do đó, ta có:

\[
P = \frac{1}{x} + 1 + \frac{x^2}{x-1} + \frac{1}{2x} = \frac{1}{x} + \frac{x^2}{x-1} + 1 + \frac{1}{2x}
\]

Ta sẽ tìm mẫu số chung cho các phân thức. Mẫu số chung là \(2x(x-1)\):

\[
P = \frac{2(x-1)}{2x(x-1)} + \frac{2x^2}{2x(x-1)} + \frac{2x^2(x-1)}{2x(x-1)} + \frac{(x-1)}{2x(x-1)}
\]

Rút gọn từng phần:

\[
P = \frac{2(x - 1) + 2x^2 + 2x^2(x - 1) + (x - 1)}{2x(x-1)}
\]

Biến đổi biểu thức trên sẽ rất phức tạp. Để đơn giản, ta sẽ xử lý riêng biệt:

1. \(\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{2 + 1}{2x} = \frac{3}{2x}\)
2. Thành phần \(1 + \frac{x^2}{x-1} = \frac{x^2 + x - 1}{x-1}\)

Sau khi rút gọn, ta sẽ có:

\[
P = \frac{3}{2x} + \frac{x^2 + x - 1}{x - 1}
\]

 c. Tính giá trị của \(P\) tại \(x = \frac{1}{2}\):
Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào biểu thức rút gọn:

1. Với \(\frac{3}{2x}\):

\[
\frac{3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{1} = 3
\]

2. Với \(\frac{x^2 + x - 1}{x - 1}\):

\[
x^2 + x - 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{4}{4} = \frac{-1}{4}
\]

\[
x - 1 = \frac{1}{2} - 1 = \frac{-1}{2}
\]

Do đó:

\[
\frac{x^2 + x - 1}{x - 1} = \frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}
\]

Cuối cùng, tính \(P\) tại \(x = \frac{1}{2}\):

\[
P\left( \frac{1}{2} \right) = 3 + \frac{1}{2} = 3.5
\]

 Kết quả:
1. Điều kiện xác định: \(x \neq 0\) và \(x \neq 1\)
2. Biểu thức sau khi rút gọn là: \(P = \frac{3}{2x} + \frac{x^2 + x - 1}{x - 1}\) (có thể biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau)
3. Giá trị của \(P\) tại \(x = \frac{1}{2}\) là \(3.5\)