Cho biểu thức

$P = \frac{1}{x} + 1 + \frac{1}{x-1} \cdot x^2 + \frac{1}{2x}$

 a. Viết điều kiện xác định:
Để biểu thức $P$ được xác định, các mẫu số trong biểu thức không được bằng 0. Ta có:

- $x \neq 0$ (điều kiện từ $\frac{1}{x}$)
- $x \neq 1$ (điều kiện từ $\frac{1}{x-1}$)
- $x \neq 0$ (điều kiện từ $\frac{1}{2x}$)

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là:

$x \neq 0 \quad \text{và} \quad x \neq 1$

 b. Rút gọn:
Ta sẽ đưa biểu thức $P$ về cùng mẫu số. Ghi chú các thành phần:

1. $\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$
2. $1 = \frac{x^2}{x^2}$
3. $\frac{1}{x-1} \cdot x^2 = \frac{x^2}{x-1}$
4. $\frac{1}{2x} = \frac{1}{2x}$

Do đó, ta có:

$P = \frac{1}{x} + 1 + \frac{x^2}{x-1} + \frac{1}{2x} = \frac{1}{x} + \frac{x^2}{x-1} + 1 + \frac{1}{2x}$

Ta sẽ tìm mẫu số chung cho các phân thức. Mẫu số chung là $2x(x-1)$:

$P = \frac{2(x-1)}{2x(x-1)} + \frac{2x^2}{2x(x-1)} + \frac{2x^2(x-1)}{2x(x-1)} + \frac{(x-1)}{2x(x-1)}$

Rút gọn từng phần:

$P = \frac{2(x - 1) + 2x^2 + 2x^2(x - 1) + (x - 1)}{2x(x-1)}$

Biến đổi biểu thức trên sẽ rất phức tạp. Để đơn giản, ta sẽ xử lý riêng biệt:

1. $\frac{1}{x} + \frac{1}{2x} = \frac{2 + 1}{2x} = \frac{3}{2x}$
2. Thành phần $1 + \frac{x^2}{x-1} = \frac{x^2 + x - 1}{x-1}$

Sau khi rút gọn, ta sẽ có:

$P = \frac{3}{2x} + \frac{x^2 + x - 1}{x - 1}$

 c. Tính giá trị của $P$ tại $x = \frac{1}{2}$:
Thay $x = \frac{1}{2}$ vào biểu thức rút gọn:

1. Với $\frac{3}{2x}$:

$\frac{3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{1} = 3$

2. Với $\frac{x^2 + x - 1}{x - 1}$:

$x^2 + x - 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} - \frac{4}{4} = \frac{-1}{4}$

$x - 1 = \frac{1}{2} - 1 = \frac{-1}{2}$

Do đó:

$\frac{x^2 + x - 1}{x - 1} = \frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

Cuối cùng, tính $P$ tại $x = \frac{1}{2}$:

$P\left( \frac{1}{2} \right) = 3 + \frac{1}{2} = 3.5$

 Kết quả:
1. Điều kiện xác định: $x \neq 0$ và $x \neq 1$
2. Biểu thức sau khi rút gọn là: $P = \frac{3}{2x} + \frac{x^2 + x - 1}{x - 1}$ (có thể biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau)
3. Giá trị của $P$ tại $x = \frac{1}{2}$ là $3.5$