Để giải phương trình \((x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = n^2 + 5n + 10\), chúng ta bắt đầu bằng cách đơn giản hóa vế bên trái.

Đặt:
\[
y = x^2 - 5x.
\]
Sau đó, chúng ta có thể viết lại vế bên trái là:
\[
(y + 4)(y + 6).
\]

Bây giờ, mở rộng vế này:
\[
(y + 4)(y + 6) = y^2 + 6y + 4y + 24 = y^2 + 10y + 24.
\]

Thay lại giá trị \(y\):
\[
y^2 + 10y + 24 = (x^2 - 5x)^2 + 10(x^2 - 5x) + 24.
\]

Vậy phương trình của chúng ta trở thành:
\[
(x^2 - 5x)^2 + 10(x^2 - 5x) + 24 = n^2 + 5n + 10.
\]

Tiếp theo, chúng ta ký hiệu:
\[
z = x^2 - 5x,
\]
dẫn đến:
\[
z^2 + 10z + 24 = n^2 + 5n + 10.
\]

Sắp xếp lại cho chúng ta:
\[
z^2 + 10z + 24 - n^2 - 5n - 10 = 0,
\]
có thể đơn giản hóa thành:
\[
z^2 + 10z - n^2 - 5n + 14 = 0.
\]

Bây giờ, chúng ta xem xét đây như một phương trình bậc hai với \(z\):
\[
z^2 + 10z + (14 - n^2 - 5n) = 0.
\]

Để tìm \(z\), biệt thức của phương trình bậc hai này phải không âm:
\[
\Delta = 10^2 - 4(1)(14 - n^2 - 5n) \geq 0.
\]
Điều này đơn giản hóa thành:
\[
100 - 56 + 4n^2 + 20n \geq 0,
\]
dẫn đến:
\[
4n^2 + 20n + 44 \geq 0.
\]

Chia hết cho 4:
\[
n^2 + 5n + 11 \geq 0.
\]

Tiếp theo, chúng ta tính biệt thức của phương trình bậc hai \(n^2 + 5n + 11\):
\[
\Delta' = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 25 - 44 = -19.
\]
Vì biệt thức âm, phương trình bậc hai \(n^2 + 5n + 11\) không có nghiệm thực và luôn dương cho mọi \(n\) thực.

Vì vậy, \(n^2 + 5n + 11 \geq 0\) đúng với mọi giá trị \(n\) thực.

Tiếp theo, chúng ta cần xác định các giá trị có thể cho \(z\). Phương trình bậc hai trong \(z\) là:
\[
z^2 + 10z + (14 - n^2 - 5n) = 0.
\]
Sử dụng công thức nghiệm, chúng ta có:
\[
z = \frac{-10 \pm \sqrt{\Delta}}{2},
\]
với \(\Delta = 4n^2 + 20n - 44\).

Vì vậy, chúng ta tìm được:
\[
z = -5 \pm \sqrt{n^2 + 5n - 11}.
\]

Để đảm bảo \(z\) hợp lệ, chúng ta tìm khoảng giá trị cho \(n\):
Vì bên phải \(n^2 + 5n - 11 \geq 0\) cũng phải không âm, chúng ta tìm nghiệm của \(n^2 + 5n - 11 = 0\):
\[
\Delta'' = 5^2 + 4 \cdot 11 = 25 + 44 = 69.
\]
Do đó,
\[
n = \frac{-5 \pm \sqrt{69}}{2}.
\]
Tính toán các nghiệm cho ta khoảng:
\[
n \approx \frac{-5 - 8.31}{2} \quad \text{và} \quad n \approx \frac{-5 + 8.31}{2}.
\]

Các khoảng mà \(n^2 + 5n - 11 \geq 0\) là \(n \leq \frac{-5 - \sqrt{69}}{2}\) hoặc \(n \geq \frac{-5 + \sqrt{69}}{2}\).

Kết luận, \(n\) có thể nhận giá trị sao cho:
\[
n \in \left(-\infty, \frac{-5 - \sqrt{69}}{2}\right] \cup \left[\frac{-5 + \sqrt{69}}{2}, \infty\right).
\]

---