Để giải phương trình $(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = n^2 + 5n + 10$, chúng ta bắt đầu bằng cách đơn giản hóa vế bên trái.

Đặt:
$y = x^2 - 5x.$
Sau đó, chúng ta có thể viết lại vế bên trái là:
$(y + 4)(y + 6).$

Bây giờ, mở rộng vế này:
$(y + 4)(y + 6) = y^2 + 6y + 4y + 24 = y^2 + 10y + 24.$

Thay lại giá trị $y$:
$y^2 + 10y + 24 = (x^2 - 5x)^2 + 10(x^2 - 5x) + 24.$

Vậy phương trình của chúng ta trở thành:
$(x^2 - 5x)^2 + 10(x^2 - 5x) + 24 = n^2 + 5n + 10.$

Tiếp theo, chúng ta ký hiệu:
$z = x^2 - 5x,$
dẫn đến:
$z^2 + 10z + 24 = n^2 + 5n + 10.$

Sắp xếp lại cho chúng ta:
$z^2 + 10z + 24 - n^2 - 5n - 10 = 0,$
có thể đơn giản hóa thành:
$z^2 + 10z - n^2 - 5n + 14 = 0.$

Bây giờ, chúng ta xem xét đây như một phương trình bậc hai với $z$:
$z^2 + 10z + (14 - n^2 - 5n) = 0.$

Để tìm $z$, biệt thức của phương trình bậc hai này phải không âm:
$\Delta = 10^2 - 4(1)(14 - n^2 - 5n) \geq 0.$
Điều này đơn giản hóa thành:
$100 - 56 + 4n^2 + 20n \geq 0,$
dẫn đến:
$4n^2 + 20n + 44 \geq 0.$

Chia hết cho 4:
$n^2 + 5n + 11 \geq 0.$

Tiếp theo, chúng ta tính biệt thức của phương trình bậc hai $n^2 + 5n + 11$:
$\Delta' = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 25 - 44 = -19.$
Vì biệt thức âm, phương trình bậc hai $n^2 + 5n + 11$ không có nghiệm thực và luôn dương cho mọi $n$ thực.

Vì vậy, $n^2 + 5n + 11 \geq 0$ đúng với mọi giá trị $n$ thực.

Tiếp theo, chúng ta cần xác định các giá trị có thể cho $z$. Phương trình bậc hai trong $z$ là:
$z^2 + 10z + (14 - n^2 - 5n) = 0.$
Sử dụng công thức nghiệm, chúng ta có:
$z = \frac{-10 \pm \sqrt{\Delta}}{2},$
với $\Delta = 4n^2 + 20n - 44$.

Vì vậy, chúng ta tìm được:
$z = -5 \pm \sqrt{n^2 + 5n - 11}.$

Để đảm bảo $z$ hợp lệ, chúng ta tìm khoảng giá trị cho $n$:
Vì bên phải $n^2 + 5n - 11 \geq 0$ cũng phải không âm, chúng ta tìm nghiệm của $n^2 + 5n - 11 = 0$:
$\Delta'' = 5^2 + 4 \cdot 11 = 25 + 44 = 69.$
Do đó,
$n = \frac{-5 \pm \sqrt{69}}{2}.$
Tính toán các nghiệm cho ta khoảng:
$n \approx \frac{-5 - 8.31}{2} \quad \text{và} \quad n \approx \frac{-5 + 8.31}{2}.$

Các khoảng mà $n^2 + 5n - 11 \geq 0$ là $n \leq \frac{-5 - \sqrt{69}}{2}$ hoặc $n \geq \frac{-5 + \sqrt{69}}{2}$.

Kết luận, $n$ có thể nhận giá trị sao cho:
$n \in \left(-\infty, \frac{-5 - \sqrt{69}}{2}\right] \cup \left[\frac{-5 + \sqrt{69}}{2}, \infty\right).$

---