Chúng ta sẽ giải bất phương trình \( x + 2m < 1 + 2mx \) với tham số \( m \) theo hai bước:

### a) Tìm điều kiện của \( m \) để bất phương trình là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn

Bất phương trình \( x + 2m < 1 + 2mx \) có dạng bậc nhất 1 ẩn nếu các hệ số của \( x \) không đồng nhất hoặc không cho một hệ số \( x \) với điều kiện không đồng nhất. Chúng ta cần phân tích hai trường hợp:

1. **Khi \( m = 1 \):**

Thay \( m = 1 \) vào bất phương trình:
\[
x + 2 \cdot 1 < 1 + 2 \cdot 1 \cdot x
\]
\[
x + 2 < 1 + 2x
\]
Chuyển các hạng tử chứa \( x \) về một bên:
\[
x + 2 < 1 + 2x
\]
\[
2 < 1 + x
\]
\[
1 < x
\]
Bất phương trình trở thành \( x > 1 \), đây là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn.

2. **Khi \( m \neq 1 \):**

Chuyển các hạng tử chứa \( x \) về một bên và các hạng tử không chứa \( x \) về bên kia:
\[
x + 2m < 1 + 2mx
\]
\[
x - 2mx < 1 - 2m
\]
\[
(1 - 2m)x < 1 - 2m
\]
Nếu \( 1 - 2m \neq 0 \), chia hai vế cho \( 1 - 2m \) (lưu ý dấu bất phương trình sẽ thay đổi nếu \( 1 - 2m < 0 \)):
\[
x < \frac{1 - 2m}{1 - 2m} \text{ nếu } 1 - 2m > 0
\]
\[
x > \frac{1 - 2m}{1 - 2m} \text{ nếu } 1 - 2m < 0
\]
Để có bất phương trình bậc nhất 1 ẩn, bất phương trình này phải có dạng như \( x < k \) hoặc \( x > k \) chứ không phải dạng không chứa \( x \) (như \( 0 < 0 \)).

Do đó, điều kiện cần là \( m \neq 1 \).

### b) Giải bất phương trình với điều kiện của \( m \) đã tìm được ở câu a

1. **Khi \( m = 1 \):**

Từ câu a), chúng ta có bất phương trình:
\[
x > 1
\]

2. **Khi \( m \neq 1 \):**

Bất phương trình có dạng:
\[
(1 - 2m)x < 1 - 2m
\]

- Nếu \( 1 - 2m > 0 \) (tức \( m < \frac{1}{2} \)):
\[
x < \frac{1 - 2m}{1 - 2m} = 1
\]
Bất phương trình trở thành:
\[
x < 1
\]

- Nếu \( 1 - 2m < 0 \) (tức \( m > \frac{1}{2} \)):
\[
x > \frac{1 - 2m}{1 - 2m} = 1
\]
Bất phương trình trở thành:
\[
x > 1
\]

Tóm lại:
- Khi \( m = 1 \), bất phương trình là \( x > 1 \).
- Khi \( m < \frac{1}{2} \), bất phương trình là \( x < 1 \).
- Khi \( m > \frac{1}{2} \), bất phương trình là \( x > 1 \).

Để giải bài toán về bất phương trình \( x + 2m < 1 + 2mx \) với tham số \( m \), chúng ta sẽ giải từng phần như sau:

### a) Tìm điều kiện của \( m \) để bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn

Bất phương trình có dạng bậc nhất khi biến \( x \) chỉ xuất hiện với bậc một, nghĩa là không có \( x^2 \) hoặc các hạng tử khác với \( x \).

**Bước 1**: Chuyển mọi hạng tử về một phía của bất phương trình:

\[
x - 2mx < 1 - 2m
\]

**Bước 2**: Ghi chú lại để nhận diện bất phương trình. Bây giờ, ta nhóm lại các hạng tử chứa \( x \):

\[
x(1 - 2m) < 1 - 2m
\]

**Bước 3**: Điều kiện để bất phương trình là bậc nhất 1 ẩn là \( 1 - 2m \neq 0 \), tức là:

\[
2m \neq 1 \quad \Rightarrow \quad m \neq \frac{1}{2}
\]

Vậy điều kiện để bất phương trình là bậc nhất 1 ẩn là \( m \neq \frac{1}{2} \).

### b) Giải bất phương trình với điều kiện của \( m \) đã tìm được ở câu a

Bất phương trình cần giải là:

\[
x(1 - 2m) < 1 - 2m
\]

**Trường hợp 1**: \( 1 - 2m > 0 \) (tương đương \( m < \frac{1}{2} \))

Khi \( 1 - 2m > 0 \), ta có thể chia hai bên của bất phương trình cho \( 1 - 2m \) mà không thay đổi chiều của bất phương trình:

\[
x < \frac{1 - 2m}{1 - 2m} \quad \Rightarrow \quad x < 1
\]

**Trường hợp 2**: \( 1 - 2m < 0 \) (tương đương \( m > \frac{1}{2} \))

Khi \( 1 - 2m < 0 \), ta chia hai bên của bất phương trình cho \( 1 - 2m \) và phải đổi chiều bất phương trình:

\[
x > \frac{1 - 2m}{1 - 2m} \quad \Rightarrow \quad x > 1
\]

### Kết luận:

- Khi \( m < \frac{1}{2} \): Bất phương trình có lời giải \( x < 1 \)
- Khi \( m > \frac{1}{2} \): Bất phương trình có lời giải \( x > 1 \)

Vậy là chúng ta đã tìm ra điều kiện của \( m \) và giải bất phương trình.

Chúng ta sẽ giải bất phương trình x+2m<1+2mxx+2m<1+2mx với tham số mm theo hai bước:

### a) Tìm điều kiện của mm để bất phương trình là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn

Bất phương trình x+2m<1+2mxx+2m<1+2mx có dạng bậc nhất 1 ẩn nếu các hệ số của xx không đồng nhất hoặc không cho một hệ số xx với điều kiện không đồng nhất. Chúng ta cần phân tích hai trường hợp:

1. **Khi m=1m=1:**

Thay m=1m=1 vào bất phương trình:
x+2⋅1<1+2⋅1⋅xx+2⋅1<1+2⋅1⋅x
x+2<1+2xx+2<1+2x
Chuyển các hạng tử chứa xx về một bên:
x+2<1+2xx+2<1+2x
2<1+x2<1+x
1<x1<x
Bất phương trình trở thành x>1x>1, đây là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn.

2. **Khi m≠1m≠1:**

Chuyển các hạng tử chứa xx về một bên và các hạng tử không chứa xx về bên kia:
x+2m<1+2mxx+2m<1+2mx
x−2mx<1−2mx−2mx<1−2m
(1−2m)x<1−2m(1−2m)x<1−2m
Nếu 1−2m≠01−2m≠0, chia hai vế cho 1−2m1−2m (lưu ý dấu bất phương trình sẽ thay đổi nếu 1−2m<01−2m<0):
x<1−2m1−2m nếu 1−2m>0x<1−2m1−2m nếu 1−2m>0
x>1−2m1−2m nếu 1−2m<0x>1−2m1−2m nếu 1−2m<0
Để có bất phương trình bậc nhất 1 ẩn, bất phương trình này phải có dạng như x<kx<k hoặc x>kx>k chứ không phải dạng không chứa xx (như 0<00<0).

Do đó, điều kiện cần là m≠1m≠1.

### b) Giải bất phương trình với điều kiện của mm đã tìm được ở câu a

1. **Khi m=1m=1:**

Từ câu a), chúng ta có bất phương trình:
x>1x>1

2. **Khi m≠1m≠1:**

Bất phương trình có dạng:
(1−2m)x<1−2m(1−2m)x<1−2m

- Nếu 1−2m>01−2m>0 (tức m<12m<12):
x<1−2m1−2m=1x<1−2m1−2m=1
Bất phương trình trở thành:
x<1x<1

- Nếu 1−2m<01−2m<0 (tức m>12m>12):
x>1−2m1−2m=1x>1−2m1−2m=1
Bất phương trình trở thành:
x>1x>1

Tóm lại:
- Khi m=1m=1, bất phương trình là x>1x>1.
- Khi m<12m<12, bất phương trình là x<1x<1.
- Khi m>12m>12, bất phương trình là x>1x>1.