Để giải biểu thức:
$\frac{2^{30} \times 5^7 + 3^{13} \times 5^{27}}{2^{27} \times 5^7 + 2^{10} \times 5^{27}}$

ta cần phân tích và rút gọn từng phần của biểu thức. Đầu tiên, ta rút gọn cả tử số và mẫu số.

### Tử số:
$2^{30} \times 5^7 + 3^{13} \times 5^{27}$

### Mẫu số:
$2^{27} \times 5^7 + 2^{10} \times 5^{27}$

Để dễ rút gọn, chúng ta tìm nhân tử chung lớn nhất của tử số và mẫu số.

### Tử số:
$2^{30} \times 5^7 + 3^{13} \times 5^{27}$

Có thể thấy $5^7$ và $5^{27}$ là nhân tử chung:
$= 5^7 (2^{30} + 3^{13} \times 5^{20})$

### Mẫu số:
$2^{27} \times 5^7 + 2^{10} \times 5^{27}$

Có thể thấy $5^7$ và $5^{27}$ là nhân tử chung:
$= 5^7 (2^{27} + 2^{10} \times 5^{20})$

Biểu thức bây giờ có dạng:
$\frac{5^7 (2^{30} + 3^{13} \times 5^{20})}{5^7 (2^{27} + 2^{10} \times 5^{20})}$

Ta có thể rút gọn $5^7$:
$\frac{2^{30} + 3^{13} \times 5^{20}}{2^{27} + 2^{10} \times 5^{20}}$

Ta xét nhân tử chung của $2^{30}$ và $2^{27}$:
$= \frac{2^{27} \times 2^3 + 3^{13} \times 5^{20}}{2^{27} + 2^{10} \times 5^{20}}$

$= \frac{2^{27}(2^3) + 3^{13} \times 5^{20}}{2^{27}(1) + 2^{10} \times 5^{20}}$

Biểu thức tiếp tục có dạng:
$\frac{8 \times 2^{27} + 3^{13} \times 5^{20}}{2^{27} + 2^{10} \times 5^{20}}$

Ta có thể thấy rằng $2^{27}$ là nhân tử chung:
$= \frac{2^{27} \times 8 + 3^{13} \times 5^{20}}{2^{27} + 2^{10} \times 5^{20}}$

Cuối cùng, biểu thức rút gọn không thêm được nữa và có dạng:
$\frac{8 \times 2^{27} + 3^{13} \times 5^{20}}{2^{27} + 2^{10} \times 5^{20}}$

Để giải biểu thức:

$\frac{2^{30} \cdot 5^7 + 3^{13} \cdot 5^{27}}{2^{27} \cdot 5^7 + 2^{10} \cdot 5^{27}}$

**Bước 1: Rút gọn từng phần của biểu thức**

Ta có tử số là:

$2^{30} \cdot 5^7 + 3^{13} \cdot 5^{27}$

Và mẫu số là:

$2^{27} \cdot 5^7 + 2^{10} \cdot 5^{27}$

**Bước 2: Rút gọn tử số**

Chúng ta có thể rút $5^7$ ra ngoài ở tử số:

$= 5^{7} \left(2^{30} + 3^{13} \cdot 5^{20}\right)$

**Bước 3: Rút gọn mẫu số**

Rút $5^7$ ở mẫu số:

$= 5^{7} \left(2^{27} + 2^{10} \cdot 5^{20}\right)$

**Bước 4: Thay thế vào biểu thức**

Thay thế kết quả vào biểu thức:

$\frac{5^7 \left(2^{30} + 3^{13} \cdot 5^{20}\right)}{5^7 \left(2^{27} + 2^{10} \cdot 5^{20}\right)}$

**Bước 5: Rút gọn**

Ta có thể rút $5^7$ trong cả tử và mẫu:

$= \frac{2^{30} + 3^{13} \cdot 5^{20}}{2^{27} + 2^{10} \cdot 5^{20}}$

**Bước 6: Thực hiện các phép toán còn lại**

Xét tử số:

$2^{30} + 3^{13} \cdot 5^{20}$

Xét mẫu số:

$2^{27} + 2^{10} \cdot 5^{20}$

### Bước 7: Chia tử và mẫu

Giả sử $x = 5^{20}$:

Tử số trở thành:

$2^{30} + 3^{13} x$

Mẫu số trở thành:

$2^{27} + 2^{10} x$

### Bước 8: Tính giá trị

Chúng ta để ý rằng đây là một biểu thức phức tạp và có thể được tính ra một giá trị cụ thể nếu có giá trị của $5^{20}$ và các số khác được tính.

Tuy nhiên, biểu thức này có thể không dễ dàng rút gọn hơn nữa mà không có giá trị cụ thể hoặc nếu chúng ta không muốn tính числовые значения.

Nếu chỉ cần có dạng giản lược thì kết quả cuối cùng là:

$\frac{2^{30} + 3^{13} \cdot 5^{20}}{2^{27} + 2^{10} \cdot 5^{20}}$

Cách giải quyết bằng cách thay $x = 5^{20}$ có thể giúp tìm được giá trị cụ thể hơn, tùy thuộc vào mục đích giải quyết bài toán này.

Để tính tổng của dãy số 12⋅4+14⋅6+⋯+12023⋅202412⋅4+14⋅6+⋯+12023⋅2024, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích phân số thành các phân số đơn giản hơn.

Xét một tổng hạng tổng quát trong dãy số:
1n(n+2)1n(n+2)
Chúng ta có thể phân tích phân số này bằng cách sử dụng phương pháp phân tích phân số thành các phân số đơn giản:
1n(n+2)=An+Bn+21n(n+2)=An+Bn+2
Để tìm AA và BB, chúng ta giải phương trình:
1=A(n+2)+Bn1=A(n+2)+Bn
Khi giải hệ phương trình này, ta được:
1=A(n+2)+Bn=An+2A+Bn=(A+B)n+2A1=A(n+2)+Bn=An+2A+Bn=(A+B)n+2A

So sánh hệ số, ta có:
A+B=0A+B=0
2A=12A=1
Từ đó, ta giải được:
A=12,B=−12A=12,B=−12

Vậy:
1n(n+2)=1/2n−1/2n+21n(n+2)=1/2n−1/2n+2

Áp dụng phân tích này cho các tổng hạng trong dãy số:
12⋅4+14⋅6+⋯+12023⋅202412⋅4+14⋅6+⋯+12023⋅2024
ta có:
12⋅4=1/22−1/2412⋅4=1/22−1/24
14⋅6=1/24−1/2614⋅6=1/24−1/26
⋮⋮
12023⋅2024=1/22023−1/2202412023⋅2024=1/22023−1/22024

Tổng của dãy số trở thành:
(1/22−1/24)+(1/24−1/26)+⋯+(1/22023−1/22024)(1/22−1/24)+(1/24−1/26)+⋯+(1/22023−1/22024)

Các số hạng giữa trừ đi nhau, chỉ còn lại hai số hạng đầu và cuối:
1/22−1/220241/22−1/22024
=14−12⋅2024=14−12⋅2024
=14−14048=14−14048

Kết quả là:
14−14048=4048−14⋅4048=404716192=1349539714−14048=4048−14⋅4048=404716192=13495397

Vậy tổng của dãy số là 1349539713495397.