Để giải bài toán này, ta cần xác định thời gian hoàn thành công việc của mỗi công nhân khi làm việc một mình. Giả sử công việc được hoàn thành là 1 công việc.

Gọi thời gian công nhân thứ nhất làm việc một mình là \( x \) ngày và công nhân thứ hai làm việc một mình là \( y \) ngày.

**1. Xác định năng suất của từng công nhân:**

- Công nhân thứ nhất hoàn thành toàn bộ công việc trong \( x \) ngày, nên năng suất của công nhân thứ nhất là \( \frac{1}{x} \) công việc mỗi ngày.
- Công nhân thứ hai hoàn thành toàn bộ công việc trong \( y \) ngày, nên năng suất của công nhân thứ hai là \( \frac{1}{y} \) công việc mỗi ngày.

**2. Cùng làm việc thì hoàn thành công việc trong 6 ngày:**

Khi cả hai công nhân làm việc cùng nhau, họ hoàn thành công việc trong 6 ngày, nên tổng năng suất của hai công nhân khi làm việc cùng nhau là \( \frac{1}{6} \) công việc mỗi ngày. Do đó:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \]

**3. Công nhân thứ nhất làm việc 4 ngày, sau đó công nhân thứ hai làm việc 6 ngày và hoàn thành \( \frac{4}{5} \) công việc:**

- Công nhân thứ nhất làm việc 4 ngày và hoàn thành \( \frac{4}{x} \) công việc.
- Công nhân thứ hai làm việc 6 ngày và hoàn thành \( \frac{6}{y} \) công việc.

Tổng công việc hoàn thành là \( \frac{4}{5} \), nên:
\[ \frac{4}{x} + \frac{6}{y} = \frac{4}{5} \]

**4. Giải hệ phương trình:**

Ta có hệ phương trình sau:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\
\frac{4}{x} + \frac{6}{y} = \frac{4}{5}
\end{cases}
\]

**Từ phương trình đầu tiên:**
\[ \frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{y} \]
Thay vào phương trình thứ hai:
\[ \frac{4}{x} + \frac{6}{y} = \frac{4}{5} \]
Thay \(\frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{y}\):
\[ \frac{4 \left(\frac{1}{6} - \frac{1}{y}\right)}{1} + \frac{6}{y} = \frac{4}{5} \]
\[ \frac{4}{6} - \frac{4}{y} + \frac{6}{y} = \frac{4}{5} \]
\[ \frac{2}{3} + \frac{2}{y} = \frac{4}{5} \]
\[ \frac{2}{y} = \frac{4}{5} - \frac{2}{3} \]
\[ \frac{2}{y} = \frac{12 - 10}{15} \]
\[ \frac{2}{y} = \frac{2}{15} \]
\[ y = 15 \]

Thay \( y = 15 \) vào phương trình đầu tiên:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6} \]
\[ \frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{15} \]
\[ \frac{1}{x} = \frac{5 - 2}{30} \]
\[ \frac{1}{x} = \frac{3}{30} \]
\[ x = 10 \]

**Kết luận:**
- Công nhân thứ nhất cần 10 ngày để hoàn thành công việc khi làm một mình.
- Công nhân thứ hai cần 15 ngày để hoàn thành công việc khi làm một mình.

Để giải bài toán, chúng ta sẽ ký hiệu năng suất làm việc của hai công nhân như sau:

- Năng suất của công nhân 1: \( x \) (công việc/ ngày)
- Năng suất của công nhân 2: \( y \) (công việc/ ngày)

Theo bài toán, hai công nhân cùng làm một công việc thì sẽ hoàn thành sau 6 ngày. Vì vậy, ta có:

\[
6(x + y) = 1 \quad \text{(1)}
\]

Điều này có nghĩa là tổng công việc của hai công nhân trong 6 ngày bằng 1 (toàn bộ công việc).

Bên cạnh đó, theo bài toán, công nhân 1 làm việc 4 ngày, sau đó công nhân 2 làm tiếp 6 ngày thì họ hoàn thành được \( \frac{4}{5} \) công việc. Ta có:

\[
4x + 6y = \frac{4}{5} \quad \text{(2)}
\]

Bây giờ chúng ta sẽ giải hệ phương trình (1) và (2).

Từ phương trình (1), ta có:

\[
x + y = \frac{1}{6} \quad \text{(3)}
\]

Bây giờ thay \( y \) từ phương trình (3) vào phương trình (2):

\[
y = \frac{1}{6} - x
\]

Thay vào phương trình (2):

\[
4x + 6\left(\frac{1}{6} - x\right) = \frac{4}{5}
\]
\[
4x + 1 - 6x = \frac{4}{5}
\]

Giải phương trình:

\[
-2x + 1 = \frac{4}{5}
\]

Đưa \( 1 \) sang phía bên phải:

\[
-2x = \frac{4}{5} - 1
\]
\[
-2x = \frac{4}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{1}{5}
\]
\[
2x = \frac{1}{5}
\]
\[
x = \frac{1}{10}
\]

Thay giá trị của \( x \) vào phương trình (3) để tìm \( y \):

\[
\frac{1}{10} + y = \frac{1}{6}
\]
\[
y = \frac{1}{6} - \frac{1}{10}
\]

Tìm mẫu số chung để trừ:

Mẫu số chung của 6 và 10 là 30:

\[
y = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}
\]

Bây giờ chúng ta đã tìm được năng suất của hai công nhân:

- Công nhân 1: \( x = \frac{1}{10} \) (công việc/ ngày)
- Công nhân 2: \( y = \frac{1}{15} \) (công việc/ ngày)

Tiếp theo, ta sẽ tính thời gian cần thiết để mỗi công nhân hoàn thành công việc một mình.

1. **Thời gian công nhân 1 hoàn thành công việc**:
\[
\text{Thời gian} = \frac{1}{x} = \frac{1}{(1/10)} = 10 \text{ ngày}
\]

2. **Thời gian công nhân 2 hoàn thành công việc**:
\[
\text{Thời gian} = \frac{1}{y} = \frac{1}{(1/15)} = 15 \text{ ngày}
\]

**Kết luận**:
- Công nhân 1 nếu làm một mình thì sẽ hoàn thành công việc trong 10 ngày.
- Công nhân 2 nếu làm một mình thì sẽ hoàn thành công việc trong 15 ngày.

Để giải bài toán này, ta cần xác định thời gian hoàn thành công việc của mỗi công nhân khi làm việc một mình. Giả sử công việc được hoàn thành là 1 công việc.

Gọi thời gian công nhân thứ nhất làm việc một mình là xx ngày và công nhân thứ hai làm việc một mình là yy ngày.

**1. Xác định năng suất của từng công nhân:**

- Công nhân thứ nhất hoàn thành toàn bộ công việc trong xx ngày, nên năng suất của công nhân thứ nhất là 1x1x công việc mỗi ngày.
- Công nhân thứ hai hoàn thành toàn bộ công việc trong yy ngày, nên năng suất của công nhân thứ hai là 1y1y công việc mỗi ngày.

**2. Cùng làm việc thì hoàn thành công việc trong 6 ngày:**

Khi cả hai công nhân làm việc cùng nhau, họ hoàn thành công việc trong 6 ngày, nên tổng năng suất của hai công nhân khi làm việc cùng nhau là 1616 công việc mỗi ngày. Do đó:
1x+1y=161x+1y=16

**3. Công nhân thứ nhất làm việc 4 ngày, sau đó công nhân thứ hai làm việc 6 ngày và hoàn thành 4545 công việc:**

- Công nhân thứ nhất làm việc 4 ngày và hoàn thành 4x4x công việc.
- Công nhân thứ hai làm việc 6 ngày và hoàn thành 6y6y công việc.

Tổng công việc hoàn thành là 4545, nên:
4x+6y=454x+6y=45

**4. Giải hệ phương trình:**

Ta có hệ phương trình sau:
{1x+1y=164x+6y=45{1x+1y=164x+6y=45

**Từ phương trình đầu tiên:**
1x=16−1y1x=16−1y
Thay vào phương trình thứ hai:
4x+6y=454x+6y=45
Thay 1x=16−1y1x=16−1y:
4(16−1y)1+6y=454(16−1y)1+6y=45
46−4y+6y=4546−4y+6y=45
23+2y=4523+2y=45
2y=45−232y=45−23
2y=12−10152y=12−1015
2y=2152y=215
y=15y=15

Thay y=15y=15 vào phương trình đầu tiên:
1x+115=161x+115=16
1x=16−1151x=16−115
1x=5−2301x=5−230
1x=3301x=330
x=10x=10

**Kết luận:**
- Công nhân thứ nhất cần 10 ngày để hoàn thành công việc khi làm một mình.
- Công nhân thứ hai cần 15 ngày để hoàn thành công việc khi làm một mình.