Để giải bài toán này, ta cần tìm số $x$ sao cho tổng của dãy số:

$(x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + \ldots + (x + 100)$

bằng 5050.

### Bước 1: Xác định dãy số
Dãy số này là một cấp số cộng (CSC) với:
- Số hạng đầu tiên $a_1 = x + 2$
- Công sai $d = 2$

Để tìm số hạng thứ $n$ của dãy, ta dùng công thức:
$a_n = a_1 + (n - 1)d$

Số hạng cuối cùng của dãy là $x + 100$, do đó:
$x + 100 = (x + 2) + (n - 1) \cdot 2$

Giải phương trình trên để tìm $n$:
$x + 100 = x + 2 + 2(n - 1)$
$100 = 2 + 2n - 2$
$100 = 2n$
$n = 50$

### Bước 2: Tính tổng của dãy số
Công thức tổng của một cấp số cộng là:
$S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)$

Áp dụng công thức trên với $n = 50$, $a_1 = x + 2$, và $a_n = x + 100$:
$S_{50} = \frac{50}{2} \cdot ((x + 2) + (x + 100))$
$5050 = 25 \cdot (2x + 102)$

### Bước 3: Giải phương trình
Giải phương trình:
$5050 = 25 \cdot (2x + 102)$
$5050 = 50x + 2550$
$5050 - 2550 = 50x$
$2500 = 50x$
$x = \frac{2500}{50} = 50$

Vậy $x = 50$ là giá trị cần tìm.

Để giải phương trình $(x+2) + (x+4) + (x+6) + \ldots + (x+100) = 5050$, ta cần tính tổng của dãy số hạng này.

Các số hạng trong dãy có dạng $x + 2k$, với $k$ là số nguyên dương. Số hạng đầu tiên là $x + 2$ và số hạng cuối cùng là $x + 100$. Ta có thể viết dãy này như sau:

$(x+2), (x+4), (x+6), \ldots, (x+100)$

Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu tiên là $x+2$, công sai là $2$, và số hạng cuối cùng là $x+100$.

Để tìm số lượng số hạng trong dãy, ta giải phương trình:

$x + 2 + (n-1) \cdot 2 = x + 100$
$2n - 2 = 100$
$2n = 102$
$n = 51$

Vậy, dãy có 51 số hạng. Tổng của dãy cấp số cộng được tính theo công thức:

$S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right)$

Trong đó $n$ là số lượng số hạng, $a_1$ là số hạng đầu tiên, và $a_n$ là số hạng cuối cùng. Thay các giá trị vào công thức, ta có:

$S_{51} = \frac{51}{2} \left( (x + 2) + (x + 100) \right)$
$S_{51} = \frac{51}{2} \left( 2x + 102 \right)$
$S_{51} = \frac{51}{2} \cdot 2 (x + 51)$
$S_{51} = 51 (x + 51)$

Theo đề bài, tổng của dãy là 5050:

$51 (x + 51) = 5050$

Giải phương trình này, ta có:

$x + 51 = \frac{5050}{51}$
$x + 51 = 99$
$x = 99 - 51$
$x = 48$

Vậy giá trị của $x$ là $48$.