(a)

Vì $Ax \parallel BC \Rightarrow \widehat{DAC} = \widehat{ACB}$ (hai góc so le trong)

Vì $Cy \parallel AB \Rightarrow \widehat{DCB} = \widehat{BAC}$ (hai góc so le trong)

Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{ACB} = \widehat{ABC}$

Từ ba điều trên suy ra $\widehat{DAC} = \widehat{DCB}$.

Xét $\Delta DAC$ và $\Delta DCB$ có:

$\widehat{DAC} = \widehat{DCB}$ (chứng minh trên)

$AC = BC$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$)

$\widehat{ACD}$ chung

$\Rightarrow \Delta DAC = \Delta DCB$ (g.c.g)

$\Rightarrow AD = CD$ (hai cạnh tương ứng) và $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng).

(b)

Vì $\Delta DAC = \Delta DCB$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \widehat{ADC} = \widehat{CDB}$ (hai góc tương ứng)

Do $M$ là trung điểm $BC \Rightarrow BM = CM$

Xét $\Delta DMB$ và $\Delta DMC$ có:

$DB = DC$ (chứng minh trên)

$\widehat{BDM} = \widehat{CDM}$ (chứng minh trên)

$BM = CM$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \Delta DMB = \Delta DMC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{DMB} = \widehat{DMC}$ (hai góc tương ứng) và $DM = DM$ (cạnh chung).

Vì $\widehat{DMB}$ và $\widehat{DMC}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{DMB} = \widehat{DMC} = 90^\circ$. Do đó, $DM$ là đường trung trực của $BC$.

Vì $DM$ là đường trung trực của $BC \Rightarrow MB = MC$ và $\widehat{DMB} = \widehat{DMC} = 90^\circ$.

Xét $\Delta MBA$ và $\Delta MCE$ có:

$MB = MC$ (chứng minh trên)

$\widehat{MBA} = \widehat{MCE}$ (hai góc đồng vị do $Ax \parallel BC$)

$AB = CE$ (chứng minh ở phần a)

$\Rightarrow \Delta MBA = \Delta MCE$ (c.g.c)

$\Rightarrow MA = ME$ (hai cạnh tương ứng).

(c)

Vì $AN = BM$ và $BM = MC$ (chứng minh trên) $\Rightarrow AN = MC$.

Xét $\Delta GAN$ và $\Delta GCM$ có:

$AN = MC$ (chứng minh trên)

$\widehat{GAN} = \widehat{GCM}$ (hai góc đồng vị do $Ax \parallel BC$)

$AG = CG$ (do $G$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $MD$ của hình bình hành $ADCM$)

$\Rightarrow \Delta GAN = \Delta GCM$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{AGN} = \widehat{CGM}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AGN}$ và $\widehat{CGM}$ là hai góc đối đỉnh $\Rightarrow E, G, N$ thẳng hàng.

(d)

Vì $G$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $MD$ của hình bình hành $ADCM \Rightarrow G$ là trung điểm của $AC$.

Do $P$ là trọng tâm của tam giác $ABC \Rightarrow AP = \frac{2}{3}AG$.

Vì $E, G, N$ thẳng hàng và $G$ là trung điểm của $AC \Rightarrow AG = GN$.

Từ ba điều trên suy ra $NG = AP$.