Để hàm số \( y = \frac{x+1}{x^2 + x + m} \) nghịch biến trên khoảng \((-1; 1)\), ta cần khảo sát đạo hàm của hàm số này và xem xét dấu của đạo hàm trên khoảng \((-1; 1)\).

Trước hết, ta tính đạo hàm của hàm số \( y \):

\[ y = \frac{x+1}{x^2 + x + m} \]

Đặt \( u = x + 1 \) và \( v = x^2 + x + m \). Khi đó:

\[ y = \frac{u}{v} \]

Ta áp dụng quy tắc đạo hàm của một phân số \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \):

\[ y' = \frac{(x+1)'(x^2 + x + m) - (x+1)(x^2 + x + m)'}{(x^2 + x + m)^2} \]

Ta tính đạo hàm của \( u \) và \( v \):

\[ u' = 1 \]
\[ v' = (x^2 + x + m)' = 2x + 1 \]

Vậy:

\[ y' = \frac{(x^2 + x + m) - (x+1)(2x + 1)}{(x^2 + x + m)^2} \]
\[ y' = \frac{x^2 + x + m - (2x^2 + x + 2x + 1)}{(x^2 + x + m)^2} \]
\[ y' = \frac{x^2 + x + m - 2x^2 - 3x - 1}{(x^2 + x + m)^2} \]
\[ y' = \frac{-x^2 - 2x + m - 1}{(x^2 + x + m)^2} \]

Để hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1; 1)\), yêu cầu \( y' \leq 0 \) trên khoảng này. Do mẫu số luôn dương trên khoảng này (vì \( x^2 + x + m > 0 \) với \( x \in (-1; 1) \)), ta chỉ cần xét tử số:

\[ -x^2 - 2x + m - 1 \leq 0 \]
\[ m - 1 \leq x^2 + 2x \]

Xét cực trị của hàm \( x^2 + 2x \) trên khoảng \((-1; 1)\):

Hàm số \( f(x) = x^2 + 2x \) có đạo hàm:

\[ f'(x) = 2x + 2 \]

Giải \( f'(x) = 0 \):

\[ 2x + 2 = 0 \]
\[ x = -1 \]

Vì điểm cực trị tại \( x = -1 \) nằm trong khoảng \((-1; 1)\), ta xét giá trị của hàm tại các điểm đầu và điểm cực trị trong khoảng này:

Tại \( x = -1 \):

\[ f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 \]

Tại \( x = 1 \):

\[ f(1) = 1^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3 \]

Do đó:

\[ x^2 + 2x \in [-1, 3] \]

Vậy, để \( m - 1 \leq x^2 + 2x \) với mọi \( x \in (-1; 1) \):

\[ m - 1 \leq -1 \]
\[ m \leq 0 \]

Do \( m \) phải là số nguyên âm, các giá trị nguyên âm của \( m \) thoả mãn điều kiện này là: \( -1, -2, -3, -4, \ldots \).

Như vậy, các giá trị nguyên âm của \( m \) thoả mãn yêu cầu là vô số. Nhưng nếu giới hạn bởi các giá trị nguyên âm thực tế:

Số các giá trị nguyên âm của \( m \) là vô hạn.