Để hàm số $y = \frac{2x^2 + 2x - 1 - 5m}{x - m}$ nghịch biến trên khoảng $(1, 5)$, ta cần điều kiện đạo hàm của hàm số này phải âm trên khoảng $(1, 5)$.

1. **Tính đạo hàm của hàm số**:
Đặt $f(x) = 2x^2 + 2x - 1 - 5m$ và $g(x) = x - m$, ta có:
$y = \frac{f(x)}{g(x)}$

Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân số, ta có:
$y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

Ta tính $f'(x)$ và $g'(x)$:
$f'(x) = 4x + 2$
$g'(x) = 1$

Thay vào biểu thức đạo hàm:
$y' = \frac{(4x + 2)(x - m) - (2x^2 + 2x - 1 - 5m)}{(x - m)^2}$

2. **Rút gọn biểu thức đạo hàm**:
Ta tính $(4x + 2)(x - m)$:
$(4x + 2)(x - m) = 4x^2 - 4xm + 2x - 2m$

Tiếp theo, trừ biểu thức $2x^2 + 2x - 1 - 5m$:
$(4x^2 - 4xm + 2x - 2m) - (2x^2 + 2x - 1 - 5m) = 4x^2 - 4xm + 2x - 2m - 2x^2 - 2x + 1 + 5m$
$= 2x^2 - 4xm + 3m + 1$

Do đó, đạo hàm trở thành:
$y' = \frac{2x^2 - 4xm + 3m + 1}{(x - m)^2}$

3. **Điều kiện để hàm số nghịch biến**:
Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(1, 5)$, ta cần:
$y' < 0 \text{ trên } (1, 5)$

Vì $(x - m)^2$ luôn dương trên khoảng $(1, 5)$ nếu $m \notin [1, 5]$, ta chỉ cần xét điều kiện tử số âm:
$2x^2 - 4xm + 3m + 1 < 0 \text{ trên } (1, 5)$

4. **Tìm giá trị $m$ thỏa mãn điều kiện**:
Giả sử $x$ ở hai biên của khoảng $1 \leq x \leq 5$, ta xét điều kiện tại các điểm biên:
$2(1)^2 - 4(1)m + 3m + 1 < 0 \Rightarrow 2 - m + 1 < 0 \Rightarrow 3 < m \Rightarrow m > 3$
$2(5)^2 - 4(5)m + 3m + 1 < 0 \Rightarrow 50 - 17m + 1 < 0 \Rightarrow 51 < 17m \Rightarrow m > 3$

Từ hai điều kiện này, ta thấy $m > 3$.

5. **Tìm giá trị $m$ nguyên dương nhỏ hơn 2024**:
Ta cần tìm các giá trị $m$ nguyên dương thỏa mãn $m > 3$ và $m < 2024$.

Các giá trị nguyên dương của $m$ từ 4 đến 2023. Số lượng các giá trị này là:
$2023 - 4 + 1 = 2020$

Do đó, có $\boxed{2020}$ giá trị nguyên dương của $m$ nhỏ hơn 2024 sao cho hàm số nghịch biến trên khoảng $(1, 5)$.