Để hàm số \( y = \frac{2x^2 + 2x - 1 - 5m}{x - m} \) nghịch biến trên khoảng \((1, 5)\), ta cần điều kiện đạo hàm của hàm số này phải âm trên khoảng \((1, 5)\).

1. **Tính đạo hàm của hàm số**:
Đặt \( f(x) = 2x^2 + 2x - 1 - 5m \) và \( g(x) = x - m \), ta có:
\[
y = \frac{f(x)}{g(x)}
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân số, ta có:
\[
y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}
\]

Ta tính \( f'(x) \) và \( g'(x) \):
\[
f'(x) = 4x + 2
\]
\[
g'(x) = 1
\]

Thay vào biểu thức đạo hàm:
\[
y' = \frac{(4x + 2)(x - m) - (2x^2 + 2x - 1 - 5m)}{(x - m)^2}
\]

2. **Rút gọn biểu thức đạo hàm**:
Ta tính \( (4x + 2)(x - m) \):
\[
(4x + 2)(x - m) = 4x^2 - 4xm + 2x - 2m
\]

Tiếp theo, trừ biểu thức \( 2x^2 + 2x - 1 - 5m \):
\[
(4x^2 - 4xm + 2x - 2m) - (2x^2 + 2x - 1 - 5m) = 4x^2 - 4xm + 2x - 2m - 2x^2 - 2x + 1 + 5m
\]
\[
= 2x^2 - 4xm + 3m + 1
\]

Do đó, đạo hàm trở thành:
\[
y' = \frac{2x^2 - 4xm + 3m + 1}{(x - m)^2}
\]

3. **Điều kiện để hàm số nghịch biến**:
Để hàm số nghịch biến trên khoảng \((1, 5)\), ta cần:
\[
y' < 0 \text{ trên } (1, 5)
\]

Vì \( (x - m)^2 \) luôn dương trên khoảng \((1, 5)\) nếu \( m \notin [1, 5] \), ta chỉ cần xét điều kiện tử số âm:
\[
2x^2 - 4xm + 3m + 1 < 0 \text{ trên } (1, 5)
\]

4. **Tìm giá trị \( m \) thỏa mãn điều kiện**:
Giả sử \( x \) ở hai biên của khoảng \( 1 \leq x \leq 5 \), ta xét điều kiện tại các điểm biên:
\[
2(1)^2 - 4(1)m + 3m + 1 < 0 \Rightarrow 2 - m + 1 < 0 \Rightarrow 3 < m \Rightarrow m > 3
\]
\[
2(5)^2 - 4(5)m + 3m + 1 < 0 \Rightarrow 50 - 17m + 1 < 0 \Rightarrow 51 < 17m \Rightarrow m > 3
\]

Từ hai điều kiện này, ta thấy \( m > 3 \).

5. **Tìm giá trị \( m \) nguyên dương nhỏ hơn 2024**:
Ta cần tìm các giá trị \( m \) nguyên dương thỏa mãn \( m > 3 \) và \( m < 2024 \).

Các giá trị nguyên dương của \( m \) từ 4 đến 2023. Số lượng các giá trị này là:
\[
2023 - 4 + 1 = 2020
\]

Do đó, có \(\boxed{2020}\) giá trị nguyên dương của \( m \) nhỏ hơn 2024 sao cho hàm số nghịch biến trên khoảng \((1, 5)\).