Để tìm $n$ nguyên sao cho biểu thức $\frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n - 1}$ là nguyên, ta thực hiện phép chia đa thức $2n^3 + n^2 - 4n + 3$ cho $2n - 1$ và kiểm tra điều kiện để thương số là một số nguyên.

Thực hiện phép chia:

1. Chia $2n^3$ cho $2n$ được $n^2$.

2. Nhân $n^2$ với $2n - 1$:

$n^2 \cdot (2n - 1) = 2n^3 - n^2$

3. Trừ đi $2n^3 - n^2$ từ $2n^3 + n^2 - 4n + 3$:

$(2n^3 + n^2 - 4n + 3) - (2n^3 - n^2) = 2n^2 - 4n + 3$

4. Chia $2n^2$ cho $2n$ được $n$.

5. Nhân $n$ với $2n - 1$:

$n \cdot (2n - 1) = 2n^2 - n$

6. Trừ đi $2n^2 - n$ từ $2n^2 - 4n + 3$:

$(2n^2 - 4n + 3) - (2n^2 - n) = -3n + 3$

7. Chia $-3n$ cho $2n$ được $-\frac{3}{2}$.

8. Nhân $-\frac{3}{2}$ với $2n - 1$:

$-\frac{3}{2} \cdot (2n - 1) = -3n + \frac{3}{2}$

9. Trừ đi $-3n + \frac{3}{2}$ từ $-3n + 3$:

$(-3n + 3) - (-3n + \frac{3}{2}) = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Kết quả là:

$2n^3 + n^2 - 4n + 3 = (2n - 1) \left(n^2 + n - \frac{3}{2}\right) + \frac{3}{2}$

Để $\frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n - 1}$ là một số nguyên, điều kiện cần thiết là phần dư phải bằng 0:

$\frac{3}{2} = 0$

Điều này không thể xảy ra, vì vậy chúng ta phải kiểm tra lại phần thương:

Nếu phần dư là 0, nghĩa là không có giá trị $n$ nguyên nào thỏa mãn.

Tuy nhiên, có một cách khác là:

$n^2 + n - \frac{3}{2}$

Phải là một số nguyên, nghĩa là $\frac{3}{2}$ phải bị loại bỏ và có thể cân nhắc lại các điều kiện khác:

$n$

Vì vậy không có giá trị $n$ nguyên nào thỏa mãn:

Vậy không có giá trị $n$ nguyên nào thỏa mãn:

Do đó, không có giá trị $n$ nguyên nào để $\frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n - 1}$ là một số nguyên.

5. Chia $2n^2$ cho $2n$, ta được $n$.

6. Nhân lại $n$ với $2n - 1$, ta được $2n^2 - n$.

7. Trừ $2n^2 - n$ từ $-4n + 3$, ta được $3n + 3$.

8. Chia $3n + 3$ cho $2n - 1$.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép chia để tìm giá trị $n$ sao cho kết quả là số nguyên:

$\frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n - 1}$

Để tìm $n$, ta sẽ thử từng giá trị nguyên của $n$ để xem liệu kết quả của phép chia là số nguyên hay không.

Thử từng giá trị $n$:

- **Đối với $n = 1$:**
$\frac{2(1)^3 + (1)^2 - 4(1) + 3}{2(1) - 1} = \frac{2 + 1 - 4 + 3}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2$
Kết quả là số nguyên.

- **Đối với $n = 2$:**
$\frac{2(2)^3 + (2)^2 - 4(2) + 3}{2(2) - 1} = \frac{2 \cdot 8 + 4 - 8 + 3}{4 - 1} = \frac{16 + 4 - 8 + 3}{3} = \frac{15}{3} = 5$
Kết quả là số nguyên.

- **Đối với $n = 3$:**
$\frac{2(3)^3 + (3)^2 - 4(3) + 3}{2(3) - 1} = \frac{2 \cdot 27 + 9 - 12 + 3}{6 - 1} = \frac{54 + 9 - 12 + 3}{5} = \frac{54}{5} = 10.8$
Kết quả không phải là số nguyên.

- **Đối với $n = 0$:**
$\frac{2(0)^3 + (0)^2 - 4(0) + 3}{2(0) - 1} = \frac{3}{-1} = -3$
Kết quả là số nguyên.

Vậy, các giá trị nguyên $n$ thỏa mãn điều kiện cho phép chia là số nguyên là $n = 0, 1, 2$.

Do đó, $n$ có thể là 0, 1 hoặc 2 để kết quả của phép chia $\frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n-1}$ là một số nguyên.