Để tìm \( n \) nguyên sao cho biểu thức \( \frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n - 1} \) là nguyên, ta thực hiện phép chia đa thức \( 2n^3 + n^2 - 4n + 3 \) cho \( 2n - 1 \) và kiểm tra điều kiện để thương số là một số nguyên.

Thực hiện phép chia:

1. Chia \( 2n^3 \) cho \( 2n \) được \( n^2 \).

2. Nhân \( n^2 \) với \( 2n - 1 \):

\[ n^2 \cdot (2n - 1) = 2n^3 - n^2 \]

3. Trừ đi \( 2n^3 - n^2 \) từ \( 2n^3 + n^2 - 4n + 3 \):

\[ (2n^3 + n^2 - 4n + 3) - (2n^3 - n^2) = 2n^2 - 4n + 3 \]

4. Chia \( 2n^2 \) cho \( 2n \) được \( n \).

5. Nhân \( n \) với \( 2n - 1 \):

\[ n \cdot (2n - 1) = 2n^2 - n \]

6. Trừ đi \( 2n^2 - n \) từ \( 2n^2 - 4n + 3 \):

\[ (2n^2 - 4n + 3) - (2n^2 - n) = -3n + 3 \]

7. Chia \( -3n \) cho \( 2n \) được \( -\frac{3}{2} \).

8. Nhân \( -\frac{3}{2} \) với \( 2n - 1 \):

\[ -\frac{3}{2} \cdot (2n - 1) = -3n + \frac{3}{2} \]

9. Trừ đi \( -3n + \frac{3}{2} \) từ \( -3n + 3 \):

\[ (-3n + 3) - (-3n + \frac{3}{2}) = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \]

Kết quả là:

\[ 2n^3 + n^2 - 4n + 3 = (2n - 1) \left(n^2 + n - \frac{3}{2}\right) + \frac{3}{2} \]

Để \( \frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n - 1} \) là một số nguyên, điều kiện cần thiết là phần dư phải bằng 0:

\[ \frac{3}{2} = 0 \]

Điều này không thể xảy ra, vì vậy chúng ta phải kiểm tra lại phần thương:

Nếu phần dư là 0, nghĩa là không có giá trị \( n \) nguyên nào thỏa mãn.

Tuy nhiên, có một cách khác là:

\[ n^2 + n - \frac{3}{2} \]

Phải là một số nguyên, nghĩa là \( \frac{3}{2} \) phải bị loại bỏ và có thể cân nhắc lại các điều kiện khác:

\[ n \]

Vì vậy không có giá trị \( n \) nguyên nào thỏa mãn:

Vậy không có giá trị \( n \) nguyên nào thỏa mãn:

Do đó, không có giá trị \( n \) nguyên nào để \( \frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n - 1} \) là một số nguyên.

5. Chia \( 2n^2 \) cho \( 2n \), ta được \( n \).

6. Nhân lại \( n \) với \( 2n - 1 \), ta được \( 2n^2 - n \).

7. Trừ \( 2n^2 - n \) từ \( -4n + 3 \), ta được \( 3n + 3 \).

8. Chia \( 3n + 3 \) cho \( 2n - 1 \).

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép chia để tìm giá trị \( n \) sao cho kết quả là số nguyên:

\[ \frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n - 1} \]

Để tìm \( n \), ta sẽ thử từng giá trị nguyên của \( n \) để xem liệu kết quả của phép chia là số nguyên hay không.

Thử từng giá trị \( n \):

- **Đối với \( n = 1 \):**
\[
\frac{2(1)^3 + (1)^2 - 4(1) + 3}{2(1) - 1} = \frac{2 + 1 - 4 + 3}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2
\]
Kết quả là số nguyên.

- **Đối với \( n = 2 \):**
\[
\frac{2(2)^3 + (2)^2 - 4(2) + 3}{2(2) - 1} = \frac{2 \cdot 8 + 4 - 8 + 3}{4 - 1} = \frac{16 + 4 - 8 + 3}{3} = \frac{15}{3} = 5
\]
Kết quả là số nguyên.

- **Đối với \( n = 3 \):**
\[
\frac{2(3)^3 + (3)^2 - 4(3) + 3}{2(3) - 1} = \frac{2 \cdot 27 + 9 - 12 + 3}{6 - 1} = \frac{54 + 9 - 12 + 3}{5} = \frac{54}{5} = 10.8
\]
Kết quả không phải là số nguyên.

- **Đối với \( n = 0 \):**
\[
\frac{2(0)^3 + (0)^2 - 4(0) + 3}{2(0) - 1} = \frac{3}{-1} = -3
\]
Kết quả là số nguyên.

Vậy, các giá trị nguyên \( n \) thỏa mãn điều kiện cho phép chia là số nguyên là \( n = 0, 1, 2 \).

Do đó, \( n \) có thể là 0, 1 hoặc 2 để kết quả của phép chia \( \frac{2n^3 + n^2 - 4n + 3}{2n-1} \) là một số nguyên.